热力学统计物理-第八章 玻色统计和费米统计

第八章玻色统计和费米统计81试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即LNSK解对于理想费米系统，与分布相应的系统的微观状态数为（式LA（654）（1）,LL取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（677）（2）LNLLNLNLLLAA另一方面，根据式（8110），理想费米系统的熵为LLLNSKNU（3）L,LLKA其中费米巨配分函数的对数为（式（8113）（4）LNL1LLE由费米分布E1LLA易得（5）1LLA和（6）LNLA将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为（7）LNLLLA将式（6）和式（7）代入式（3），有LNLNLLLASKA（8）LLLLLLL比较式（8）和式（2），知（9）LNSK对于理想玻色系统，证明是类似的82试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为BEFDLN1LN,SSSSSSKFFF其中为量子态上的平均粒子数表示对粒子的所有量子态求和同时SFSS证明，当时，有1SBEFDMBLNSSSKFF解我们先讨论理想费米系统的情形根据81题式（8），理想费米系统的熵可以表示为FDLNLLNLLLLLLLLSKAA（1）1LNLN,LLAAK式中表示对粒子各能级求和以表示在能量为的量子态上的平LLSFLS均粒子数，并将对能级求和改为对量子态求和，注意到L,LS上式可改写为（2）FDLN1LNSSSSKFFF由于，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的1SF对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明（3）FDLN1LNSSSSKFFF对于玻色系统，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，0SF第二项是非负的由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值在的情形下，式（2）和式（3）中的1SF1LN1SSSSFFFF所以，在的情形下，有SF（4）BEFDLNSSSKFF注意到，上式也可表示为SFN（5）BEFLSFNK上式与74题式（8）一致，这是理所当然的83求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵解式（828）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为（1）325231NHUKTGVMKT（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）利用理想气体压强与内能的关系（见习题71）（2）2,3PV可直接求得弱简并气体的压强为（3）32521,HPNKTNGMKT式中是粒子数密度NNV由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为（4）327231,VVUCTHNKNMKT参照热力学中的熵的积分表达式（245），可将熵表示为（5）0VCSDST将式（4）代入，得弱简并气体的熵为（6）3207231LN2HSNKNSVGMKT式中的函数可通过下述条件确定在0V3231HNVKT的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体将上述极限下的式（6）与式（762）比较（注意补上简并度G），可确定，从而得弱简并费米0SV（玻色）气体的熵为（7）33227251LNMKTHSNKHGMKT弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数，然后根据式（816）、LN（818）和（8110）求内能、压强和熵在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪统计物理学导论65和6484试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色受因斯坦凝聚解如83所述，令玻色气体降温到某有限温度，气体的化学势将趋CT于0在时将有宏观量级的粒子凝聚在的基态，称为玻色爱因斯CT0坦凝聚临界温度由条件（1）0DE1CKTDN确定将二维自由粒子的状态密度（习题63式（4）2DLDMH代入式（1），得（2）20E1CKTN二维理想玻色气体的凝聚温度由式（2）确定令，上式可改写为CCXKT（3）20DE1CXLMKTNH在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有21,EEXXXX则0D1E23X（4）1N式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色爱因斯坦凝聚85约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场221XYXVMZ中运动如果原子是玻色子，试证明在时将有宏观量级的原子凝聚在CT能量为02XYZ的基态，在保持有限的热力学极限下，临界温度由下式3,0,NCT确定3120,CKTN其中温度为T时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比为13XYZ0N301CTN解约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为（1）222222111,YXZXYZPPPMM这是三维谐振子的能量（哈密顿量）根据式（624），三维谐振子能量的可能值为,111,222XYZNXYZNNN（2）,0,XYZ如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T时处在量子态上的粒子,XYZN数为（3）,111222EXYZXYZNNNNKTA处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即（4）02XYZ化学势由（5）01,E1XYZXYZNNNKTN确定化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值时，将趋于临CT0界温度由下式确定CT（6）1,E1XYZXYZNNNKTN或（7）,EXYZXYZN其中,IICNZKT在的情形下，可以将看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替1ICKTI注意到在范围内，粒子可能的量子态数为DXYZN3D,CXYZKTN即有（8）3,1XZYCNKNE式中13XYZ为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为011EEEXYZXYZXYZXYZXYZNNNLL积分等于00030DEDEDE12YXZXYZLNLNLNNLL所以式（8）给出（9）1320CNKT式（9）意味着，在而保持有限的极限情形下，取有限,NCKT值上述极限称为该系统的热力学极限在时，凝聚在基态的粒子数由下式确定CT0N3012,KT上式可改写为（10）301CNT式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同关于互作用玻色气体的凝聚可参阅DALFOVOETALREVMODPHYS1999,71（465）86承前85题，如果，则在的情形下，原子在,ZXYZKT方Z向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体试证明时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为的CT02XY基态，在保持有限的热力学极限下，临界温度由下式确2,0,NCT定21645,CKTN其中温度为T时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比为12XY0N201CTN解在的情形下，原子方向的运动将冻结在基态作零点振,ZXYZ动，于是形成二维原子气体与85题相似，在时将有宏观量级的原子C凝聚在能量为的基态临界温度由下式确定02XYCT20DE1XYCNKN（1）21645,T其中12,XY（2）201D645EXYNL在而保持有限的热力学极限下为有限值，有,0N2NCKT（3）12645CNKT时凝聚在基态的原子数与总原子数N之比由下式确定CT021,KT或（4）201CNT低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看85题所引DALFOVOETAL及其所引文献低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见ETALGORLIZPHYSREVLETT2001,87（130402）87计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（A）温度为1000K的平衡辐射（B）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度解式（845）和（846）已给出在体积V内，在到的圆频率D范围内光子的量子态数为（1）23DDC温度为T时平均光子数为（2）D,E1KTDN因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为（3）2230DE1KTC引入变量，上式可表示为XKT32203DE14XVKNTCT或（3）3240KNTC在1000K下，有163M在3K下，有8350N88试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为58D,E1HCKTUT并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长满足方程MMHCXKT5XE这个方程的数值解为因此4961X,4961MHCTK随温度增加向短波方向移动M解式（847）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为（1）321,DDEKTUTC根据圆频率与波长熟知的关系，有（2）2D如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得（3）58D,E1HCKTUT令，使取极大的波长由下式确定HCXKT,UM（4）5D0E1X由式（4）易得（5）5X这方程可以用数值方法或图解方法求解图解方法如下以为横坐标，X为纵坐标，画出两条曲线Y1E,5XY如图所示两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为496精确的数值解给出所以使为极大的满足49651X,UTM49651MHCK（6）328910MK右方是常量，说明随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律M值得注意，式（6）确定的使为极大的与式（8411）给出的使,UT为极大的并不相同原因是是单位波长间隔的内能密度，,UT,是单位频率间隔的内能密度与分别由M（4）5D0E1X和（7）3D0E1X确定，其中HCXKT由这两个方程解得显然不同MX89按波长分布太阳辐射能的极大值在处，假设太阳是黑体，480NM求太阳表面的温度解由上题式（6）知328910KMT假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为3964801810试根据热力学公式及光子气体的热容量求光子气体的熵DVCST解式（8410）给出光子气体的内能为（1）24315KUVTC由此易得其定容热容量为（2）24315VVUKCTTC根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（245），有（3）0D,VVPSS积分沿任意一条积分路线进行如果取积分路线为由（0，V）到（T，V）的直线，即有（4）24242330D,155TKKSTCC其中已取积分常量为零0如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T，V）的直线，结果如何811试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度计算6000K和1000K时的值UJUJ解根据式（843）和（6215），在单位体积内，动量大小在到，PD动量方向在到到范围内，平衡辐射的光子数为D,D（1）23SIND,E1CPH其中已利用式（842）将动量为的光子能量表示为CP，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的以DA表示法线方向沿Z轴的器壁的面积元以表示在DT时间内DAT碰到DA面积上，动量大小在到，方向在到到范围的PD,光子数它等于以DA为底，以为高，动量在范围内的光子数COSTP因此单位时间（）内，碰到单位面积的器壁上（或穿过单位面积）1T1A，动量在范围内的光子所携带的能量为P（2）23SINDCOSECPPH对式（2）积分，从0到从0到从0到，即得到辐射动量密度P,22UJ为23223000DSINCODE1UCPCJH令，上式可表示为XCP423304231DE6,9UXJHCKT或（3）24360UKJTC在6000K，有7214JMUJ在1000K，有520JU812室温下某金属中自由电子气体的数密度某半导体中283610M,N导电电子的数密度为，试验证这两种电子气体是否为简并气体28310MN解根据85，在，即的情形下费米气体满足非简并性条E31N件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在，即的情形下，气体形成强E3简并的费米气体（1）323,HNMKT将代入，得28330,610MTKN（2）310,说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体将代入，033K,1MTN得3510,N所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论金属中自由电子数密度的估计见85，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3813银的导电电子数密度为试求0K时电子气体的费米能2835910M量、费米速率和简并压解根据式（856）和（858），0K下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度N式（856）给出（1）2230NM将代入，即得31342890KG,51JS,591M（2）76J6EV费米速率等于F（3）61F204MS式（858）给出0K下电子气体的压强为（4）102PA5PN814试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率解根据式（854），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F1,FP（1）0,其中是费米动量，即0K时电子的最大动量据此，电子的平均动量为FP（2）F34F023381DPVHP因此电子的平均速率为（3）F34PM815试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为1,4N其中是电子的数密度，是平均速率NNV解绝对零度下电子速率分布为（1）F1,0F式中是0K时电子的最大速率，即费米速率单位体积中速率在间FD隔的电子数为（2）32FSINDMH单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿Z轴的单位面积器壁上的碰撞数为（3）322COSINDMDH将上式积分，从0到从0到从0到，得0K时电子气体的碰壁F,数为F322004F32DSINCOD1MH（4）4F32H但由式（2）知单位体积内的电子数为NF322003FDSIND1MH（5）3F8H所以F314N最后一步用了814题式（3）816已知声速（式（188），试证明在0K理想费米气体SPA中F3A解式（188）已给出声速为A，（1）SP式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数根据能氏定理，0K下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0K下物理量的函数关系满足熵为不变的条件根据式（858）和（856），0K下理想费米气体的压强为25325PNM（2）253315故222F31,SPPNM即（3）F3PAM817等温压缩系数和绝热压缩系数的定义分别为TS1TPV和1SSP试证明，对于0K的理想费米气体，有31020TSN解根据式（856）和（854），0K下理想费米气体的压强为（1）52325NPNMV在温度保持为0K的条件下，对V的偏导数等于23T由式（A5）知（2）2231TTVVPNM所以0K下（3）5231310TTVVPN根据能氏定理，T0的等温线与S0的等熵线是重合的，因此0K下TSVP由此可知（4）13120SSVPN式（4）也可以从另一角度理解式（2214）和（2212）给出（5）SVTPC和（6）2PVT由式（6）知，0K下,PVC所以式（5）给出0K下ST818试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压解极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为CP根据习题64式（2），在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论D粒子的量子态数为（1）238DCH式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题64式（2）的结果乘以因子20K下自由电子气体的分布为（2）1,0F费米能量由下式确定00233881D0,VVNCHCH故（3）1308NCH0K下电子气体的内能为03043D81UDVCH（4）0N根据习题72式（4），电子气体的压强为（5）134UPNV819假设自由电子在二维平面上运动，面密度为试求0K时二维N电子气体的费米能量、内能和简并压解根据63题式（4），在面积A内，在到的能量范围内，二维D自由电子的量子态数为（1）24DDMH式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将63题式（4）的结果乘以20K下自由电子的分布为（2）1,0F费米能量由下式确定002244D0,AANMHH即（3）2204NA0K下二维自由电子气体的内能为（4）02244D0AAMNUHH仿照习题71可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为（5）UPA因此0K下二维自由电子气体的压强为（6）102N820已知0K时铜中自由电子气体的化学势074EV,试求300K时的一级修正值解根据式（8517），温度为T时金属中自由电子气体的化学势为2201,0K300K下化学势对的一级修正为T2235121078EVKT这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小这一点可以从下图直接看出图中画出了在不同温度下电子分布函数随的变化0K时电子占据了能量从零到的每F0一个量子态，而的状态则全部未被占据，如图中的线所示温度升00T高时热激发使一些电子从能量低于的状态跃迁到能量高于的状态温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的线和线所示费米分布1T2121EHTF要求在任何温度下的状态，即占据概率为从图82可以看出，2F12化学势必然随温度升高而减少，即10821试根据热力学公式，求低温下金属中自由电子气体的VCSDT熵解式（8519）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为（1）20VKTCN根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（245），有（2）0DVVPSTS取积分路线为（0，V）至（T，V）的直线，即有（3）220D,0TNKKTS其中已取积分常量为零0822由N个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为，R轴向频率为的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为R22221XYZRMPXYZ试求0K时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量假设，求出数值结果5121,38S,RN解由式（624）知，粒子的能量本征值为,XYZNRXYZN（1）,0,12YZ式中已将能量零点取为12R理想费米气体的化学势由下式确定,TN（2）,1ERXYZXYZNN如果N足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于，或R者温度足够高使，式（2）的求和可以改写为对能量的积分令RKT,DDDXYRZZRRNNN式（2）可表达为（3）31E1XYZRN引入新的积分变量，可进一步将式（2）改写为XYZ（4）31D,E1XYR式中被积函数只是变量的函数，与和无关对一定的，和的积XYDXY分等于以轴、轴和三条直线为边界的三角形面积，如图所示，XYXY这面积等于所以式（4）可表达为21（5）D,1DNE其中（6）23DDR它是能量在到范围内粒子的状态数D0K时系统尽可能处在能量最低的状态由于泡利原理的限制，粒子将从能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为的状态止0由下式确定3023011D2RRN由此可得（7）1306RN0K时费米气体的能量为00343D12RRED（8）0N粒子的平均能量为（9）34对于题给的数据，可得0NK,R35,FTK27E823承上题，试求低温极限和高温极限下，磁光陷阱中FTFT理想费米气体的化学势、内能和热容量解首先讨论低温极限的情形根据式（8513）和（8516）,积F分（1）0D,E1KTI在低温极限下可展开为（2）20D6IKT对于磁光陷阱中的理想费米气体，有（3）20,E1KTCN其中上式确定费米气体的化学势利用式（1），（2）可得32RC231,CKTN因此11233KTC（4）220130气体的内能为30D,1KTCUE利用式（1），（2）可得2442224242224210130031CUKTKTN（5）220430KT热容量为（6）2D0UKTCN在高温极限的情形下，有FT（7）FE1TK磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数10230ED2RZD（8）31R内能为（9）1LN3UNZKT上式与能量均分定理的结果相符根据式（767），气体的化学势为（10）31ZLNL60KTKTN最后一步用了式（8）和补充题4式（7）实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强见BDEMARCO,DSJINSCIENCE1999,2851703AGTRUSCOTTETALSCIENCE2001,1912570824关于原子核半径R的经验公式给出151/330M,A式中A是原子核所含核子数假设质子数和中子数相等，均为A/2，试计算二者在核内的密度如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二N者的以及核子在核内的平均能量核子质量027160KGN解根据核半径的经验公式115330M,RA假设核内质子数和中子数相等，均为，则二者的密度均为2453150143NA如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（856），费米能量为0223104J7MEVNM由式（857）知，核子在核内的平均能量为130526JEV核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解排斥心的半径约为，核内核子之间的平均1504M距离约为，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为15240M，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分30其次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用825是费米子，其自旋为1/2在液中原子有很强的相互作用3HE3HE根据朗道的正常费米液体理论，可以将液看作是由与原子数目相同的3HE准粒子构成的费米液体已知液的密度为，在01K以下的定3HE381KGM容热容量为试估算准粒子的有效质量289VCNKT3E解我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念如85所述，在0K理想费米气体处在基态时，粒子占满了动量空间中半径为费米动量的费米球FP（1）123F,PN的状态则完全未被占据气体处在低激发态时，有少量粒子跃造到FP的状态，而在费米球中留下空穴的大小取决于气体的数密度FN朗道假设，如果在理想费米气体中逐渐加入粒子间的相互作用，理想费米气体将过渡为费米液体，气体的粒子过渡为液体的准粒子液体中的准粒子数与原来气体或液体中的实际粒子数相同对于均匀系统，准粒子的状态仍可由动量和自旋S描述在0K费米液体处在基态时，准粒子占满了动P量空间中半径为的费米球，仍由式（1）确定，但是液体的粒子数密度FFPN费米液体处在低激发态时，有少量准粒子跃迁到的状态，而在费米球FP中留下空穴以表示单位体积中动量在到的准粒子数在自旋量子数DFPPD为1/2的情形下，有32DH满足归一化条件FP（2）FPN由于费米液体的准粒子之间存在相互作用，单个粒子的能量与其他P准粒子所处的状态有关，即与准粒子的分布有关因此，与理想费米气体不同，费米液体的能量不能表达为单个准粒子的能量之和，即（3）D,EPFV而是分布函数的泛函准粒子能量由下式定义FP（4）,F或（5）EVPF上式的意义是，准粒子能量等于增加一个动量为的粒子所引起的系统P能量的增加既与液体中准粒子的分布有关，也是分布函数的泛函PFP习题82曾得到处在平衡状态的理想费米气体的熵的表达式（6）LN1LN1D,SKVFPFFPFP式中的两项可以分别理解为由于粒子具有分布和空穴具有分布所导致的熵式（6）不仅适用于平衡态，也适用于非平衡态如果1FP是某非平衡态下粒子的分布，相应的熵也由式（6）表达在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布（费米分布）使式（6）的熵取最大值根据前述朗道的假设，费米液体的准粒子与理想费米气体的粒子存在一一对应的关系将式（6）中的理解为费米液体中准粒子的分布，费米FP液体的熵亦可由式（6）表达在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布使式（6）的熵取最大值可以证明，平衡态的分布具有下述形式（7）1EPKTF这是平衡态下费米液体中准粒子的分布函数，和是拉氏乘子显然，TK和分别是费米液体的温度和化学势需要强调，虽然式（7）形式上与费米分布相似，但由于是分布函数的泛函，式（7）实际上是分布函数PFP的一个复杂的隐函数表达式FP以和分别表示0K时的分布函数、准粒子能量和化学00,F势由式（7）可知，是一个阶跃函数0FP（8）01,P上式给出0K时费米液体准粒子的动量分布，与前述的图像一致在接近0K的低温下，分布函数应与阶跃分布接近作为一级近0FP似，可以用近似地确定准粒子的能量这意味着简单地成为FP的确定的函数对于的动量值，可以将函数按作泰P0PFP0PF勒展开，即（9）0F,P其中（10）F0FP是准粒子在费米面的速度对于理想费米气体，有2F,PM可以类似地引入准粒子有效质量的概念，定义（11）F,并将和处的简单地记为0FP0P（12）2F0,PM（13）20F如85所述，仅费米面附近的电子对理想费米气体的低温热容量有贡献，其表达式为（式（8519）和（856）（14）22230VCKTMKNN根据费米液体与理想费米气体的相似性，可以直接写出低温下费米液体的热容量为（15）2223,0VCKTKNN其中是费米液体准粒子的有效质量将题中所给液的实测数据代入，M3HE注意的质量密度（是原子的质量），可得准粒子的有效质3HENM3HE量约为（16）M关于朗道费米液体理论，可参看量子统计物理学（北京大学编写组）55和LIFSHITZ,PITAEVSKIISTATISTICALPHYSICS1,2补充题1写出二维空间中平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数、内能和辐射通量密度解根据（6214），二维空间中在面积A内，在到到XPD,XYP的动量范围内，光子可能的量子态数为DYP（1）2DXYAPH换到平面极坐标，并对辐角积分，可得在面积A内，动量大小在到范PD围内，光子的量子态数为（2）24DPH再利用光子的能量动量关系和能量频率关系，可得二维空间中在C面积A内，在到的频率范围内的光子的量子态数为D（3）2DADC根据玻色分布和式（3），可得温度为T时二维平衡辐射在面积A内，在到的频率范围内的光子数为D（4）2,DDE1NC对频率积分，得温度为T时二维平衡辐射击的总光子数为020,DE1XTAC（5）26KTC温度为T时在面积A内，在到的频率范围内，二维平衡辐射的D能量为（6）2,E1AUTC这是二维平衡辐射的普朗克公式对频率积分，得温度为T时二维辐射场的内能为2203DE1XAUTC（7）324KTC参照式（267）或811题，可得二维辐射场的辐射通量密度与内能密UJ度的关系为（8）3210UCJKT应当说明，随着人工微结构材料研究的进展，目前已有可能研制出低维的光学微腔（参阅EYABLONOVITCHJOURMODOPT1994,41（173）章蓓光学微腔见介观物理北京北京大学出版社，1995276）不过光学微腔中辐射场的模式分布与（3）所表达的自由空间中的模式分布是不同的补充题2金属中的自由电子在外磁场下显示微弱的顺磁性这是泡利（PAULI）根据费米分布首先从理论上预言的，称为泡利顺磁性试根据费米分布导出0K金属中自由电子的磁化率解78和习题727讨论的顺磁性固体，其顺磁性来自磁性离子的磁矩在外磁场作用下的取向离子磁矩是其不满壳层的束缚电子的轨道磁矩与自旋磁矩之和，磁性离子是定域的，遵从玻耳兹曼分布。泡利顺磁性来自金属中自由电子的自旋磁矩在外磁场作用下的取向，电子是高度简并的，遵从费米分布，受泡利不相容原理约束因此两者显示很不相同的特性电子自旋磁矩大小等于玻尔磁子在外磁场B作用下，磁矩可以平行B或反平行于外磁场B磁矩平行于外磁场的电子，其能量为（1）2BPM磁矩反平行于外磁场的电子，能量为（2）2BP处在外磁场中的电子，其动量仍然是守恒量单位体积内两种磁矩取向的电子，在到动量范围内的状态数均为，将式（1）和（2）代PD34DPH入，得单位体积内两种磁矩取向的电子在能量到范围内的状态数分别为（3）3122BDDDMH和（4）3122B下图以为纵坐标，和为横坐标，画出了不存在外磁场（图（A）和存在外磁场（图（B），（C）的的情形下状态密度随的变化0K下电子层可能占据能量最低的状态不存在外磁场时，两种磁矩取向的电子能量是相同的，电子的分布将如图（A）所示加入外磁场后，如果电子的占据情况不变，电子的分布将如图（B）所示但是这种分布不是平衡状态由于达到平衡后电子尽可能占据最低能态，原来磁矩逆磁场取向的部分电子将改变其磁矩取向，使分布如图（C）所示在图（C）的分布中两种磁矩取向的电子具有相同的最大能量这最大能量就是处在外磁场中电子气体的费米能量后面的数值估计指出因此外磁场对费米能量B0的影响很小，可以忽略图（C）的分布显示，有更多的电子磁矩顺外磁场方向，使金属表现出顺磁性磁化强度（单位体积的磁矩）可以估计如下磁矩取向发生改变的电子数为其中每个电子磁矩的改变为因此金属B102DB2的磁化强度为（5）2B0M式中上式可改写为132400DMH（6）B320MN对于，而，所以423B1T0G,10JB18J5B0由此可知，泡利顺磁性很弱，这是泡利不相容原理的结果与顺磁性固体中所有磁性离子对顺磁性都有贡献不同，由于泡利不相容原理的限制，仅费米面附近宽度为范围内的电子在外磁场作用下分布发生改变，对金属的顺B磁性作出贡献以表示0K下金属中自由电子气体的磁化率由式（6）知（7）2B03N由于一般温度下金属中电子气体的分布与0K时差异很小，金属泡利顺磁性的磁化率对温度只有很微弱的依赖关系补充题3金属中的自由电子可以近似看作处在一个恒定势阱中的自由粒子下图示意地表示0K时处在势阱中的电子表示势阱的深度,它等于将处在最低能级的电子移到金属外所需的最小功表示0K时电子气体00的化学势如果将处在费米能级的电子移到金属外,所需的最小功为0WW称为功函数W的大小视不同金属而异,一般是电子伏的量级高温下处在费米分布中高能量的电子有可能从金属表面逸出试证明,单位时间内通过金属的单位面积发射的热电流密度为2EWKTJA上式称为理查孙RICHARDSON公式解费米分布给出,单位体积内,动量在范围内的电子数为DXYZP1123DEPDXYZMNH单位时间内,碰到法线沿Z轴的金属表面的单位面积上,动量在范围内电子数为DXYZP2123DEPXYZMZZNH将上式改写为3123DEPXYZMZNH其中是电子在Z方向的平动能量电子要摆脱金属的束缚发射到2ZZPM体外，它在垂直于表面的方向上具有的动能必须大于,即4Z将式3乘发电子的电荷E,积分即得单位时间内通过金属表面单位面积发射的热电流为5323D2D1E1LNZXYXXYXYJEPHPMKT其中621XYWPKT上式已考虑到相差很小,而令一般情形下可0与TW1以令LN1E而有72132EDXYWPYKTMKTWKJH由于W是电子伏的量级,要在高温例如才有可观的热发射电子310K补充题4在高纯度的半导体中电子的能量本征值形成图所示的能带结构0K时价带中的状态完全被电子占据而导带中的状态则完全未被占据价带与导带之间有能量为的能隙,称为禁带,其中不存在电子的可能状态0KGE下具有这种能带结构的晶体形成绝缘体在较高温度下,价带中有些电子因热激发会跃迁到导带,而在价带留下空穴跃迁到导带的电子和价带中的空穴都参与导电,晶体就形成半导体这样的半导体称为本征半