高中数学换元法解题案例及练习题

高中数学换元法解题案例及练习题解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式4220，先变形为设2T（T0），而变为熟悉的一元二次不XX等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数Y的值域时，易发现X0,1，设XSIN，0,，问题X122变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量X、Y适合条件XYR（R0）时，则可作三角代换XRCOS、YRSIN化为三角问题。22均值换元，如遇到XYS形式时，设XT，YT等等。S2S2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的T0和0,。2、再现性题组1YSINXCOSXSINXCOSX的最大值是_。2设FX1LOG4X（A1），则FX的值域是2A4_。3已知数列A中，A1，AAAA，则数列通项NN1N1A_。N4设实数X、Y满足X2XY10，则XY的取值范围是2_。5方程3的解是_。1X6不等式LOG21LOG222的解集是_。2X2X1【简解】1小题设SINXCOSXT,，则YT，对称21轴T1，当T，Y；2MAX122小题设X1TT1，则FTLOGT14，所以值域为2A2,LOG4；A3小题已知变形为1,设B，则1ANNN1AB1,B1N11N，所以A；1NN4小题设XYK，则X2KX10,4K40,所以K1或22K1；5小题设3Y，则3Y2Y10,解得Y，所以X1；X236小题设LOG21Y，则YY10，求FX2ASINXCOSXSINXCOSX2A的最大值和最小值。2【解】设SINXCOSXT，则T,，由2SINXCOSX12SINXCOSX得SINXCOSX2T21FXGTT2A（A0），T,12212T时，取最小值2A2A2当2A时，T，取最大值2A2A；12当00恒成立，求A的取值范围。（87年全国理）A142【分析】不等式中LOG、LOG、LOG三项有何联系24121A2A142进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】设LOGT，则21ALOGLOG3LOG3LOG3T，LOG241A281A2A121A2422LOG2T，2代入后原不等式简化为（3T）X2TX2T0，它对一切实数X恒成立，2所以，解得T0恒成立，求KX192Y62的范围。【分析】由已知条件1，可以发现它与AB1有X192Y622相似之处，于是实施三角换元。【解】由1，设COS，SIN，X192Y62X13Y14即代入不等式XYK0得Y34COSIN3COS4SINK0，即K0A0所表示的区域为直线AXBYC0所分平面成两部分中含X轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题椭圆上的点始终位于平面上XYK0的区域。即当直线XYK0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的16914022XYK一组实数解，消元后由0可求得K3,所以K0，则F4的值为_。3A2LG2BLG2CLG2DLG41323232函数YX12的单调增区间是_。4A2,B1,D,C,13设等差数列A的公差D，且S145，则N1210AAAA的值为_。1359A85B725C60D525YXXYK0K平面区域4已知X4Y4X，则XY的范围是_。225已知A0，B0，AB1，则的范围是_。A12B6不等式AX的解集是4,B，则A_，B_。X327函数Y2X的值域是_。18在等比数列A中，AAA2，AAA12，N