高等数学-微积分12下12

第三节三重积分一、三重积分的概念定义设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任ZYXF,意分割成个小闭区域（其中既表示第个小NNIV,21IVI区域，又表示它的体积）,在每个中任取一点作乘积IVII,并求和，如果小区域的直径的最IIVF,NIIIF1,大值趋近于零时，极限存在，则称此极限为NIIIVF10,LM函数在闭区域上的三重积分，记为，即ZYXF,DVZYXF,NIIIVFDVZYXF10,L,注1体积元素有时也记为；DV二、三重积分的计算1）在直角坐标系下计算三重积分（如图1）DVZYXF,若其积分区域在面上的投影为XOYD，且则BXA21,YXZYX,21DZFDVZYXFDYX,21,YXXBAF,2121,例1计算三重积分，其中是三个坐标面和平面DZ所围成闭区域132ZYX解由和0,0YX132ZYX在面上的投影区域为和围成的平面XOY,YX区域XYDXY20,1YXXXDZDZDZXY2301030。416231032201XXY例2求有旋转抛物面和平面所围0,2AAZAZ成立体的质量，假定立体各点处的密度与该点到轴距离成正比（比例系数为）。K解AYXYXDZKDDZYXM22122202221AYXARRAK。40531KR例3求由曲面所围成有界域的01Z,X,Y,XZ体积。解切片法（如图2）例4计算，其中是两球DXYZ体和22RZYX的公共部分。2解DXYZ222ZRYXRD2220ZRYXRZ022RDZDZ48059253204RRZ2）利用柱面坐标计算三重积分1）柱面坐标（如图3）设空间中任一点的直角坐标为，点在面PZYX,PXOY投影点的极坐标为点还可以用有序数组表示，,RZR,我们称之为点的柱面坐标。注意的变化范围ZR,R,20,2）直角坐标和柱面坐标的关系ZRYRX,SIN,COS3利用柱面坐标计算三重积分DRZVDRZFDZYXF,SIN,CO,例5利用柱面坐标计算，其中为旋XYZK2转抛物面和平面所围成的闭区域（，为AYXZ2AZ0AK常数）解AZR2,0,21542022KDRDXYZKA3）利用球面坐标计算三重积分教学内容使学生掌握利用球面坐标计算三重积分，并能运用三重积分解决实际问题，如立体质量、重心、转动惯量、引力。教学重点、难点掌握利用球面坐标计算三重积分的方法；1）球面坐标设点为空间中任意点，我们用如图的三个数PZYX,表示点，则称其为点的球面坐标。,RP2）球面坐标的取值范围0,20，R3）球面坐标与直角坐标的关系COS,SIN,COSINRZRYRX4）利用球面坐标计算三重积分DVZYXF,实际上就是用分别为常数的曲面去切积分区域，,R此时有（如图4）DRRDVSIN2DRRFDVZYXFSINCO,COSIN,2然后确定的变化范围，化三重积分为三次积分，如果,R,2121RR则有,22121SINCO,SIN,COSIN,RDRRRFDDVZYXF特别当的边界为包含原点的闭曲面时（无妨设曲面方程为），则有,R,0,20R例,020SINCO,SIN,COSIN,RDRRFDDVZYXF例6计算三重积分，其中为空间闭区域XDYZZ241,222ZYXYXZYX解利用球面坐标计算，此时2,40,2R13540COSINDRDDXYZZ216402154032SICOSINR63例7求半径为的球面与半顶角为的求内接锥面所围成A的立体的体积。解此立体是由球面，锥面