线性代数问题中的线性相关性方法研究

线性代数问题中的线性相关性方法研究摘要文中向量组的相关性所反映的是在数域上的有限维向量空间中向量之间的关系，分别给出了判断向量组线性相关和线性无关的几种方法，通过对向量组线性相关性的相关定义、判定方法的讨论，以此为北京处理的线性方程组的解的结构理论，以及两者的关系得出线性代数研究的核心问题就是线性相关性关键字线性相关；线性无关；矩阵；线性方程组；解空间SOMERESEARCHONLINEARDEPENDENCEINLINEARALGEBRAABSTRACTINTHISPAPER,THATAVECTORSYSTEMISLINEARDEPENDENTORNOTSHOWSTHERELATIONSAMONGTHESEVECTORSINAFINITEDIMENSIONALVECTORSPACEONAFIELDOFNUMBERSWEHAVEDISCUSSEDSOMEMETHODSTOJUDGEWHETHERAVECTORSYSTEMISLINEARDEPENDENTORNOTRESPECTIVELYTHOUGHTHESEDISCUSSIONANDSAMERELATEDDEFINITIONS,WEHAVESTUDIEDTHESTRUCTUREOFSOLUTIONSOFASYSTEMOFLINEAREQUATIONSANDTHERELATIONAMONGTHEMTHUS,WECOULDSAYLINEARDEPENDENCEISTHEHEARTOFLINEARALGEBRAKEYWORDSLINEARCORRELATIONLINEARINDEPENDENCEMATRIXSYSTEMOFLINEAREQUATIONSSOLUTIONSPACE1向量组的线性相关性11线性相关性的概念定义1给定向量组A,如果存在不全为零的数,使12,M12,MK10KK则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关的定义2若向量组A中每一个向量都可由向量组BIT,21线性表示，则称A可由B线性表示。若两个向量组可互相线性表示，S,1则称这两个向量组等价性质向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性定义3向量组称为线性无关，若它不线性相关，或由S,1，120SKK则必。即只有唯一零解。021SK12SXX定义6一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）。所得的部分向量组都线性相关。定义7一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数。性质1向量组线性无关秩。R,1R,1向量组线性相关秩。RR2等价向量组的秩数相同。中向量组的极大线性无关组的求法。NP例求的极大线性无关组与秩。6,15,403,12,1解有，205643253214是极大线性无关组。秩为3。21,4321,注意1对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的注意2若线性无关,则只有当0时,才有12M12M120M成立注意3向量组只包含一个向量时,若O则说线性相关若O,则说线性无关注意4包含零向量的任何向量组是线性相关的注意5对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例,几何意义是两向量共线三个向量线性相关的几何意义是三向量共面112线性相关性的判定向量组当时线性相关的充分必要条件是中12,M212,M至少有一个向量可由其余M1个向量线性表示证明充分性设中有一个向量比如能由其余向量线性表示,12,M即有M121M也就是1因,1这M个数不全12021,M为0,故线性相关,M必要性设线性相关则有不全为0的数,使12,12,MKMKK不妨设K10,则有32111MKK即能由其余向量线性表示证毕112向量组线性相关性的性质和应用121性质1含零向量的向量组必线性相关，即线性相关。S,1S0112一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。（即部分相关，整体相关）3若一个向量组线性无关，则它的每个非空部分向量线也线性无关。（即整体无关，部分无关）4线性相关，（线性无关）5线性相关，或线性无关,P,P6中单位向量组线性无关。NP7向量组线性相（无）关齐次线性方程组I,21INIA,21S有（无）非零解。021221211SNNSXAXA8若向量组线性相关。则向量组,1,21SIIII也线性相关。,21INII122线性相关性在线性方程组中的应用若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时称方程组各个方程是线性相关的当方程组中没有多余方程,就称该方程组各个方程线性无关或线性独立的结论向量组A线性相关等价于齐次线性方程组120MXX即AXO有非零解,其中A12,由此可得定理1向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A12,M的秩小于向量个数M向量组线性无关的充分必要条件是RAM12,M下面举例说明定理1的应用例1讨论N维单位坐标向量组的线性相关性解N维单位坐标向量组构成的矩阵为N阶单位矩阵由|E|10知,REN即RE等于组中向量个数故由定理1知此N维单位坐标向量组是线性无关的例2已知12302,4,57试讨论向量组及的线性相关性123,12,解分析对矩阵作初等行变换变成行阶梯形矩阵,可同时看出矩3阵及的秩,利用定理1即可得出结论123,1212302,45713R025532R10可见,R2,故向量组线性相关,而R2,故向量组123,123,12,线性无关12例3已知向量组，线性无关,试证向量组1A23线性无关123BA,A,B证一设有,使12X123XB0即31AA,亦即13122X因向量组，线性无关,由于此方程组的系数行列式1A231320X01,故方程组只有零解,即只有0,因此由定义得,向量组线性1X23123B,无关证二将表示为矩阵1231BA,A,B等式,，1B231A2301,记为BAK,并代入3元齐次线性方程组BX0,得AKX0,即AKX0,由于，1A，线性无关,即RA3,从而KX0,又因为|K|20知,齐次方程组2A3KX0只有零解因此,齐次方程组BX0只有零解故RB3因此由定理1,向量组,线性无关1B23证三由证二得BAK,因为|K|20知K可逆,由矩阵秩的性质4得RBRAKRA3因此由定理1,向量组,线1B23性无关本例给出的三种证明方法都是证明向量组线性无关性的常用方法证一是依据定义的证明方法,即向量组的线性组合为零的组合系数只能都为零证二是利用定理1证明向量组构成的矩阵的秩等于向量组向量的个数,借用齐次线性方程组只有零解的结果证明其系数矩阵的秩证三仍是利用定理1但过程利用了矩阵秩的性质线性相关性是向量组的重要性质,给出如下结论定理21若向量组A线性相关,则向量组B,12,M12,M也线性相关反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关M12M个N维向量组成的向量组,当NM时一定线性相关3设向量组A线性无关,而向量组B,线性相关,12,M12,M则向量必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的4设11221,2,JJJJRJRJAAJMA即添上一个分量后得向量若向量组A线性无关,则向量组JJ12,MB也线性无关反言之,若向量组B线性相关,则向量组A也线性12,M相关证明本定理的4个结论均由定理1证明1记A,B,则有RBRA1若向量12,M2,M1组A线性相关,则由定理1知RAM,从而RBRA1M1因此,根据定理1,向量组B线性相关可推广为一个向量组若有线性相关的部分组,则该向量组必线性相关特别地含有零向量的向量组必线性相关反之,若一个向量组线性无关,则它的任何部分组都线性无关2M个N维向量构成的矩阵ANM,有RAN,12,M12,因此,当向量维数N小于向量组向量个数M时,由定理1,该向量组一定线性相关3记A,B,则有RARB根据定理112,M12,由向量组A线性无关得RAM,由向量组B线性相关得,RBM1,故MRBM1,即有RBM再由RARBM知,方程组AX有唯一解,即向量能由向量组A线性表示,且表示式唯一4记ARM,BR1M,则有RARB根据12,12,定理1由向量组A线性无关得RAM,从而有RBM,但RBM因B只有M列,故RBM因此,根据定理1,向量组B线性无关例3设向量组线性相关,向量组线性无关证明123,234,1能由线性表示12不能由线性表示4123,证明1由于向量组线性无关,则由定理2之结论1知向量组4,线性无关又由于向量组线性相关,则由定理2结论3知,向量23,123能由线性表示,且表示式唯一123证明2用反证法若能由线性表示而能由线性表示,4123,123则能由线性表示但这与线性无关矛盾,所以,不能由423,44线性表示1,2线性方程组的相关性21线性方程组的相关定理211我们知道,N未知数M个方程的线性方程组1212212NMMNAXAXB可以写成AXB其中AXTBT矩阵BAB称为线性方程IJA12N,12M,组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容定理1N元线性方程组AXB1无解的充分必要条件是RARAB2有唯一解的充分必要条件是RARABN3有无限多解的充分必要条件是RARABN说明AXB无解RARAB的等价叙述AXB无解RARABRARABAXB无解RARABAXB有解RARABAXB无解要证明定理只需证明RARABAXB无解RARABNAXB有唯一解RARABNAXB有无限多解定理2线性方程组AXB有解的充分必要条件是RARAB定理3N元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是RAN212线性方程组的通解当方程组AXB有无限多个解时其解的形式为111,12221,RNRRRRNRXBXD其中是自由未知数令可得R1NX,R1X,NRC1,111,1001RRNRRRNNBXBDCCX这是方程组的含有参数的解称为方程组的通解求解线性方程组AXB的步骤1对于非齐次线性方程组把它的增广矩阵B化成行阶梯形从B的行阶梯形可同时看出RA和RB若RARB则方程组无解2若RARB则进一步把B化成行最简形而对于齐次线性方程组则把系数矩阵A化成行最简形3设RARBR把行最简形中R个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数其余NR个未知数取作自由未知数并令自由未知数分别等于由B或A的行最简形即可写出含NR个参数的通解12,NRC例1求解非齐次线性方程组1234152XX解对增广矩阵B施行初等行变换得2112312331350540542RRB可见RA2RB3故方程组无解例2求解非齐次线性方程组123415980XX解因为1313/245/471598000B所以有1342344571XXXX即12344/5/710XX定理4矩阵方程AXB有解的充分必要件是RARAB定理5设ABC则RCMINRARB若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组例如MNAIJA矩阵有个维列向量12112212JNJMMJNA向量組称为矩阵A的列向量组。12,NA类似的，矩阵A又有M个N维行向量IJ121212NIIINMMAA向量组称为矩阵A的行向量组12B,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵M个N维列向量,构成一个矩阵12,MANA个维行向量所组成12,TTM的向量组N构成一个矩阵2TMB1121122212,NMMNAXAXB方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应213线性相关性在线性方程组中的应用若方程组中某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）A向量组线性相关就是齐次线性方程组120,AMXXX即12,M有非零解其中结论矩阵经初等变换后秩不变。22线性方程组有解判别定理一、线性方程组有解判别定理定理6线性方程组（1）有解，SNSSSBXAXA211秩秩A其中，。11SNSAASNSA11且（1）有解时，设秩，则当时，（1）有唯一解。R当时，（1）有无穷解。二、解的求法例11234515980XX解一由，知，又。43212秩秩A013知（1）与（1）同解。用克莱姆法则可求出一般54321XXX解其中为自由未知量。43251745XX321,解二可得一般解同004174150189514332上。例2确定值，使有解。312X同上两种方法求解。23线性方程组解的结构一、齐次方程组的基础解系（1），设（1）的解集0211NSSSXAXA为。V（）、，则。V,（）、，则。PKV推广设为的任个解，则也是（1）的解。T,1TTIIC几何意义时，（1）中三个方程表示过原点的三个平面。（1）的解为这三3N个平面的交，或过原点的直线，或过原点的平面，设，则0V,RK，表示一个以原点为起点，而端点在这样的直线，或平面上的向量，K显然在交集上。2、线性方程组解的结构（2），（1）称为（2）SNSSSBXAXA211的导出组。问（2）的全部解，能否由它们的有限个解表示出来。下讨论基础解系的存在性、个数（唯一性）、求法。定理7若（2）的系数矩阵的秩为，则当时，它无基础解系；当RN时，它有基础解系。其基础解系含个解向量。RN1、基础解系求法例1079382543243XX解，,即027137931185行43217XX对分别取（1，0），（0，1）得基础解系,43X。127,结论设（2）的秩为，则（2）的任意个线性无关的解都是（2）的RRN一个基础解系。设（1）与（2）的解集分别为与。1V2性质、，则1,、，则。21定理8。01V的任一解为的一个特解为2,0结论设是（1）的一个特解，是（2）的基础解系，则RN1RNK10PK,例2求253242141XX可求得1,03,10,51KKVPK2,推论当1