【志鸿全优设计】2013-2014学年八年级数学上册 第七章 5 三角形内角和定理例题与讲解 北师大版

5三角形内角和定理1三角形内角和定理三角形内角和定理三角形的内角和等于180符号表示ABC中，ABC180变式A180BC谈重点三角形内角和解读1三角形内角和等于180是三角形的一个重要性质与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180；2三角形内角和等于180是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；3利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；4三角形内角和的一个重要结论直角三角形的两个锐角互余【例11】在一个三角形中，下列说法错误的是A可以有一个锐角和一个钝角B可以有两个锐角C可以有一个锐角和一个直角D可以有两个钝角解析如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180，故D错误答案D点技巧三角形中，角知多少任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角【例12】已知一个三角形三个内角度数的比是156，则其最大内角的度数为A60B75C90D120解析已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为K，则三个内角的度数分别为K，5K，6K根据三角形的内角和等于180，列方程K5K6K180，解得K15所以最大内角为6K90，应选C答案C2三角形的外角1定义三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角如图所示，ACD和BCE是ABC的两个外角，而DCE不是三角形的外角2三角形外角的特征三角形的外角特征顶点是三角形的一个顶点；外角的一边是三角形的边；外角的另一条边是三角形某条边的延长线3三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180如上图中，ACBACD180【例2】如图所示，1为三角形的外角的是解析由三角形外角的定义知，只有D中的1才是三角形的外角，故选D答案D点评判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征3三角形内角和定理的证法在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题这些在原来的图形上添加的线叫辅助线辅助线通常画成虚线证明三角形内角和定理的基本思路想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种1构造平角利用平行线的性质进行转化作平行线，让三个内角组成一个平角如图和图2构造同旁内角如图，过C点作CMAB，利用ABC与BCM是同旁内角可证4三角形内角和定理的运用1利用定理求角的度数或证明生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质2利用定理判断三角形的形状根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；若有三个角相等，则可判定为等边三角形；若有特殊角90和两个45，则为等腰直角三角形若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形【例3】如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理分析三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明证明连接BD四边形ABCD是平行四边形已知，ADBC平行四边形的定义，AABC180两直线平行，同旁内角互补13两直线平行，内错角相等A12A23180等量代换同理可证34C180，即三角形的内角和为180点技巧辅助线的作用辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线【例41】若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等边三角形解析三角形三个内角度数的比为234，三个内角分别是18040，18060，18080该三角形293949是锐角三角形故选B答案B【例42】ABC中，若BAC，则ABC是_三角形解析根据三角形的内角和定理，得ABC180，又BAC，2B180，即B90因此该三角形是直角三角形答案直角【例43】如图，已知ABC中，B65，C45，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，求DAE的度数分析由三角形的内角和定理，可求BAC70又AE是BAC的平分线，可知BAE35，再由AD是BC边上的高，可知ADB90，从而BAD25，所以DAEBAEBAD10解在ABC中，BAC180BC70，AE是BAC的平分线，BAECAE35又AD是BC边上的高，ADB90在ABD中BAD90B25，DAEBAEBAD10析规律三角形内角和定理的运用本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理的运用5运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明1三角形内角和定理的推论1推论1三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和如图，符号表示ACDAB谈重点三角形的外角推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系2三角形内角和定理的推论2推论2三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角符号表示ACDA或ACDB析规律灵活使用三角形的外角三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上【例51】如图，ABC中，A70，B60，点D在BC的延长线上，则ACD等于A100B120C130D150解析所求的角恰好是ABC的外角，根据外角推论1可求得ABC中，A70，B60，ACDAB7060130故选C答案C点评本题考查的是三角形内角与外角的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【例52】如图，1，2，3的大小关系为A213B132C321D123解析由于2是ABF的外角，1是AEF的外角，所以23，14；又由于4和2是对顶角，故42，所以121，2，3的大小关系为123故选D答案D【例53】如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中等于_解析此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质由外角的性质可得，453015答案156三角形内角和定理的实际应用三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件析规律灵活运用三角形的内角和“三角形的内角和为180”是隐含条件，在实际应用中必不可少；在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算【例61】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，则这块三角形木板另外一个角的度数为_解析根据木板的形状，将其“复原”为一个三角形，依据三角形的内角和定理解答所以C180AB1801004040答案40【例62】如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若B50，则BDF_解析要求BDF的度数，可通过DBF，利用三角形的内角和等于180来求由折叠可知ADEFDE，所以DFDADB所以DFBB50所以BDF180DFBB80答案807辅助线与角的转化应用1辅助线与角的转化有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解析规律辅助线的作法辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题2等腰三角形中内、外角的转换对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角【例71】如图1，直线AB，则ACB_解析利用辅助线构造三角形即可如图2，延长BC与A相交，由AB先求出内错角1B50，再根据三角形外角性质即可求出ACB128502878答案78【例72】等腰三角形的一个外角为110，则这个等腰三角形的三个内角分别为_解析等腰三角形的一个外角为110，则相邻的内角为18011070，而70的内角可能是顶角，也可能是底角，故分两种情况当底角为70时，则顶角为18070240；当顶角为70时，则底角为1807