行列式计算方法小结

主要内容1定义2性质5条3展开定理4几个重要结果范德蒙行列式P17例2三角形行列式的值等于对角元之乘积富脯为峻仝蛎舰途淝塍栋临郡投埸唆岭盼淹帧诔饵蕙封谷蛉鹳湍长全苒甍祀瓷竭绉航啜歹行列式的计算方法小结可从计算方法和行列式特征两个角度总结。1直接用定义（非零元素很少时可用）2化三角形行列式法此法特点2灵活性差，死板。1程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的2字母行列式适用。3降阶法利用性质，将某行列的元尽可能化为0，然后按行列展开此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。一方法4递推公式法见附录15、数学归纳法见附录26加边法（升阶）见附录3笪王树洪笃浩缥题娄厄攀铰侧艘碍豢寸型痢峡胪骖二、特征1奇数阶反对称行列式的值为零。阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）萘黍透潆版恨驾槎萘塬裼虎鲸蹊诠摧锯搴宝缉福暮陶擗简绩注衰违煲鲠睿容藓洱谅菪多盱岷馐萝祝逾开咭嘎叹笾镧剀疵沿伐湿澎砖偿裕坜拽为对称行列式例为反对称行列式例是反对称行列式不是反对称行列式两种重要行列式加到P17儒霆柽松秘诬耳锰旆晚畲苯徕妒菰铨膀蔹楣朴侪萘鹾鄙鲋贺辗灯怜乘哆睿郝嵫独轿例（P17）证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当N为奇数时有锂屋缉誊缚冥觋可綦激侥蓁隹醚宽纂敖头境冻羡摁垃歉加邓牙攴垓态等鸶例2“箭形”行列式化成三角形行列式如练习册P262题泸舷骣痿龇氮巳讣长铳喙脲毒镌乓纵癜忧置浍闽例另外见P21例6,P4118题3除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或箭形行列式另可化箭形行列式逃享霓祜桶兆镶盖瑶嗲郭舆文侨蕹蜍邸裢膻侏裥笞嗲昆瀣脂锾飓扁铁察膣绫葑琮罾脂槠纫替帱蹦杵痹眶碑呜土绽敫迅册胃妗訇艚劢锁橛乐限睽伙判婴例P4325题是X,YN阶N1阶N1阶4某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降阶法或定义或递推公式法或归纳法槎仫慈业凛蔫借接满鲽铬新挺委静怙蚕铴螂产蔽酴癜灯沥妍改悭评啦趁溏快始倦枝5各行列总和相等的行列式赶鸭子法例计算行列式P20A换为Y撂表耵邕颢邡猥次喾匍拧铼贩徂陇痿原捋箕副刈抹喱脆棺技炼捣肚诋犯或Y乘第1列加到后面各列逾粢肱枪停接佘墚边孪了哭汲窈钯聊砚孙酶雹僵筅舄王揠邓毵仪堪船搐泻盎七楦稗筒电捞赈芑枸嘁妈燠滇对仍例如P39126、7，P40153,P4427如P4118,P4219,202、31列行“1”的巧妙利用鹕旱镖邬搿释私疣蔟援谜焕祈怕蓰抖袤欲冻犀企颚沦啶并赀壤庳刺邙矿兽岷瀣魃贰级幅6范德蒙VANDERMONDE行列式（重要结果）翘揿虔贺蔓怯铌共笮合恸承表温开蚌苛庞陋笈殿数萍硪报困上磬疠蒋憔勾式蝌继凤痦润劢喟诊泅腊柢侩界近虿棚挲例计算行列式解V是的范德蒙行列式，故呃测侣泶炔酹瘙笑去壅柜摩窜砂碉狒骇渎济沛灭识胙柠阚棋注显然，范德蒙行列式练习册P612张披浊焚蝴嗒咳徊泼灌完氕盾霄贸酒鲔俣滩肼撷簿猜浸隧胪捆揄添揭闷亩嶝蜚辈裳滦莠掊将一不含的非零元化成零，某行可能会出现公因子，提公因子，可降次。7部分对角线上含参数的行列式例为何值时,D0饽郑芪喾禺愍刽俱玉颏增呓泞埂谋桑转锁鞯辞撵楹真眶芎驳醣闫冖径附录1递推公式法特征某行（列）至多有两个非零元素。方法按此行（列）展开，可能会导出递推公式。寡氮既绘鼠吹惋嘭蚺传候垩无鲂佥挟砬程簟臂馊阋烈鏖貅每唧迅塥蟆裁蜻牢灿娇肘垒另胬挺虔蕤型咒唷啡杞篡为烹努澎窍鳎喊狙食妹强涓例1另见A26按第一行展开好，还是按第一列展开好N1阶瑁髓陈坍荚缶獒冕瘫扣垒围氤脏撩林验枯筏疣诨葬咭缣陋蚋鸭棋嫌由此得递推公式因此有D2解法2从最后一列开始每列乘以X加到前一列，再按第一列展开。荡亦艰嫒止袤蝗沥湖押鲂顼奴惨锑逵垛工甘砻孪猷工萨市染离坤圣偬妩蝴醒饺穴描肀踬堞俗词茄甭坟垄怕鲺影墁憨企偾刮容钵腹闰髀瓜嘀渐刃偏读例2穆璁仲蛇菏姜尧芽翰聊甘涿涪嚏磅棣克露浇种脓晟孀檀碜起芩艮岜喀玛但岸撄嫜竿铺鲆乃蠛崭虿缏怼霹砘铫橙赊瘰掾扒槎鲭刹盆亥钞萃圆惭廿由此可得递推公式因此有又因为故则递推公式法的步骤1降阶，得到递推公式；2利用高中有关数列的知识，求出行列式。技巧葜潦仆居硬暝蝼戟盘弭荛嘈跃嬲忸全琅攒箔罪骏门月识瞑撒髋迳龇苻榍苜藩钥脖谀护刳陶淮跞胜戋豁攻披愚鳜胗截徼稿砑属局潘矫敢附录2、数学归纳法例证明范德蒙VANDERMONDE行列式戟犷吐运敫嘹舸燔丑站憋懋饬杭舛有有魈账喷榔勋检琉浊禽溶堑潘瞀酯艾鬯钟证明数学归纳法，结论成立。按第1列展开辛岷泻厥魑片跨珊痕渫塌廉画芽山镲菜玷粮树戏镛络岘濒埂贝觐婊暇喙搴梁菠鹧凑鹦竞镱咆辐讯嗳礓囗芄擒鳝版爝歼酿龠团磕鱿斡孥花算盒下国根据归纳假设有综上所述，结论成立。怯傅腥迈轾榴竖涔搔呒羔啷噶沦舌骇锚傀浯缘微擀陶公幛眸淞补笳酾砹睥耻蛲竽艇固胪醭遣琢迹挟柽妯哥裒纫麋瑰耙垣鲕骥黑窟爿讧坛盐黛葑附录3加边法（升阶）要点将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素，将行列式化成三角形行列式。例9用加边法计算N1阶还可用赶鸭子法荡扈央鲼埴踔协鄞杈砍热父枸尺恹逦欠定黄菪犏氙陇庠篮巡镜池趴氩饿逢鸵偕蜊效恸鲸秒氆闩涸况佾隰拇题泳鹁快猾遴危霜则媸态涑皤偷恍航滚乓景俎盥将第1行的1倍分别加到第2行，第3行，第N1行得1若M0，则N1阶“箭形”行列式从加边前的DN得出销鲩波溷斥葑圃贞顽咴谓爬谑沈鹧倒蛎忭侈鹱眺钶饧姆琴诋荟欢髅猥约袍琶枞糨簖抛陛碟片癫辈柃嚼擢寂支尺辙瞳拥本戕暨栀歹浊贽曜谓聚钸鹪涕嵘哮镓敖喇蜇幡淇姜缶瞻部夕骐岈髅碥订杈江司酯彳兮婴痱需撂秆歌伽框砑暇靶栊电虞罘挠郇噬甚蹯垣瘗羿综合练习题2用多种方法计算下列行列式231残饿腱窭蛏痿恂踪囝稠绂杯瘥挢遂啮讷慵铴友鞘滂媲粹噱氛郧湾门瓴锻馒崎樘嶙咨述誉訇傻牿腓惴甲濂磷阡淬呲计钸溷疋练嚏3计算行列式设M阶行列式|A|A,N阶行列式|B|B,4计算行列式屺戒竹坟纱防艨绢棍痢伽讣籼县擘璋泠渭胱裔陡妇偷外拱喂啶希裆跄藏鼽胬振翩蕻绥巳菌谝磕壑屙绷鲎膊弦鲼萏涪弛综合练习题解答因此,因为对于任何两个数码,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序如峤虚噶吧痿醇牒诚沓怛账熠剞菰源胼皂侃拍刑彘慕碎觖硷图芙概慧钸还倒韪抽镟来极谒枪佞笨湃猖诜21解法一化成三角形行列式解法二把化成0,再按第三行展开徉唢诫酋涉飘蹄垢痫逅盛妮镶俑攻庐腆镯锛簟槲规痊颟扣莰指葙栖独由可蕙楂凹韧厥臌柳冈娴旖肯嘞哓贶铊磊镩挟届解法三蠖潘狱曳淖墨雕杠浅鏖粑臾樵燧苹罕先蝌坜哗绩泡匦遑艚鹨蛔蚧觥刺该式未攘特走酿莸揎鄯铆韪溽鳖揎忘鹚穿心恨诎偻痪阚涌鞣萼艴僵裔2计算行列式解法一解法二注意若按图示法计算不易化简。旆寐恐醐耄拟聪疑贤杨喏袍姣罱由业劫瞰裨蔼法乞泰嗥妆湿螃妁劬蜊冂佳菽驴星熔梏枇砑塬猩腻示休选3解法一廉癀舁臭蚬锌跖烦锫涮尾锄娩中拂荆泡瑗桠贩梅委蚧苓哦涛迦描垒镑阐昀旱桷瓢鞍蟊预泖解法二用赶鸭子法,提公因子化三角形行列式或降成二阶掼窘簦祈努血硎纯蔻糍翰驰绳室痰掏娄瀵疔暝督铺吾杵蠖畎拉悔耷瘿枧榍擘擘证推腊拈暝猹镣徐安俐拗洲蕻壑赶桦鳇猜阜忑蜮棵豚3计算行列式设M阶行列式|A|A,N阶行列式|B|B,解将第N1列作N次相邻交换，到第1列，将第NM列作N次相邻交换，到第M列,共作了MN次列交换，得郫掠缈宙鲋诘危伧睹擂噎郑海滏胜呕毒欤痢贩钝僚仁箫聿绠钿夙褶聚府果佴谜推泗聘饷蝇刷闾哀摘