专升本高数复习笔记--经典

第一章函数、极限和连续11函数一、主要内容函数的概念1函数的定义YFX,XD定义域DF,值域ZF2分段函数21DXGFY3隐函数FX,Y04反函数YFXXYF1YYF1X定理如果函数YFX,DFX,ZFY是严格单调增加或减少的；则它必定存在反函数YF1X,DF1Y,ZF1X且也是严格单调增加或减少的。函数的几何特性1函数的单调性YFX,XD,X1、X2D当X1X2时,若FX1FX2,则称FX在D内单调增加；若FX1FX2,则称FX在D内单调减少；若FX1FX2,则称FX在D内严格单调增加；若FX1FX2,则称FX在D内严格单调减少。2函数的奇偶性DF关于原点对称偶函数FXFX奇函数FXFX3函数的周期性周期函数FXTFX,X，周期T最小的正数4函数的有界性|FX|M,XA,B基本初等函数1常数函数YC，C为常数2幂函数YXN,N为实数3指数函数YAX,A0、A14对数函数YLOGAX,A0、A15三角函数YSINX,YCONXYTANX,YCOTXYSECX,YCSCX6反三角函数YARCSINX,YARCCONXYARCTANX,YARCCOTX复合函数和初等函数1复合函数YFU,UXYFX,XX2初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。二、例题分析例1求下列函数的定义域212XXXF解对于有0解得12X2X对于有02的定义域XF,1,1,2XXF2LN解由得，解得X2LN10L1X由得0，2LX2的定义域XF,1,X例2设FX的定义域为（1，1）则FX1的定义域为A2,0,B1,1,C0,2,D0,2解1X112X0即FX1的定义域为X2,0应选A例3下列FX与GX是相同函数的为A,XF2XXGB，2XFXC，2LNFGLN2D，XXFLXXL21解A，,FD,0GDB，,F,02XXXF应选B0XXGC，,0,FD,0GDD，,F,例4求，3LOG2XYA1,A的反函数及其定义域。解，3LOG2XYA1,A，,X,Y在3,内，函数是严格单调的32YAX反函数321XAXFY,YX例5设0,1,12XXXF则其反函数。1F解1,0,01,12YXXY在内是严格单调增加的0,F21YX又取0,1X21YX即211XXFY（应填）0,0Y21X例6设函数和是定义在1XF2XF同一区间上的两个偶函数，FD则为函数。21XFXF解设21XFFF21FFX21XFXFF是偶函数（应填“偶”）21FXF例7判断的奇偶性。1LN2XXXF解L2XXXF1LN2XX22211LNXXXX22221LN1LNXXXX121LNXXL2XFXX为奇函数F例8设，XXFCOS则的周期为。F解法一设的周期为T,XFCOSCOSTXTXTFXFXTCOSCOS而UU2，2T2T解法二XXFCOS2COSX2CSX2XF应填2T2例9指出函数那是由些简1SINLXXF单函数复合而成的解令，则1SINLXUUF，则SIVVULN，则1XWWVSI是由，FUFLNVSIN复合而成的。1XW例10已知,则等于XEGXF,3XGFA,B,C,DXE33XE3XE3E解XEXGXF,3XXXEFGF33或（应选A）XXEXXF333例11已知XFXXF,1LN求的表达式。X解XF1LN解得XEX11X12极限一、主要内容极限的概念1数列的极限AYNNLIM称数列以常数A为极限NY或称数列收敛于AN定理若的极限存在必定有界NYNY2函数的极限当时，的极限XXFAXFAXFXXXLIMLIM当时，的极限0XFAFXLIM0左极限AXFXLIM0右极限FXLI0函数极限存的充要条件定理AXFXFAXFXXXLIMLIMLIM000无穷大量和无穷小量1无穷大量LIXF称在该变化过程中为无穷大量。FX再某个变化过程是指,XXX000,XXX2无穷小量0LIMF称在该变化过程中为无穷小量。XF3无穷大量与无穷小量的关系定理0,1LIM0LIMXFXFXF4无穷小量的比较0LI,LI若,则称是比较高阶的无穷小量；0LIM若（C为常数），则称与同阶的无穷小量；LI若，则称与是等价的无穷小量，记作；1LIM若,则称是比较低阶的无穷小量。LI定理若；，2211则2121LIMLIM两面夹定理1数列极限存在的判定准则设（N1、2、3）NNNZXY且ANNNLIMLI则AXNNLI2函数极限存在的判定准则设对于点X0的某个邻域内的一切点（点X0除外）有XHXFG且AXXLIMLIM00则AFXLI0极限的运算规则若BXVAXULIM,LIM则BAXVUXVLIMLILIULILILIBAXVUXVLIMLIM0LIMXV推论LI21XUUUNLIMLILIM21XUXXNLILIXCUCNNUXLILI两个重要极限1或1SINLIM0XX1SINLIM0XX2EXX1LIEXX10LI二、例题分析例1求数列的极限。45,32,1解NNNY11LIMLI1NNN例2计算NN321LIM解2131NNNN31LIM32LIM2NNN131LI2131LI221LIM2131NN误解NN31LI2NNNNN333231222LIM3133231LIMLIMLILI22NNNNNNNN0例3下列极限存在的是AB,LIM12XX,LIM21XXCD,LI12XX,LIXXE解AXXXX11LIMLIM2B11LIMLILI1122XXXXXXLILIMLIM11122XXXXXX不存在21LIXXC应选C0LIM12XXDXXELI0LIMLI1XEXXXE不存在XXELI例4当时，与是等价无穷小量，XXF1则。2LIMFX解XF1应填22LIM12LIM2LIMXXXF例5计算N1,2,3,2LIMNNN解NNN21321212320NN2,3,0421NNN4213210又0LIMN04LINN由两面夹定理可得02321LIM2LINNNNN02LINN例6计算下列极限32LIM43XX解4412432433LIM3LIMXXXXXX01LI424321XXXXX12LIM21XX解12LI21XX32LIM12LIM11XXXX2201LIXX解法一共轭法22202011LIM1LIMXXXXX2201LIXX2220LIMXX21LIM20XX解法二变量替换法设TTXT2122当时，0X0TTTTXTX2LIM1LIM0220LI0TTXXX1LIM2解法一共轭法XXXXXXXX11LIM1LI2222XXXXXX1LI1LIM2222211LIM1LI2112XXXX解法二变量替换法设当时，TX1X0TTTXXTTX11LIM1LIM2102111LILI22220200TTTTTTT211LIM11LIM20220TTTTTTXX203SINLI解法一XXXXX2202033SINLIM3SINLIM031LI3SINLI020XXX解法二0SIN22XXXX20203LIM3ILIM33LI0XXX2ARCSINLIM0解设TXTSIN2ARCSIN21当时，0X0T2SINLIM2ARCSINLIM21000TXTX结论0ARCSINX20COS1LIMXX解法一XXX2222SIN1COSSINCOCOSX2I12SINCOSXX又02SIN22020SINLIMCOS1LIM0XXXXX21LILI0220XXX解法二22SINCOS1XXXXXCOS1SLIMCOS1LIM2020021COS1LISINLI2020XXXX解法三应用罗必塔法则22SINLIMCOS1LIM0200XXXX0LIMAXXX解法一XXXXAXALIMLI1AAXXXXXAX221LI21LIMAAXXXA2121LI2AXAXXXAX21LIM21LIM2AAAEE221解法二设ATXAXT当时，TATTXXTAALIMLIM1ATTTT221LIAATATTETTA2221LIM21LIM解法三XXXXXAA1LIMLIMAAAXAXAXXXAXXEX21LIMLI1LI例7当时，若与为等价无穷小量，0X2AX42TNX则必有。解0TAN422XAXX1TANLIM2402XXX4240240222COS1SINLIMTANLIXXXXAX14COS1LILIM4024022AAXXXXX（应填）41A1结论0TNXX0ARCTNX例8若，则。211LIMEXKXK解211LIM1LIEKKXKXXKXX（应填）21K21例9已知，求的值。43LIM23XKXK解0LI3X432LIM3XKX0LI23KX2K由32LIM32LIM333XXKXKX41LI31LI33XXX当时，原式成立。K例10证明当时，与是等价0X1XEX无穷小量。证只要证明成立，即可。1LIM0XXE设TTLN1当时，0X0TTETXX1LNIM1LIM0001LNLNI10ETTX01XEX结论01XEXLN13连续一、主要内容函数的连续性1函数在处连续在的邻域内有定义，0XXF01O0LIMLI0000XFXFYXX2OLI00FFX左连续LI00XFXFX右连续LIM00FFX2函数在处连续的必要条件0定理在处连续在处极限存在XF0XF03函数在处连续的充要条件0X定理LIMLIMLIM00000XFXFXFXFFXXX4函数在上连续BA,在上每一点都连续。XF在端点和连续是指AB左端点右连续；LIMAFXFAX右端点左连续。LIMBFXFBXA0BX5函数的间断点若在处不连续，则为的间断点。XF00XF间断点有三种情况1O在处无定义；XF02O不存在；LIM0FX3O在处有定义，且存在，XF0LIM0XFX但。LIM00FXFX两类间断点的判断1O第一类间断点特点和都存在。LI0XFXLIM0XFX可去间断点存在，但LIM0FX，或在处无定义。LI00XFFXXF02O第二类间断点特点和至少有一个为，LIM0XFXLIM0XFX或振荡不存在。LIM0XFX无穷间断点和至少有一个为LI0FXLIM0XFX函数在处连续的性质0X1连续函数的四则运算设，LIM00XFXFXLIM00XGXGX1OLI000XFXGFX2OLIM000XGXFXFX3OLI000XGFXGFX0LIM0XGX2复合函数的连续性,XFYXUFYLIM,LIM0000XFUFXXUX则LILI000XFFXFXX3反函数的连续性,001XFYXFXFYLIMLIM011000YFYFXFXFYX函数在上连续的性质,BA1最大值与最小值定理在上连续在上一定存在最大值与最小值。XF,XF,BAYYMMFXFX0ABXMM0ABX2有界定理在上连续在上一定XF,BAXF,BA有界。3介值定理在上连续在内至少存在一点XF,BA,BA，使得，CF其中MCMYYMFXCFX0ABXM0A12BX推论在上连续，且与异号XF,BAAFBF在内至少存在一点，使得。,0F4初等函数的连续性初等函数在其定域区间内都是连续的。三、例题分析例1分段函数，021XEXFX在处是否连续0X解1210XF2LIMLIM00XXFXX1LILI200XXXEF0LIMLIM00FFXFXX由函数连续的充要条件定理可知在处连续。XF0例2设函数，试确定常数K的值，使在定义域01SIN0SIN1XXKXXFXXXF内连续。解的定义域为XF,X当时，0是初等函数，在有定义XXFSIN10,不论K为何值，在内都是连续的。XF0,当时，0X是初等函数，在有定义1SINXF,0不论K为何值，在内都是连续的。F,0当时，0XKF1SINLIMLIM00XXFXX11SINLIMLIM00XXFXX（无穷小量乘以有界函数还等于无穷小量）只有当时，在处连续，1KF只有当时，在定义域内连续。X例3证明方程至少有一个根在1与2之间。013XX证设，F,X在上连续XF2,1313XF122XXF满足介值定理推论的条件。由定理可得XF在内至少存在一点，使得；2,10F即在1与2之间至少有一个根。X例4讨论函数的间断点。XXF1LN解的定义域为XF,0,1X在处无定义；F0是函数的间断点。0X1LN1LNIM1LNLIM100EXXXX若补充定义，则函数在连续；10F0X函数的可去间断点。0X例5讨论函数的间断点。212XXF解12212XXXXF的定义域为XF,2,1,当时，函数无定义，2,11是函数的间断点；2XX321LIM12LIM11XXXXX若补充定义，则函数在处连续；3FX是可去间断点。1X21LIM12LIM22XXXXX是无穷间断点。第二章一元函数微分学21导数与微分一、主要内容导数的概念1导数在的某个邻域内有定义，XFY0XFFXXXLIMLI00000LI0XFFX000XXDYFY2左导数00LIM0XFFXFX右导数00LI0XFFFX定理在的左（或右）邻域上连续在XF0其内可导，且极限存在；则LIM00XFXFX（或）LI00FFX3函数可导的必要条件定理在处可导在处连续XF0XF04函数可导的充要条件定理存在，00XFYX00XFF且存在。5导函数,FY,BA在内处处可导。YXF,BA0XFXF6导数的几何性质是曲线上点0XFXFYX处切线的斜率。OX0X0,M求导法则1基本求导公式2导数的四则运算1OVUVU（2O（3O2VUVU0V3复合函数的导数,XFYXUFY，或DXUYDXXXFXF注意与的区别FF表示复合函数对自变量求导；XFX表示复合函数对中间变量求导。F4高阶导数,3XFXFXF或4,2,1NFFNN函数的N阶导数等于其N1导数的导数。微分的概念1微分在的某个邻域内有定义，XFXOXAY其中与无关，是比较高XX阶的无穷小量，即0LIM0XOX则称在处可微，记作FYXADDY0X2导数与微分的等价关系定理在处可微在处可导，XFF且XAXF3微分形式不变性DUFDY不论U是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。Y二、例题分析例1设存在，且，XF12LIM000XXFXFX则等于0FA1,B0,C2,D21解XXFXFXLIM000122LI20000XFFFX（应选D）210F例2设其中在处连续；求。,2XAXFXAAF解AXFFAFAXLIMAXAAXLI2222LIMLIMXAXAXAXAX2A误解22XAXXF2222AAAAF结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说可导，所以不一定存在。XX例3设在处可导，且，求XF121F134LIM1XX解设4,343TT当时，1X1T14LIM134LIM311TFFXFFTX62311LI31FTFFT例4设是可导的奇函数，且，XF00KXF则等于0FA,B,C,DKKK1解XFXFXFFXFX应选AKF00（结论可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数。）例5设在处是否可导122XXF1X解法一11XF21LIMLIM211FXXLILI11XFXX在处连续F12LIM1LIM1211XXFFFXX2LI1LI121XXX2LIM12LIM1LIM111XXXXFFF21FFF在处可导。XF1解法二2211XF21LIMLIM211FXX2LILI11XFXX在处连续F当时，1X12XXF2LIMLIM11FFXXLILI11XXFF21FFF在处可导。XF例6设012XAEBXF求A,B的值，使处处可导。XF解的定义域XF,当时，0是初等函数，在内有定义，BXF10,不论A和B为何值，在内连续；F,当时，0X是初等函数，在内有定义，XAEF2,0不论A和B为何值，在内连续；XF,01100XBFLIMLIM00BXFXXAAEFXXX200LILI只有当时，在处连续；1AF0X当时，处处连续；XF当时，0A可导可导02021XEBXAEBXFXXABFFXX00LIMLIM022LILI00XXXEFF只有当时，在处可导；2BF当，处处可导。,1AXF例7求下列函数的导数21LNCOSXY解XVU21LNDXVUDYX21LNSI2121SINXXVUARCTTA2XY解NRTT2TANTAN12TATAN1222XXXXXXX442COSSIN2ITAN1SEC2XXY2TAN0解2TAN10LN12TAN2TANXXXXXSECTA0L2TAXXX（为常数）222RYXR解法一22XR222222XRRY22XR解法二222YX022XRYXYCOSXYY解法一SINXYSINYXXYSIN1IXYY解法二设COS,YXFSIN1,SINXYFXYXSIN1XYFDXYYXYXYLNLN解法一LNLNYXXYYXXYXLL2LNLNXXYYXYYYXY解法二设YFLL,YXFYXYYXLN,LN2LNLNXXYYFDXYYXYYX321XY解（对数法）321LNLXY3LN2LN1L21XLLLLN21XXY312121XXXY321312112XXXXYXY解法一（对数法）XXYLNLNLN1LL1XXY1LNXY解法二（指数法）XXXEEYLNLNLLNLNXX1LXXXXYCOSSIN2解法一（对数法）设XXYYCOS21SI,2121,YXXYLNLNLNLN12LN21LN211XXXY2LN2LN221XXXYXXYSILCOSLN2XXXYSINCOSINLSIN12ILICOTSSINCOS2XXYX21Y解法SINLSINCOTSSINLNCOS21XXXXXXX二（指数法）XXXEEYSINLCOLN2SINLCOSLSINLCOSLNXXEXXXSINLITSIN1LCOS21XXXXXYY解法一XXLNLNXYXYYLL2LNXXYYY解法二设XYXF,YXYXYXXXYXYLNLNLN1YXYXYYXYYXYFLLL12LNLNXXYYXYFDXYYXYYYX例8已知，求。FSIF解设2,TXT2SINTTF2IXXF22COSCOSXF例9求下列函数的二阶导数1LN2XY解21XY2221212XXXY0LNYXY解法一1YYX02YXYXYY12212XYYXY2121222XYXYY3223112XYXYXYY34312XY解法二0YY02YXYXYY1202Y02YXYXYXYXYYYXYY13132122343343121XYXYY例10设，求。XEXY2910,10NYYN解X28XEXY279X2368XXEEXY29299917XE2101010,2NYXNN结论对于，若，则MXYN0NY例11设，求。XXYL4950Y解148212479XXY3134684X50501505049XXY例12求下列函数的微分XEYX2SIN解法一XEXXCOSSIN2I2SINSIN2XXEXDXDYX2II2解法二SIN2XEXSINI22XDEDXXSINISIN2XDXDEXXCOSIN2I2XXDXXEX2SINSIN212YEX解法一02YY2YEXYEXY2DXEXDYY2解法一02YDYD2DYEYXXXEXDYY222中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1罗尔定理满足条件XF0,3,2,100FBABFAFBA使得存在一点内至少在内可导在上连续；在YXFXFAOBXAOBX2拉格朗日定理满足条件FABFFFBABA,2,100，使得在一点内至少存在内可导；在上连续，在罗必塔法则（型未定式）,0定理和满足条件XFXG1O；）或）或0LIMLIXGFAXAX2O在点A的某个邻域内可导，且；0XG3O）（或,LIMAXGFAX则）（或,LILIAXGFXGFAXAX注意1O法则的意义把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2O若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是型或型时，不可求导。03O应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4O若和还满足法则的条件，XFXG可以继续使用法则，即）（或AXGFXGFXGFAXAXAXLIMLIMLIM5O若函数是型可采用代数变,0形，化成或型；若是型可0,1采用对数或指数变形，化成或型。0导数的应用1切线方程和法线方程设,0YXMXFY切线方程000XFY法线方程0,10000XFXFY2曲线的单调性,0BAXXF内单调增加；在,BAXF,F内单调减少；在,F,0BAXXF内严格单调增加；在,BA,F内严格单调减少。在,3函数的极值极值的定义设在内有定义，是内的一点；XF,BA0X,BA若对于的某个邻域内的任意点，都有0000XFXFXFXF或则称是的一个极大值（或极小值），0FF称为的极大值点（或极小值点）。0XXF极值存在的必要条件定理02100000XFXFXFF存在。存在极值称为的驻点0XF极值存在的充分条件定理一是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在00000000321XFXFFXFXF当渐增通过时，由（）变（）；X0F则为极大值；0XF当渐增通过时，由（）变（）；则为极小值。X0F0XF定理二是极值点。是极值；存在。；0000021XFXFF若，则为极大值；0F0F若，则为极小值。0XF0XF注意驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点若；则在内是上凹的（或凹的），（）；BAXXF,0XF,BA若；则在内是下凹的（或凸的），（）；F,F,的拐点。为称时变号。过，,201000000XFFXFF5。曲线的渐近线水平渐近线的水平渐近线。是或若LIMLIXFAYAXFFXX铅直渐近线的铅直渐近线。是或若LIMLIXFCXXFFCXX二、例题分析例1函数在1，0上是否满足罗尔定理的条件若满足，求出的值。23XXF解是初等函数，在1，0上有定义；23F在1，0上连续。23XXF在（1，0）内有定义；F2在（1，0）内可导。23XXF又01123XF0023XXF满足罗尔定理的条件。由定理可得XF023F解得,321不在（1，0）内，舍去；23例2。证明当时，不等式成立。20XXXTAN证法一（采用中值定理证明）设2,0,0,TANXTTF是初等函数，在0,X上有定义，TT在0,X上连续。TTFAN在（0,X）内有定义TTT22COS1SEC在（0,X）内可导。TTFAN满足拉格朗日定理的条件，TT由定理可得XXFFTAN0COS12,0,TANS22XX0TAN,1CO02XXTTS2；证毕。20,TANXXX证法二（采用函数的单调性证明）设2,0,TANXXXF2,0,0TAN1SEC22XXXXF2,0,XXF0TANFXF即0TAN；证毕。2,TXX例3证明0,11LN12XXXX证设,L22XF222111LNXXXXXXF222111LNXXXXX222221111LNXXXXX0,01LN2XX,F011LN1022XXXFXF；证毕。0,LN122X例4证明当时，。0XXX1ARCTN1LN解设，FARCTNL0X2111LNXXXXF0,011LN2XXX0,XXF0,0ARCTN1LN1XXXXFF；证毕。0,1ARCT1LNXX例5求下列极限XEXXXTANLIM0解2SECLIMTANLI2000XXEXXXX0,LNLIMAXAX解01LIM1LIMLNLI1AXXXAXAXEXX10LIM解令TXT11当时，；0XT01LIMLI1LIMLI10TTTTTTXXEETEEXXXXXELIM解法一XXXXXXXXXXXXEEELIMLI11LI22XXXE解法二XXXXXXXXXXEEELIMLIM12LI1LI22XXXXXXEE11LIM0XXE解1LIM11LI00XXXXXEEXXXXXXXXXEEEE00LI1LIM00221LI0XXXXLNLIM20解200201LNLIMLNLIXXXXX0LIM2112LIM2030XXXXXXX1LNLIM未定式）0解法一（对数法）设XY1LNXXYLNLLN1XYXXLNLIMLNLIM0LN1LI1LNLIXXXX1LNLIMLIXXXY解法二（指数法）XXXXELN1LILNLI010LN1LIMLNLIMEEEXXXXXX1LIM未定式）解法一设XY1X1LNLNXYXX1LNLIMLNLIM11LIM1LIM10XXXX111LILIEXYXX解法二XXXXXXEE1LNLIM1LN111LIMLIM11LIM0EEXX解法三设TXT,0,1TX时11010111LIMLIMLIMETTTTTXXXX0LI未定式）0解XXXXXXXEE1LN00LN000LIMLIMLI1LIMLIM0102XXXXXEE例6XXE101LIM解设XEY11LN1LN1LNL11EXXEXYX21LN11LN1XXX200LLIMLLIMXYXX12LI21LI000XXXX212LIM0XX211001LIMLIEEXYXXX例7为正整数）NEXNX,0,LI解XNXXNXXNXENEE2211LIMLIMLIM0LI1LIXNXXNNXEE例8设，求A、B的值。31SINLIM21XBAX解0ILI21X31SINLIM221XBAX0LI21BAX（）0B1,11SIN22XXX1LIM1SINLIM21221XBAXBAXX322LI10AXAX代入（）式，得4A5B当时，原式成立。5,4BA例9求曲线在点（1，2）处的切线方程XY和法线方程。解324XXY44131XXY切线方程42Y即XY6法线方程1412XY即47XY例10曲线的切线在何处与直线2231XY平行452解1621XY52Y的切线与平行12Y562X1,121X321311XXY2131XXX所要求的点为,1,例11求曲线上任意点处的切线与坐标轴组成的三角形的面积。2AXY0X解求切线方程0202,XYXY2020,XAYXAYX切线方程为0200XAY022002XAXAXAY（1）XAXY2002求A、B的坐标A代入（1）式，得0AX02XAYA02XA,B代入（1）式，得BY02XXB0,2X求三角形的面积OABS2121高底2002AX例12求函数的单调增减区间XXF1和极值。解的定义域XF,0,2211XXF令，解得0XF1当时，无定义，是间断点0XXF0X列表如下,111,00,111,00XF极大值极小值当时，1X2111XXF为极大值；当时，为极大值。1X2111XXF单调减少区间为1,0,0,1F单调增加区间为,1,1,X例13作函数的图形XEF解的定义域XF,1XEXEX令，解得0XF无一阶导数不存在的点。2XEXEFX令，解得02XXXXEEFLIMLIMLIM01LIXXE是水平渐近线0XF列表如下X,11（1,2）2（2,）0F0XF极大值拐点F370111EXEFX222FX例14求下列曲线的渐近线5412XXF解125412XXXF的定义域F,0541LIMLI2XXFXX是水平渐近线。0XFXEF1解的定义域,0,1LIMLIMXXXEF是水平渐近线。1FXXXEF100LIMLIM是铅直渐近线。例15设，求在上的最大值和最小值。1422XXFXF2,1解883F令，解得0XF1,0,132XX舍去。,2132842XXF01612XF为极小值；412XXF81242121XF1714222XXF为最大值，为最小值17FF结论若连续函数在内只有一个极小（或大）值，而无极大（或小）值，XF,BA则此极小（或大）值就是在内的最小（或大）值。F,例16欲围一个面积为150M2的矩形场地。正面所用材料造价为6元/M，其余三面所用材料的造价为3元/M，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少解设场地的正面长为X米，则场地的侧面长为米X150所用材料费为Y元XXY90150236,022909XXY令，解得（舍负）0108181030XXY为极小值点1函数Y在（0,）内连续，并只有一个极小值，而无极大值，函数Y在处取得最小值。10X当场地的正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少。第三章一元函数积分学31不定积分一、主要内容重要的概念及性质1原函数设DXFXF,若FF则称是的一个原函数，XXF并称是的所有原函数,CFF其中C是任意常数。2不定积分函数的所有原函数的全体，XF称为函数的不定积分；记作FCXFDXF其中称为被积函数；F称为被积表达式；DX称为积分变量。3不定积分的性质XFDXF或DFFCXFDXF或FFDXFXFXFN21DXFDXFDXFN21分项积分法K为非零常数FKXKF4基本积分公式换元积分法第一换元法（又称“凑微元”法）DXXFXDXF凑微元CTFTFXT令XXT回代常用的凑微元函数有1O11BAXDAXDDX0,ABA为常数，2O1111BAXDMADXMDXMMM为常数）（3O1BAEDEDXEXX1,0,LN1AADDXAX4OLN1XDX5OSINCOSCOSSINXDXCOTTANEC22XDX6OARCSRCSI12XDXCOTARCTN12XARDXDX2第二换元法TDTFDFTX令CTFDXTFTFXT11反代第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换1O0,TNTX为偶数时当被积函数中有时X2O20,COS,SINTXATAX或当被积函数中有时22X3O0,0,COT,TAN22TTAXX或当被积函数中有时224O0,0,CS,SEC22TTTAXTAX或当被积函数中有时22分部积分法1分部积分公式VDXUVUDXVU2分部积分法主要针对的类型XDPXDPCOS,SINEXDPLNXDXPARCOS,ARCSIXDXPT,TNBXDEBEAXACOS,SI其中（多项式）NNNAXAXP1103选U规律在三角函数乘多项式中，令，UP其余记作DV简称“三多选多”。在指数函数乘多项式中，令，UXP其余记作DV简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令，LN其余记作DV简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为U，其余记作DV简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为U，其余记作DV简称“指三任选”。简单有理函数积分1有理函数XQPXF其中是多项式。P和2简单有理函数21,1XPXFXXFBXAXPFBAXF2二、例题分析例1则有若,DXGXF1XGXFBFAXDGXDFCDXGDXXFDD解GXF0XFGXF上式两边同时对X求积分DXDXF021CXGXF）（令12CFA和B选项是错的。XGXFDXDF（应选C）GXF,XGDXGDXFDFDX而XGFD选项是错的。例2若，则等于CEDXEXFX11XF221,1,1,1XDXCXBXA解由原函数和不定积分的定义可得11XXEEFXE12（应选B）21XXF例3设是的一个原函数，FF则等于DXEX,CEFBCFAXX,DECXX解法一由已知条件得CXFDXFDXEUEU,设DXEFDXFXCUFUF（应选B）CEFX解法二由已知条件得CXDXFXXXXEDEFDEFECFX例4若，且；XXEEF2110F则。F解21,UUFEUX则设21FDXDXF2F2CX3113100CCXFX1C131XXF注意称为初始条件。由此可以确10F定不定积分中的任意常数C。例5CEDXFX若。DXXF1LN2则解法一DXXDUU12,LN2则设DXXFDXXF12LN1L221212121CEDUFU1211LN212CXCEX21121C令解法二DXXF1LN211LN2221XDXF1LN1LN22XDXF122111L212CCEX21解发三CEDXFXXFDXXEDXXFX11LN21LN22CDDXX2121例6已知在点的切线斜率为XFY,Y，且过（1，1）点，则此曲线方程是2XA,B,XY21XYC,D,XY121XY解在点的切线斜率为FY,Y2121XFCXDXDFXF112过点（1，1）F11CF2C曲线方程为（应选D）21XXF例7用换元法计算下列不定积分1DX21解DX21DXX21DXDXX2211CXARCTN2DXEX1解DXEDXEXX11DXEDXDXEXX1111XXEDEX凑微元CTXDTXXETLN1令CEXETX1LN1回代3DXX21ARCSIN解DXX21ARCSINDXDX221ARCSIN1分项ARCSINARCSIN1222XDXXDX凑微元UDDTXUT12ARCSIN12CUT21221CUT221CXX22ARCSIN114DXE2TANCOS解DXE2TANCOSDXEX2TANSC变形CEXDEXXTANTANT凑微元5XD22SINCO解DXX24122COSSIN2SIXD4IN81241XDXD4COS32181X4SIN321816DXX解令0,2,2TTTTDDXTDTTX222CTTDTTT34524CXX233425527DXX321解令DTDXTT566,0,DTTTTTX161243532DTTT162112TTTDTDTTD1666CTTTLN32CXXX1L6663801232ADAX解令0TN2TTTDADX2SECTATATAX22222222SEC1TNTDTTATDXAX2322232SECS1TXTDADTACOS1SEC122CXACTA22221SIN1921XXD解令TDDXTTCOS0SIN2DTTTXXD22SIN1SINCO1DTTTTDTTCOSSININCO21COSSINDTTDTCOSSINI2121TTTCOSSIN211XCTTTIL2121CXXX221211LNARCSIN例8用分部积分法计算不定积分1（三多选多）XDSI解令XDVUSIN则DXCOSSINXXDXCOCOSXIN2指多选多）2D