14高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十四 第十四章 极限与导数.doc

20102011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十四第十四章极限与导数一、基础知识1极限定义（1）若数列UN满足，对任意给定的正数，总存在正数M，当NM且NN时，恒有|UNA|FA且FCM，则CA,B，且FC为最大值，故，综上得证。0CF14LAGRANGE中值定理若FX在A,B上连续，在A,B上可导，则存在A,B，使ABFF证明令FXFX,则FX在A,B上连续，在A,B上可导，且AXBFFAFB，所以由13知存在A,B使0，即FABFF15曲线凸性的充分条件设函数FX在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意XI,则曲线YFX在I内是下凸的；（2）如果对任意XI,则0XF0XFYFX在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式设1,2,NR，12N1。（1）若FX是A,B上的凸函数，则X1,X2,XNA,B有FA1X1A2X2ANXNA1FX1A2FX2ANFXN二、方法与例题1极限的求法。例1求下列极限（1）；（2）；（3）2LIMNN01LIMANN；（4）NN2221LIMLIN解（1）；221LINN2LI21LIN（2）当A1时，1LIM1LILINNNNAA当00且。LN2XY1解（1）3COS3X113COS222535XXXY2310X253（3）2SIN2SIN2COSCOCOSXEXXEEYXX（4）11112222X（5）21LN121LN21LNXEYXXL2X5用导数讨论函数的单调性。例6设A0，求函数FXLNXAX0,的单调区间。X解，因为X0,A0，所以X22A4012AF0FXA20；X22A4XA1时，对所有X0，有X22A4XA20，即X0,FX在0,上单调递增；F（2）当A1时，对X1,有X22A4XA20，即，所以FX在（0，1）内单XF调递增，在（1，）内递增，又FX在X1处连续，因此FX在0,内递增；（3）当00，解得X20FA2A，因此，FX在0,2A内单调递增，在2A,内也单调A2A11递增，而当2A2X2,0X证明设FXSINXTANX2X，则COSXSEC2X2，当时，XF2,0X（因为0F00，即SINXTANX2X,0,7利用导数讨论极值。例8设FXALNXBX2X在X11和X22处都取得极值，试求A与B的值，并指出这时FX在X1与X2处是取得极大值还是极小值。解因为FX在0,上连续，可导，又FX在X11，X22处取得极值，所以，又2BX1，所以解得0FFXAF,042BA61,3B所以XXFXF3213,61LN322所以当X0,1时，所以FX在0,1上递减；0F当X1,2时，所以FX在1，2上递增；X当X2,时，所以FX在2，）上递减。F综上可知FX在X11处取得极小值，在X22处取得极大值。例9设X0,Y0,1，试求函数FX,Y2Y1SINX1YSIN1YX的最小值。解首先，当X0,Y0,1时，FX,Y2Y1SINX1YSIN1YX1Y2X1Y2XXYYXSIN12SIN，令GX,YXYSIN1SIN1SI2I,TACO2XG当时，因为COSX0,TANXX，所以；,00XG当时，因为COSX0，所以；,2X又因为GX在0,上连续，所以GX在0,上单调递减。又因为0GX，即，0SIN1SIXY又因为，所以当X0,Y0,1时，FX,Y00SIN12XY其次，当X0时，FX,Y0；当X时，FX,Y1YSIN1Y0当Y1时，FX,YSINXSINX0；当Y1时，FX,YSINX0综上，当且仅当X0或Y0或X且Y1时，FX,Y取最小值0。三、基础训练题1_NN32LIM12已知，则AB_21LIBAN3_2314LIM2COSLIM23XNN4_21LIXX5计算_1LILI22XNXN6若FX是定义在,上的偶函数，且存在，则_0F0F7函数FX在,上可导，且，则_12FHFFH2LIM08若曲线FXX4X在点P处的切线平行于直线3XY0，则点P坐标为_9函数FXX2SINX的单调递增区间是_10函数的导数为_21LNXXF11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数A2AY41,M4112求SIN290的近似值。13设00时，比较大小LNX1_X9函数FXX55X45X31,X1,2的最大值为_，最小值为_10曲线YEXX0在点MT,ET处的切线L与X轴、Y轴所围成的三角形面积为ST，则ST的最大值为_11若X0，求证X21LNXX1212函数YFX在区间0,内可导。导函数是减函数，且0，X00,FFYKXM是曲线YFX在点X0,FX0处的切线方程，另设GXKXM，（1）用X0,FX0,表示M；（2）证明当X0,时，GXFX；（3）若关于X的不等式0XFX21AXB在0,上恒成立，其中A,B为实数，求B的取值范围及A,B所满足3的关系。13设各项为正的无穷数列XN满足LNXN,证明XN1NN1NX五、联赛一试水平训练题1设MN（十进制）N位纯小数0只取0或1（I1,2,N1），AN1，INA|21TN是MN中元素的个数，SN是MN中所有元素的和，则_NTSLM2若12X9展开式的第3项为288，则_NNXX11LI23设FX,GX分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当X0，若对任意XLN3A,LN4A，不等式|MF1X|LN120102011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十八第十八章组合一、方法与例题1抽屉原理。例1设整数N4,A1,A2,AN是区间0,2N内N个不同的整数，证明存在集合A1,A2,AN的一个子集，它的所有元素之和能被2N整除。证明（1）若NA1,A2,AN,则N个不同的数属于N1个集合1,2N1，2,2N2,N1,N1。由抽屉原理知其中必存在两个数AI,AJIJ属于同一集合，从而AIAJ2N被2N整除；（2）若NA1,A2,AN，不妨设ANN，从A1,A2,AN1N13中任意取3个数AI,AJ,AKAI,0不被N整除，考虑N个数A1,A2,A1A2,A1A2A3,A1A2AN1。）若这N个数中有一个被N整除，设此数等于KN，若K为偶数，则结论成立；若K为奇数，则加上ANN知结论成立。）若这N个数中没有一个被N整除，则它们除以N的余数只能取1,2,N1这N1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以N的余数相同，它们之差被N整除，而A2A1不被N整除，故这个差必为AI,AJ,AK1中若干个数之和，同）可知结论成立。2极端原理。例2在NN的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于N。证明表中所有数之和不小于。21N证明计算各行的和、各列的和，这2N个和中必有最小的，不妨设第M行的和最小，记和为K，则该行中至少有NK个0，这NK个0所在的各列的和都不小于NK，从而这NK列的数的总和不小于NK2，其余各列的数的总和不小于K2，从而表中所有数的总和不小于NK2K21NKN3不变量原理。俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。例3设正整数N是奇数，在黑板上写下数1，2，2N，然后取其中任意两个数A,B,擦去这两个数，并写上|AB|。证明最后留下的是一个奇数。证明设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S122NN2N1，这是一个奇数，因为|AB|与AB有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数。例4数A1,A2,AN中每一个是1或1，并且有SA1A2A3A4A2A3A4A5ANA1A2A30证明4|N证明如果把A1,A2,AN中任意一个AI换成AI，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S模4并不改变，开始时S0，即S0，即S0MOD4。经有限次变号可将每个AI都变成1，而始终有S0MOD4，从而有N0MOD4，所以4|N。4构造法。例5是否存在一个无穷正整数数列A1,A2A3，使得对任意整数A，数列中1N仅有有限个素数。证明存在。取ANN3即可。当A0时，AN中没有素数；当|A|2时，若N|A|，则ANA均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A1时，AN1N1N2N1，当3时均为合数。从而当A为整数时，N3A中只有有限个素数。例6一个多面体共有偶数条棱，试证可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。证明首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立。若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数），对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。5染色法。例7能否在55方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点解不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。6凸包的使用。给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包。例8试证任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。证明五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。7赋值方法。例9由22的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖57的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同说明理由。解将57方格板的每一个小方格内填写数2和1。如图181所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面，方格板上数字的总和为1222311，当被覆盖K层时，盖住的数字之和等于K，这表明不存在满足题中要求的覆盖。212121211111112121212111111121212128图论方法。例10生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。证明用点A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点）。因为每个顶点的次数3，所以可以找到两条边不相邻，设为A1A2，A3A4。（1）若A5与A6连有一条边，则A1A2，A3A4，A5A6对应的三种双色布满足要求。（2）若A5与A6之间没有边相连，不妨设A5和A1相连，A2与A3相连，若A4和A6相连，则A1A2，A3A4，A5A6对应的双色布满足要求；若A4与A6不相连，则A6与A1相连，A2与A3相连，A1A5，A2A6，A3A4对应的双色布满足要求。综上，命题得证。二、习题精选1药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成68副药方，每副药方中恰有5种药，其中至少有一种是烈性的，并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们。试问全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药（证明或否定）221个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛，（1）每一个参赛者最多解出6道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出。3求证存在无穷多个正整数N，使得可将3N个数1,2,3N排成数表A1,A2ANB1,B2BNC1,C2CN满足（1）A1B1C1A2B2C2ANBNCN，且为6的倍数。（2）A1A2ANB1B2BNC1C2CN，且为6的倍数。4给定正整数N，已知克数都是正整数的K块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，N克的所有物品，求K的最小值FN。5空间中有1989个点，其中任何3点都不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少6在平面给定点A0和N个向量A1，A2，AN，且使A1A2AN0。这组向量的每一个排列都定义一个点集A1，A2，ANA0，使得NIIA,21NIIIAN210,21求证存在一个排列，使由它定义的所有点A1，A2，AN1都在以A0为角顶的某个600角的内部和边上。7设M,N,KN，有4个酒杯，容量分别为M,N,K和MNK升，允许进行如下操作将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯