线性代数2a

线线性性代代数数第二章第二章线性方程组线性方程组第一节高斯消元法第二节N维向量第三节矩阵的秩第四节线性方程组解的一般理论元线性方程组线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法第一节高斯消元法线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法例2求解线性方程组线性代数第二章线性方程组第节消元法例1求解线性方程组例3求解线性方程组用GAUSS消元法可以解一般的线性方程组（1），消元的结果得到一个与原方程组同解的“标准”的阶梯形方程组或出现矛盾式，可得如下一般形式线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法线性代数第二章线性方程组第节消元法（其中为阶梯形方程组中方程式的个数。）由阶梯形方程组可以看出，原方程组（1）的解有以下三种情况（1），则方程组（1）无解（2），方程组（1）可化为如下阶梯形方程组方程组的系数行列式由CRAMERL法则，方程组（1）解唯一。线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法线性代数第二章线性方程组第节消元法（3）时，方程组（1）可化为阶梯形方程组，将化出的阶梯形方程组的每一个方程中含的各项移到等式的右边得线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法线性代数第二章线性方程组第节消元法从而求得方程组的一般解（其中为自由未知量）故此时，方程组（1）有无穷多组解线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法分析GAUSS消元法的过程，可以看出，我们对方程组作了以下三种变换（1）将一个方程两边同时乘以一个非零常数；（2）将两个方程位置调换；（3）将一个方程的倍加到另一个方程上。这三种变换统称为方程组的初等变换。对方程组实施上述变换后，保持方程组的同解性。因而也称之为同解变换。线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法为书写方便，可将未知元，加号以及等号省略，只写方程组（1）的系数和常数项，排出如下数表，称为方程组（1）的增广矩阵方程组（1）的系数矩阵线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法定义个数，排成行，列的数表，加括号，称之为矩阵，表示为两个矩阵当时，称矩阵与矩阵相等，记作AB。线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法一个线性方程组与其增广矩阵相对应，方程组中的每个方程与增广矩阵的一行相对应，因而方程组的三种初等变换对应于矩阵的下述三种行初等变换（1）将矩阵的一行乘以一个非零常数，（2）将矩阵的两行互换；（3）将矩阵一行的倍加到另一行上。线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法将方程组消元成阶梯形方程组就对应为将增广矩阵用行初等变换化为阶梯形矩阵，即则时，无解；且时，唯一解；且时，无穷解。例4求解方程组（书P34例4）线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法GAUSS消元法用于齐次线性方程组显然，故它一定有解。且当时，方程组（2）只有全零解；当时，方程组（2）有非零解。线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法定理1齐次线性方程组（2）中，若方程个数小于，则必有非零解。定理2元齐次线性方程组只有全零解的充分必要条件为方程组的系数行列式。第二节N维向量线性代数第二章线性方程组第2节N维向量一、维向量及其线性运算定义1设为个数，由这个数组成的有序数组称为维向量，记作，数为该向量的分量。规定维向量当时，称它们相等，记作。定义2（1）若定义两个向量之和为（2）若，为一数，定义数与向量的乘积（数乘）为。向量的加法和数乘统称为向量的线性运算，满足下列八条运算规律（1）加法交换律（2）加法结合律（3）分量均为零的维向量0,0,0称为维零向量，记作，对于任意维向量有（4）向量称为向量的负向量，记作，对任意的有（5）（6）（7）（8）。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量线性代数第二章线性方程组第2节N维向量规定向量减法并有若，则或。定义3设为一个向量组，为个数，称向量是向量的一个线性组合，其中为这个组合的组合系数。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量定理1向量可由向量组线性表出的充分必要条件为以向量为系数列向量，为常数项的线性方程组有解，并且每一个解向量的分量就是它的一个线性组合系数。定义4向量若能够表示成向量组的线性组合，即存在一组数使称可由向量组线性表出，或称为向量组的线性组合。例1一个维向量组称为维基本向量组，试证任一维向量能够由维基本向量组线性表出，且表达式唯一，并写出表达式。（书P40例2）例2证明向量组中任一向量可由这组向量线性表出。（书P40例3）证明由可知结论成立。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量例3试证若向量可由向量组线性表出，又向量可由向量组线性表出，则向量可由向量组线性表出。（书P40,例4）此例的结果表明了向量的线性表出关系具有传递性。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量线性代数第二章线性方程组第2节N维向量二、向量的相关性定义6一个向量组，如果存在一组不全为零的常数，使得就称向量组线性相关。若向量组不线性相关，就称线性无关。若向量组是由一个向量组成的，由定义一个向量线性相关的充分必要条件是。定义6设（1）存在不全为零的使（1）式成立，称向量组线性相关；只有时（1）式才成立，称向量组线性无关。定理2设个向量则向量组线性相关的充分必要条件为齐次线性方程组有非零解。推论1向量组线性无关的充分必要条件为齐次线性方程组（2）只有全零解。推论2任意个维向量，当SN时，都是线性相关的。特别的，个维向量必线性相关。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量推论3个维向量线性相关的充分必要条件为行列式推论4在维向量空间中，线性无关向量的最大个数为。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量推论5若向量组线性相关，则去掉每个向量的最后个分量所得的向量组仍线性相关。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量例4已知向量组线性无关，证明向量组也线性无关。（书P44例7）线性代数第二章线性方程组第2节N维向量定理3向量组线性相关的充分必要条件为其中有一个向量可由其余向量线性表出。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量推论1向量组线性无关其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。推论2若向量组的一个部分组（由向量组中一部分向量组成）线性相关，则这个向量组也线性相关。由推论2逆否命题可知，若一个向量组线性无关，那么它的任一部分组均线性无关。例5若一个向量组中包含零向量，则这个向量组线性相关。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量三维空间中向量线性相关性的几何意义。两个三维向量线性相关共线两个三维向量线性无关不共线三个三维向量线性相关共面三个三维向量线性无关不共面定理4若线性无关，而线性相关，则可由线性表出，且表达式唯一。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量线性代数第二章线性方程组第2节N维向量定义7如果向量组中每一个向量都可由另一组向量线性表出，就称向量组可由向量组线性表出。若向量组可由线性表出，而向量组又可由线性表出，就称这两组向量等价。由线性表出的传递性，可知等价是有传递性的。定理5如果向量组可由向量组线性表出，且，则必线性相关。推论1若向量组可由向量组线性表出，且线性无关，则。推论2若两个线性无关的向量组等价，则两个向量组中必含有相同个数的向量。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量三、向量组的秩定义8一个向量组的一个部分组称为极大线性无关组。如果这个部分组是线性无关的，而且从这向量组的其余向量（如果有的话）中任取一个添进去，所得的新的向量组都线性相关。由定义可知，若为向量组的一个极大线性无关组，那么中任一向量都可表为的线性组合，且表达式唯一。对于维向量组，极大线性无关组中向量的个数不超过。若一个向量组是线性无关的，那么极大线性无关组即为其本身。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量关于极大线性无关组有如下结论1）一个向量组与它的极大线性无关组等价。2）一个向量组的任意两个极大线性无关组等价。3）一个向量组的极大线性无关组中必含有相同个数的向量。线性代数第二章线性方程组第2节N维向量定义9一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。向量组秩的结论1）一个向量组线性无关它所含向量的个数即为向量组的秩。2）一个向量组的秩必大于或等于它任一部分组的秩。3）若向量组与向量组等价，则4）若向量组可由向量组线性表出，则线性代数第二章线性方程组第2节N维向量例6若一个向量组的秩为，则在向量组内，任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。（书P65/18）线性代数第二章线性方程组第2节N维向量第三节矩阵的秩线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩矩阵一、矩阵秩的概念中任选行、列，位于这些行列交点处的个元素按原来的次序构成一个阶行列式，称之为矩阵的阶子式（或称阶子行列式），显然。定义1若矩阵中,有一个阶子式不为零,而所有的阶子式（如果有的话）均为零,则称矩阵的秩为,记作。若为矩阵，则。线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩例1试求下列矩阵的秩二、矩阵秩的计算设阶梯形矩阵其中线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩所有的阶子式均为0，故。一个阶梯形矩阵的秩等于它的不为零的行数。有一个阶子式定理1矩阵经过初等变换，它的秩不变。例2设矩阵求的秩。（书P54例2）线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩三、矩阵的秩与向量组秩的关系一个矩阵中，矩阵每一行都是一个元有序数组，它可视为维向量，称之为矩阵的行向量，记作，称向量组为矩阵的行向量组。同样记为矩阵的列向量，称为矩阵的列向量组。线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩定理2矩阵的秩等于它的行向量组的秩推论1矩阵的秩等于它的列向量组的秩推论2将矩阵用行初等变换化为，则的列向量组的任一部分组与的列向量组对应的部分组有相同的线性相关性。例3计算下列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组。A11402,A25130,A33241,A42954,A51713（书P55例3）第四节线性方程组解的一般理论一、线性方程组解的存在定理定理1线性方程组1有解的充分必要条件为系数矩阵与增广矩阵秩相同（即）。若增广矩阵的列向量组设为则线性方程组1可写为线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论这样定理1可写为定理1向量可由向量组线性表出的充分必要条件为由矩阵秩的定义可知高斯消元法，将线性方程组化为阶梯形方程组，左边不为零的方程个数即为方程组系数矩阵的秩，即。而即，因而高斯消元法的结论可写为1、元线性方程组（1）无解。2、元线性方程组（1）解唯一。3、元线性方程组（1）有无穷多组。特别地对于齐次方程组有如下结论（为系数矩阵）1、元齐次线性方程组只有全零解。2、元齐次线性方程组有非零解。线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论将线性方程组1的常数项均改为零，未知数系数不变，得一齐次线性方程组2线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论称之为线性方程组1相应的齐次线性方程组，或称为线性方程组1的导出组。二、线性方程组解的性质线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论线性方程组的解有以下性质性质1设及为齐次线性方程组2的两个解，为常数，则仍为该齐次线性方程组的解。性质2设为线性方程组1的解，则它们之差为导出组2的解。性质3设为线性方程组1的解，为导出组2的解，则为线性方程组1的解。例1设为线性方程组（1）的三个互不相同的解向量。问1、导出组（2）是否有非零解2、是方程组（1）还是导出组（2）的解，或既不是方程组（1）也不是导出组（2）的解线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论三、线性方程组解的结构定义1一个齐次线性方程组的有限个解，若满足（1）线性无关，（2）齐次线性方程组的任一解都可表为的线性组合，就称为该齐次线性方程组的一个基础解系。线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论定理2若一个齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系中所含解向量个数为，其中为未知数个数，为系数矩阵的秩。为齐次线性方程组（2）的一个基础解系的充分必要条件为1为该齐次线性方程组的解。2线性无关。3，即个数够了。定理2证明设齐次线性方程组系数矩阵为线性代数第二章线性方程组第1节GAUSS消元法线性代数第二章线性方程组第节消元法相应的阶梯形方程组可化为从而求得方程组的一般解（其中为自由未