新课标下如何挖掘课本例题的教学功能

新课标下如何挖掘课本例题的教学功能2006年第3期数学教学研究9数结论24个非军连续自然数的乘积不是完全平方数问艇2解方程12310问题3求证XX12310问题4Y了可表示什么菌数定义城如何总之在解题活动中通过对解题挫折经历,解题过程,结果和方法等不断进行反思和监控从而积累解题经验力求通过解决”有限个问题”来获得解决“无限个问题”的数学机智”J因此一开始需要教师经常运用相应的元认知提示语启发学生思考使学生形成良好的反思习惯,逐步过渡到由学生从解题的体验中提炼适合自身风格的提示语从而激活反思意识形成反恩能力最终使学习潜能得到开发,数学能力获得迁移以真正减轻学习负担,提高解题收益事|I考文献1单茸解题研究M南京南京师范大学出版杜20022涂荣豹试论反思性数学学习J数学教育学报,200043李俊,韩龙淑从一道改错题的反思窥数学思维品质的培养J中学数学教学参考2001,124弗利德曼中小学数学教学心理学原理M北京北京师范大学出版社19875波利亚数学的发现M呼和浩特内蒙古人民出版社,19816涂荣豹数学解题中的有意义学习J数学教育学报,200147罗增儒数学解题学弓L论M西安陕西师范大学出版杜,2001新课标下如何挖掘课本例题的教学功能屠丰庆浙江省绍兴市第一中学312000新的数学课程标准在”以学生发展为本”的理念下,要求学生转变学习方式,教师积极探索新的课堂教学方式要求师生转变教学观念加深对新教材的理解和把握课本例题作为教材的组成部分,其重要意义不肓而喻,但很多教师对课本例题往往以为过于简单而一笔带过,甚至无暇顾及只是一味地通过补充大量的练习来达到教学目的使课堂成为题海笔者试对如何挖掘课本例题的教学功能,在新课标的指引下充分优化课堂教学过程作一点探索1敌作引倒培养学生解决问越的目标意识新课标指出在数学教学中要突出知识的发生和发展过程学生的思维接受过程等提出问题,分析问题,解决问题是数学最基本的思维过程,而教材为体现逻辑结构的严密性常常先理论后应用例题,这样掩盖了知识体系的构建过程如果将例题作为原始问题提出,通过建立数学模型寻求问题解决的方案进而产生公式,定理,这样就更能符合学生知识的形成过程例如讲两角和差的正弦,余弦时不妨将新教材第一册下36页上的例1利用和差角的公式求7515的正弦,余弦和正切值改为新课的引例,请学生探求EO875在发现了COS7500453O0O45COS301的情况下,增强了学生寻求COS公式的欲望例虽简单,但这一改动不仅能使学生认识到数学的价值,也能调动学生学习的积极性2联系实际在生活情量中掌习数学数学起源于生活和生产实践,但经过抽象后形成的书本知识和例题往往失去其原有鲜活生动的实际含义使学生难以接受和琢磨新课标要求引导学10救学教学研究2006年第3期生关注生活,在生活情景中学习数学,因此教学中要充分挖掘课本例题的知识背景只有建立在学生经验上的知识才容易被学生所掌握新教材第二册上L2页例2L已知A,B,M都是正数,并且口6求证作为课本例题只停口T,R口留在不等式证明方法的分析上巩固了作差,作商,和分析等方法但如果将问题还原其生活背景,改为B克糖水中有A克糖6A0若再添加M克糖,L0则糖水变甜了,试根据这一事实提炼出一个不等式并加以证明这样会大大增加学生对问题的感性认识和学习的兴趣3露思堆过程明确解矗的来龙去脉培养学生思维的系统性培养学生的”元认知”教师妥通过揭示自己在解题过程中的控制,决策和行动来帮助学生学会如何控制和调节自己的行为为此教师要将解题计划,监控和评价中运用的策略尽可能地展示出来让学生通过观摩,聆听教师对解题思维过程的分析,评价,使学生在学习知识的同时,获取对知识的形成过程例题教学要充分暴露解题的思维过程包括问题的提出过程,知识的形成过程,规律的发现过程以及思路的探索过程等等JI_厂,I,一,网1图2例如新教材第二舰下95页例3如图1,巳知一个圆的圆心为坐标原点半径为2从这个圆上任意一点P向轴引垂线段PP,求线段PP中点JIF朗轨迹从解题方法的层面上,在分析了巳知与未知,件与目标,主动点P与被动点后,给出了求动点轨迹方程的一种重要方法转移法或代入法从知识的形成过程上例题揭示了椭圆可山圆通过等比例压缩或拉长得到这一内在联系,使两者的图形,方程,性质,离心率得到了有机的统,同时为下一节学习椭圆参数方程及角0的几何意义找到了几何原形如图2更为重要的是通过变换R,22B使椭圆鲁1二圆聘,给出L,”了解决椭圆问题的一条捷径,即椭圆同题圆化和圆的结论椭圆化详见文14总结解曩规律探究解履方法培养学生思堆的夏活性例题应该是某种规律的代表要做到举一反三应由此及类,由例题到模式这是培养解题能力,抽象概括能力的重要手段例如新教材第一册上135页等比数列求和公式的引例求数列L,2,4,2的和,进而得到一般等比数列的求和方法T两边同乘公比口,再作差得到前后项相消的效果即”错位相减法”,要总结推导过程并将此方法推广到ZOB中其中A1为等差数列,61为等比散列另外,例题教学在总结内容,串联知识的同时,还需要串联各种方法在理解课本常见方法或通法的同时需要扩散思维增大视眼从多角度去寻求更多更好的巧解妙法,分析比较备方法的优缺点及其适用范围,从而使学生的思维更具有灵活性和广泛性一题多解常见于各杂志不再赘述S探索解曩的思想培井学生思维的蒜刻性数学教学的根本目的是在学习知识的同时提高分析问题和解决问题的能力例题教学中渗透数学思想是实现这一目标的主要途径例题教学中渗透数学思想,既可以在分析问题,探索思路的过程中进行用数学思想方法指导分析进行思维导向I也可以在解题结束后进行提炼,加以显化,让学生圆陨思维过程总结运用丁哪些思想方法和思维策略正如新课标要求的,通过对数学学科内涵的挖掘从而培养学生热爱数学的情感例如新教材第册下130页例L甲,乙两人各进行一次射击如果2人击中目标的概率都是06,计算3求至少有一人击中目标的概率题目虽简单,但隐古了很多置要的数学思想解法1分类讨论思想PPABPABPXB084解法2正难则反思想PLPAB084解法3等价转换思想结合概率的统计定义可等价转换为甲,乙平均在10次射击中命中6次,根据集合的计数公式CARDAU曰CARDACL,DBCBRD曰有PA曰PAP曰一PAB084在平时的教学过程中若能跳出题海从方法和2006年第3期数学教学研究思想的高度去分析和解决问题,必能起到事半功倍的效果6多角度变式引申,培养学生思维的全面性和发散性讲解例题不能就题沧题,要善于适度引申一道简单的例题,通过一系列的变式和合理地深化难度,可为训练思维,深化认识,优化认知提供契机通过变式教学,将知识串珠成线,不仅能使学生的思维始终处于极度兴奋的状态,思维得到升华,而且这也是课堂J二开展研究性学习的切实有效的途径例如新教材第二册下70页例3点埘与两条互相垂直的直线的距离的积是常数KK0求点肘的轨迹方程在原解题的基础上通过系列变式将问题向纵深发展,如可将两直线垂直改为成夹角2的一般情形将距离的乘积改为和,差,商将距离改为距离的平方等,详见文2只有这样才能真正培养学生的刨造意识和数学的探究能力7互相联系揭示知识整体结构的和谐羹培养学生思维的整体性数学的备分支之间,同一内容的各部分之间都存在着密切的联系,这种联系又常常在具体的题H中体现,而倒题教学正是揭示这种联系的最佳时机只有揭示知识搀体结构的和谐美,从而激发学生学习的兴趣,才有助于学生对知识的整体理解和把握,有助于强化学生思维的系统性和深刻性使学生知识更具有整体性例如新教材第二册上100页例4点M与定2点F的距离和它到定直线L的距离的比是常数_口0求点JIF的轨迹方程由式R旦三,代入得辛翠三,化简得椭圆的L等L标准方程揭示知识问内在的联系,发现1它串联了该节内容与例2之间的联系,式通过变形得到IH/FI,/,一”,称为焦半径公式,其中E为常数二离心率它很好地解释了例2解答巾没有说明而直接使用的近地点距离DC和远地点距离N十C2它串联了椭圆第一定义和第二定义之问的联系椭圆第一定义方程的推导过程中有式口一口/CY教材93页,显然通过变形与式等价3它串联了章节与章节之间的联系,即圆锥曲线的统一定义,当0E1为椭圆,当EL为抛物线,当EL为双曲线,从联系观点为双曲线和抛物线的学习奠定了良好的基础,使圆锥曲线的学习站在更高的平台上通过这样的挖掘使隐于教材例题中的知识闻的联系得到充分的展示,而学生的思维也得到了有效的训练8质疑例题漏洞培养学生思维的批判性新课标强调数学教学要确立和尊重学生的主体地位,完善学生的学习方式提倡敢于提问和质疑,鼓励学生大胆发表独特见解,激发他们的好奇心,使学生的思维品质在质疑过程中不断升华和发展可否认教材中的例题设计和解答过程确有疏漏之处,教师要深入研究,设计适当的问题情景,让学生研究,发现所存在的问题,以求在掌握基础知识的同时,提高问题意识增强思维的批判性如新教材2001年试验修订本第三册64页例2若曲线YR13上一点P2,丁8求1过点P的切线斜率2过点P的切线一J16L图3方程课本的答案少了一条切线,教师在分析过程中,必须引导学生从切线的原始定义出发区分”在点P处的切线”与”过点P的切线”,即点P处的切线要求过P点且以P为切点,而过P点的切线并没要求以P为切点,因此图3中直线F,L都满足要求,详见文39挖掘解题功能培养学生例题的应用意识作为例题,它的主要作用是为了巩固基本知识,促使学生掌握基本技能,从而提高解决问题的基本能力但有时例题本身还是有用的公式或者是重要的定理教学中要引导学生从方法的高度去分析,探究例题结论成立的条件,适用的范围在培养学生思维灵活性的同时增强了例题的应用意识如新教材第一册下107页例3如图4,D,不共线,A压TR,用,表示解题过程起始于向量的加法,使用了向量的共线定理,最后归结于平面向最的分解定理,但作为例题它还L2数学教学研究2006年第3期提供了A,P,B三点共线的充要条件不妨称之为直线方程的向量形式应用此结论在判断,证明三点共线和求方程等同题中会显得漂亮而简洁2002年全国高考题平面直角坐标系D图4中,0为坐标原点已知两点A31,曰一13若点C满足卢其中A,PER且卢1,求点C的轨迹方程根据例题结论即求直线A日的方程结果为2Y一50更多应用见文4综上是笔者从例题的引人,分析到应用对如何挖掘课本例题的教学功能作了探索,期待着能为高中教学多年倡导的”以课本为本跳出题海”有所帮助能为新课程标准的实施作一点贡献参考文献1金森发以”进化”求简化一类椭圆问题的纯几何处理J中学教研数学199862王兴华挖掘例题,串珠成线J上海中学数学200513李锦昱为何少了一条切线J数学通讯200534邹楼海新教材中一道例题的价值J数学通讯,200115谈谈导数的教学张云标浙江省绍兴县迅中学312O0O导数为中学数学课程的新增内窖,对于每位教师来说导数教学可以说是站在同一条起跑钱上如何把擐好导数的教学,很需要大家共同来探讨在此之前本人在高三数学教学中巳连续两届上过此内容,现将教学中的一些做法及想法总结如下以供读者参考1复习好函戤的连续性导数是极限的继续,在讲导数之前,首先应复习一下函数在某点处连续的概念如果LIMFX,就说F在O处连IN10续换一种说法是,如果LIMAYO0,就说,在处连续它与后面涉及到的导数概念有着密切的联系函数在某点处可导首先必须在此点处连续2认真讲好两个引例导数概念是微积分中最重要,最基本且古意深刻的概念所有的大,中学微积分课本都是通过典型实例一般是1至3个来引入的,教材中的两个实例就是牛顿和莱布尼兹在微积分时分别用过的两个经典实例”瞬时速度和”切线斜率笔者认为这是十