毕业论文_整系数多项式的有理根研究

ELEC学科分类号_下载需知SELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTSELECTIONPARBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBAGRAPHFOLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSE11111111111111111111111111111111LECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOCTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACI2222222222222222222222NGLINESTOPOINTS2SELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAPHFCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINE本站上传的文档资源均来自互联网，以分享为目的，为有需要者提供学习与参考，版权为原作者所有，若侵犯到原作者的权益,请提出指正,及时与网站客服联系，并提供必要的证据，如属实，网站会在第一时间进行处理，立即删除相应下载链接页面并将文档删除。SELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTSELECTIONPARBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBAGRAPHFOLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSE11111111111111111111111111111111LECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOCTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACI2222222222222222222222NGLINESTOPOINTS2SELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAPHFCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINES本站上传的文档，在文档排版上进行过整理，并未对内容进行增加或删除，因此，本站并不保证文档质量，因此下载之前，务必先预览一番，因为预览与下载的内容完全一样，所以如果发现内容有问题，请不要下载。ELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTSELECTIONPARBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBAGRAPHFOLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSE11111111111111111111111111111111LECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOCTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACI2222222222222222222222NGLINESTOPOINTS2SELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAPHFCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLIN下载后的WORD文档均可进行复制、编辑，没有密码保护，PDF格式均可转换成WORD，PPT文档可直接进行修改。因上传需要对文档进行转换，转换过程中有可能不能正常阅读或是下载后不能编辑，遇到这种问题，可以留言，留下邮箱地址，我们会把原始文档发送到你的邮箱。ELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTSELECTIONPARBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBAGRAPHFOLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSE11111111111111111111111111111111LECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOCTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACI2222222222222222222222NGLINESTOPOINTS2SELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSELECTIONPARAGRAPHFCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCORMATLINESPACINGLINESTOPOINTSSELECTIONPARAGRAPHFORMATLINESPACINGLIN湖南人文科技学院本科生毕业论文题目（中文）整系数多项式的有理根研究（英文）THEWHOLEROOTOFTHERATIONAPOLYNOMIALCOEFFICIENTS学生姓名彭立平学号06415131系部数学与应用数学系专业年级信息与计算科学2006级指导教师杨涤尘职称副教授湖南人文科技学院教务处制湖南人文科技学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名二年月日目录摘要3关键词3ABSTRACT3KEYWORDS3前言41整系数多项式基本内容411整系数多项式412本原多项式413高斯定理414不可约多项式的艾森斯坦判别法615多项式的复根与其不可约性72整系数多项式有理根的特征83整系数多项式的若干性质931整系数多项式无整数根的充分性1032三次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性1033次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性11N34有连续整数根的整系数多项式值的估计1135整系数多项式无复重根的充分性124整系数多项式是否存在有理根的判定125整系数多项式有理根的检验1551整系数多项式有理根的检验方法的简化1552整系数多项式有理根的检验范围进行缩小的方法16结语18参考文献18致谢18整系数多项式的有理根研究摘要整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位，其应用价值也越来越被人们认识。但是整系数多项式的研究工作由于系数的整数性，导致了研究的相对困难，整系数多项式的许多结论也就很难证明，部分整系数多项式的结论有着重要意义，这些结论的成立有利于其它整系多项式相关结论证明。本文就这个问题研究诸多方面如整系数多项式基本内容；整系数多项式有理根的特征及其若干性质；整系数多项式是否存在有理根的判定；整系数多项式有理根的检验方法的简化及检验范围进行缩小的方法。关键词多项式整系数有理根THEWHOLEROOTOFTHERATIONALPOLYNOMIALCOEFFICIENTSABSTRCTINTEGERPOLYNOMIALINTHESTUDYOFPOLYNOMIALOCCUPIESANINCREASINGLYIMPORTANTPOSITION,ITSVALUEWILLBECOMEMORERECOGNITIONBUTTHEWHOLERESEARCHPOLYNOMIALCOEFFICIENTSASINTEGERS,LEADINGTOTHERELATIVEDIFFICULTYOFTHEWHOLEPOLYNOMIALCOEFFICIENTSWOULDBEDIFFICULTFORMANYOFTHECONCLUSIONSTHATSOMEOFTHECONCLUSIONSOFTHEINTEGERPOLYNOMIALOFGREATSIGNIFICANCE,THESEFINDINGSTHEESTABLISHMENTOFTHEWHOLESYSTEMISCONDUCIVETOOTHERCONCLUSIONSTHATPOLYNOMIALINTHISPAPER,MANYASPECTSOFTHISSTUDYTHEBASICELEMENTSSUCHASINTEGERPOLYNOMIALINTEGRALCOEFFICIENTPOLYNOMIALSANDSOMEPROPERTIESOFROOTCHARACTERISTICSINTEGERPOLYNOMIALROOTDETERMINATIONWHETHERTHEREISREASONABLETHEWHOLECOEFFICIENTOFRATIONALROOTTESTMETHODSANDTESTASIMPLIFIEDMETHODOFNARROWSCOPEKEYWORDSPOLYNOMIALTHEENTIRECOEFFICIENTRATIONROOT前言多项式是代数学的基本研究对象之一，是研究许多数学分支的工具。在多项式理论中，关于整系数多项式的有理根的研究，一直是人们有兴趣的问题，整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位，其应用价值也越来越被人们认识,目前人们对整系数多项式的有理根已有很多研究，也有不少结果。如钱展望、朱华伟在奥林匹克数学高三分册一书中阐述了整系数多项式的基本内容，席小忠在整系数多项式的若干性质一文中对其性质进行了整理，罗永超整理出了整系数多项式是否存在有理根的判定方法。邓勇解决了整系数多项式有理根检验法的简化，李庆淮解决了整系数多项式有理根检验范围的压缩，但是整系数多项式的研究工作由于系数的整数性,导致了研究的相对困难,整系数多项式的许多结论也就很难证明。本文主要有五大部分第一部分概述了整系数多项式基本内容；第二部分主要讲整系数多项式有理根的特征；第三部分讲述整系数多项式的若干性质；第四部分讲述整系数多项式是否存在有理根的判定；第五部分讲述整系数多项式有理根的检验；但多项式这一传统课题的继续研究，意义重大，尚存在“处女地”可供探索开发。无论是对多项式理论知识的完善，还是对学生对多项式知识的进一步理解深化，都具有一定的意义。1、整系数多项式基本内容1本节简要地阐述整系数多项式的基本内容，包括本原多项式及高斯GAUSS引理，不可约多项式的艾森斯坦EISENSTEIN判别法等。11整系数多项式定义111如果一个多项式的所有系数110NNFXAXAX都是整数，就称此多项式为整系数多项式。NA,1012本原多项式定义112设，且。我们将110NNFXAXAXZ0FX的最大公约数称为的容度。容度为1的多项式称为NA,10N,10F本原多项式。下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。13高斯引理定理131中两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。ZX反证法，设有两个本原多项式与，110NNFAAX110MGXBXBX使得不是本原的，则有素数整除的容度，从而整除FXGPFP的所有系数。因是本原的，故不能整除所有的，设是最小的小FFXIAR标，使不被整除。设是最小的下标，使不被整除。中的系RAPSSBPFXGRSX数为这个和当然是的倍数。但另1212RSRSRSRSRSBABAP一方面，因对，有及，故和中除第一项外，其余项都能被,IJ|IP|JB整除，所以也有。因是素数，故或，这与我们对的选取相P|RSPAB|RPA|SB,RSAB违。证完。中的非零多项式，与中的本原多项式有紧密的联系。QXZX定理132设，且。则存在一个有理数使是中本FXQ0F0AFXZ原多项式。此外，如果有理数，使也是本原多项式，则。BBFXB实际上，设，这里都是有理数且110NNFXAXAN,10。取整数使都是整数，并令，则0NAC01,NC01,NDCACA01NACAFXXDD便是中本原多项式。ZX此外，如果有理数，使，及都是本原多项式，则,ABFXGBFXH，因都是本原的，故必须是整数，并且没有素因子，从而BGXHA,GXHA，即。这表明，中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。1BQX现在，我们简要地谈谈整系数多项式的分解。定理133设。如果在Z上仅有平凡的分解，即不能分解,DEG1FXZFFX为中两个正次数多项式的积，则称为中不可约多项式。否则称在ZXFFX上可约或可分解。例如，是不可约的，而在Z上可约。2X2X研究在Z上是否可约，显然只需考虑是本原多项式的情形。我们注意到，FF如果在Z上可分解，因，则它在Q上当然是可约的。下面的结果表明，反X过来的结论也成立。因此，中的多项式在Z上不可约，与它看作中多项式在ZQXQ上不可约是一回事。定理134设是本原多项式，如果在Q上可约，则在Z上也可约。FXFXF确切地说，设，这里，且，则存在有理GH,GXHDEG,1H数使得A,且1FXAGXH1,AGXHZX事实上，由定理132知，存在有理数，使得和,B1G都是本原多项式。于是1BHX1ABFXGHX由高斯引理，是本原多项式，而也是本原多项式，故必须是整数，1GXHFAB且没有素因子，即。因此，和都是本原的整系数多项式，证1ABAGXH毕。由定理133及中的唯一分解定理难证明中的唯一分解定理QXZX中任一非常数的多项式可分解为一个整数与有限个首项系数为正的本原不ZX可约多项式的积；并且，如不计乘积中因式的次序，这些不可约多项式是唯一确定的。由唯一分解定理，便不难定义两个多项式的最大公因式，并建立其基本性质。由于本文不需要这些内容，因此不作讨论。14不可约多项式的艾森斯坦判别法判别一个整系数多项式是否不可约，是一件极其困难和复杂的事情。下面的结果，给出了多项式为不可约的一个充分条件，用处相当广泛。定理141艾森斯坦判别法设是一个整系数多110NNFXAXAX项式，其中N1。如果存在一个素数，使得，PN|,2,1IPN但，在Z上不可约从而在Q上也不可约。这里的证明类似于1中的论证。20PA设有两个非常数整系数多项式及110KKGXBXBX110IIHXCXCX使。因被整除，但不被整除，故与中恰有一个被FH00ACP2P0B整除，无妨设，又不被整除。故。现在可取最小的下标R使P0|PCNKIBIC，显然，又RCR100RRRRABCBC因，而和式中其余项都被整除，故，这与定理中条件矛盾，证0RPBCPRPA毕。由定理141推出，对任意正整数都是Z上不可约多项式，从而2,NX（及QX）中存在任意次数的不可约多项式。ZX设是素数，则在Q不可约。P121PPX我们不能直接应用4，但11PPXFX121PPXX满足定理141的条件，故在Q上不可约。另一方面，在Q上可约FPX显然等价于在Q上可约。因此在Q上不可约。FXPX15多项式的复根与其不可约性由代数基本定理，中N次多项式在C中有N个根，通过系数多项式在C上的ZX分解的信息也能帮助判断其不可约性。定理151设满足110NNFAAXZX（1）102,NNN则在Z上不可约从而在Q上不可约FX论证的基础是，的复根的模均大于1。实际上，设有根满足，则FXFX，011NNAAA与（1）矛盾。现在假设有非常数的整系数多项式及110RRGXBXBX110SSHXCXCX使得，则。另一方面，记的复根为它FGHACG12,R们都是的根，故。结合韦达定理得出FX1,2JR，0RIRRBAB即。同理，于是01RB1SC001RSABBC121RSRSRSRSBCCBCBC2NNA与（1）矛盾，故在Z上不可约。FX令，则在Z上可约显然等价于在Z上可约。因此定理1NFXFFFX151中与是对称的。定理151表明，只要多项式的首项系数与常数项的绝0AN对值足够大则，它在Z上不可约。本文简单谈谈在较初级的问题中，用多项式的根的分布信息，论证其不可约性的基本精神。为证明在Z上不可约，通常用反证法。假设有非平凡的分解FXFX，有时从两方面考虑在某个整数处的值，能够产生矛盾。一FXGHFXA方面，是整数与的积。另一方面，和的根都是的根，因FAGAHGXHFX此，用的根的分布知识，便可由且和在C上的分解式得出及FXXGA的适用的估计。综合两方面的结果，以导出矛盾。在定理151中，我们实际HA上是从两方面研究诸多项式在又处的值。0X定理171设是N次整系数多项式N1，是其全部复根，如果存FX12,N在一个整数，使是素数，则在Z上不可约。,1RE1,2JKNFKFX实际上，如果在Z上有非平凡的分解,将在上作标准分解FXFXGHGR2211RSSGBAXBCBC其中是非零整数，都是实数。显然，是的实根，而为虚,IJCIAGXJBGX根的实部。因的根都是的根，故且。GXFX1IK1,1JKBIRS因此；同理。但是素数，而，是大于11K1HKFGHGXH的整数矛盾。2、整系数多项式有理根的特征2关于整系数多项式的有理根，众所周知有结论110NNFXAXAX“如果有理数其中是的有理根，那么仅RS,1RSZSR且FX0|,|NRAS是是的有理根的必要条件，所以的有理根的范围为有理数集合RSFXFX。集合中哪些是的有理根，哪些不是0|,1,|,|NMRSZRSRASMFX的有理根，还必须一一验证。当的因数较多时，中的元素也会很多，FX0,NAM一一检验是非常麻烦的，因此压缩检验范围也是非常必要的，我们有定理21如果有理数其中是的有理根，那么和RS,1SZR且FX1FRS1FRS全为整数。这一结论将根的检验范围压缩为11M|,RFFMZZRRSSS对于定理2的结构，我们进行深一步的研究，有如下推论21如果有理数其中是的有理根，则和都是RS,1RSZR且FX1FSRF整数，且当与的奇偶性相反时，与的奇偶性必相同。SFFS证明用和分别表示的偶数项系数之和和奇数项系数之和，2N21FX则有，2024NSA2135NSA所以211,NFS21NF因和都是整数，所以假设,1FSRFPSRFQSR则；21NSRP21NS两式相加减,得；2NRQ21NSRPSRQ即和都是偶数，如果与的奇偶性相反，则SRPSRQSRPSS和都为奇数，因此与的奇偶性必相同。Q3、整系数多项式的若干性质3部分整系数多项式的结论有着重要意义,这些结论的成立有利于其它整系多项式相关结论证明,为此将它们整理出来作为整系数多项式的性质。31整系数多项式无整数根的充分性定理311设为一个整系数多项式,且有一个奇数和一个偶数使得和FXKMFK均为奇数,则无整数根。FM证明反证法设有一个整数根，则由因式定理知，即有F|XAF，其中为除的商式,由于为整系数多项式,所以FXAQXQXFX也为整系数多项式,所以由为奇数得为奇数,所以为奇QFMFMQMA数，又因为为偶数，所以为奇数而由为奇数得为奇数,即有MFKFKQK为奇数，又因为为奇数,所以为偶数,这样即为奇数又为偶数,显然矛盾,KK所以无整数根。FX推论311设为一个整系数多项式,且有一个整数根,若存在奇数使得FXFXK为奇数,则对任意偶数必为偶数。FKMF推论312设为一个整系数多项式,且有一个整数根,若存在偶数使得FFM为奇数,则对任意奇数必为偶数。FM,KF32三次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性定理321设是整系数多项式,若为奇数,则在32FXAXBCACBFX有理数域上不可约。证明（反证法）设在有理数域上不是不可约的多项式,由于，所以FXQ3F在有理数域上可约,即必有一个一次因式和一个二次因式QPX,使得2QXX232FPQXXXABXC比较两边的常数项得,再由已知条件为奇数知和均为奇数,所以CCB与也为奇数。将代入得为偶数,代入12F1F得为奇数,所以矛盾,即在有理数域上不可约。32FXABXCFABCFX推论321整系数多项式在有理数域上可约,则必为偶数。32FXXACB33次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性N定理331设为整系数多项式,若有个两两11NNNFXAXAX1FXN不同的整数根,则在有理数域上不可约。Q证明反证法设的个两两不同的整数根为则有，FX12,NCIFC。再设在有理数域上不是不可约多项式,因为1,2IFCINF所以在有理数域上可约,也即是在整数环上可约,所以存在,FXFXQFXZ整系数多项和，使得HGFXHGX其中，。XFNFN所以，HG所以由,得，1IFC1IIHCG因此，0,2IIHGN所以X即有2,GHFXH所以首项系数为负数与1矛盾，FX所以在有理数域上不可约。Q34有连续整数根的整系数多项式值的估计定理341设为一个次大于0的整系数多项式,且有三个连续的整数根FX,则对任意其他整数有和,1,2AC6FFC0FC证明因为有三个连续的整数根FX,1,2A所以|,AFXFXFX、所以,12FXAQ显然,为一个整系数多项式,且,QXF所以对任意整数，若,有C,1,2CACA12FCAAQC当时,当时有而为三个连续的0Q0FC01QC12ACA、整数,所以有,所以,结论成立。126CACA6FC35整系数多项式无复重根的充分性定理351设为一个次数大于2的整系数多项式,若不能分解成两个次数FXFX都低于的整系数多项式的乘积,则在复数域上无复重根。FXFX证明反证法若在复数域上有重根，则,其中,FAGX,所以是与的公因式,1,|LXAGXAFXF即与在复数域上不互素,而互素关系不随数域扩大而改变,FF所以与在有理数是也不互素，FX,FQ即与在有理数有重因式，F,FPX由为整系数多项式,得为整系数多项式，FXX所以，1KKFPXGPG即可以分解成两次数低于的次数的整系数多项式的乘积,与条件矛盾,FXFX所以在复数域上无重根。4、整系数多项式是否存在有理根的判定7654存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证,但当常数项较大,因数较多,多项式的次数较高时,计算量之大,没有计算机的帮助是很难实现的如果先判别多项式的不可约,或者将多项式分解成几个多项式的积后再作判断这在理论上是可行的,但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件容易的事情所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,明智的选择还是从系数开始。整系数多项式无有理根的判别法定理41设是一个整系数多项式，若有素数和正整数使得0NIIFXAP2M10PA2,但；1|MNMNPA3I当时，。且；|,12,KNM12|,NMPAII当，为正整数时，注当SNSS|,1MKN时，此款与I相同，那么，无有理根。1SFX证明引理设是整系数多项式，且是本原的。如果，,FXGGXFXGHX其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的。HXHX当时，假设多项式存在有理根，则在有理数域上MNFRS,1从而。因为互素，所以是一个本原多项式，根据|RXFS|SXRF,RXR上述引理知式中都是整数，12021NNNNFBXB0121,NBB比较两边系数，即得（5）01021111222223112NMNMNMNNNNNSABRBSBARBSBARBR因为是素数，且，由（5）知，所以或，P|NPA1|PR|PR1|NB同时，因为，所以且。0SBS0B如果，那么由，及5中，所以。|PR1|NMPA11NMNNMARB1|NMPSB即，故。1|NMB21|NRB又因为及，所以，即。22|NPA222NMNNMSARB22|NMPSB22|NMPB由，依次类推，即得，所以。2|P12|R又因为及,1|MNPA12NNSBARB所以,即,1|N1|MNP所以,故。与矛盾。必有，则。1|MNNPRBANAMNPAPR1|NB由于及由5式中，1|N211NNNRBS所以，但，必有。2|NPRBP2|NP由5式依次类推知。1|PB由及，得。又由前面所述知且，为素数。1|PA10SBAR0|R0|PBRP则。矛盾故无有理根。0RFX当是正整数且时，因为的情况为上述所证明。1,SNMSNS1S1S此时，在中，令，得FXX1SPY1SFF11110SNSNSNNAPYAPYAPYA111101SNNMNSSSNPG由定理的条件显然知，的系数均为整数GY2,ISAP因为，是正整数，且由定理的12知1,SNMSNS1，但0PA121|SMNSAP22MSNSAPP又由定理中3II知，11|MSNNSP其中，及，1,2IS1122|,NSSSAAP同时1MSNN由以上证明知无有理根，故无有理根。GYFX推论41设为定理中的多项式，如果有一个素数，使FXP1；或是正整数；0PA,1TMTAPTT,|,|0102；12|,NN3是正整数,MNPAS那么，无有理根。由定理知推论显然成立。FX5、整系数多项式有理根的检验51整系数多项式有理根的检验方法的简化8多项式的求根问题历来是多项式理论的重要内容之一,本文将通过讨论有理根与多项式系数间的关系,得到几个简单结论。进一步提出一种方法,除考虑多项式首UV项系数及常数项外,再利用次高项和一次项系数作辅助,得到整系数多项式有理根判别的一个必要条件,从而使整系数多项式有理根检验的范围得到缩小。为讨论方便,将定理引述如下定理511设是一个整系数多项式。若有理数是101NNNFXAXAXUV的一个根,这里和是互素的整数,那么FXUV（1）整除的最高次项系数,而整除的常数FX0UFXNA（2）这里是一个整系数多项式。FQVX在定理（2）中令或,不难得到下面的推论1X1若是整系数多项式的有理根,则，,必全为整数。AF1FAF2若是整系数多项式的有理根,则且。UVFX|UVF|1UVF3若整系数多项式各项系数之和为素数,则有理根必满足或。FPV1UVP4若整系数多项式的常数项为奇数,而为偶数,则不是的根。FXNA2UVFX定理512设是一个整系数多项式。若有理数110NFXXA（其中且）是的一个根,则必有UV,1,V,NAVPUZF12332310|NNNNNNPUAVUAVUAV证明因为是的有理根,则VFX2110NNNFVVVV将上式两边同乘以,并移项整理21NU32123102221NNNNNNUAAAVUU因为,代入上式整理后得NAVP2332110NNNNNUAUAVAVUVU即12332110NNNNNNPVAV所以,123321101|,|NNNNNNNUVAUVUAVUVUPA又因为,所以，,1,N从而有且1|NVUPA1|2332310NNNNNNUAUAVUAVUAV5设,若,则一定不是的有理根。,VP1VPFX6设,若，则一定不是的整根。01,VAUQZ1UAQUF证明若为的整根,则。等式两边同除以,FX110NNFA2U得23101322NNUAUA因为0UQ故2311320NNAQAU即231132NNQUAA而均为整数,故有。这与已知条件矛盾,因此不是的整根。1,NAU1|QFX52整系数多项式有理根的检验范围进行缩小的方法9关于整系数多项式（2）的有理根，众所周知110NNFXAXAX有如下结论“如果有理数其中是（2）的有理根，那么RS,RSZR且”。这个结果揭示了有理数作为（2）的有理根的必要条件。由于这个条件0|,|NRAS并不是充分的,所以这个结果仅给出（2）的有理根所在的范围是由一些有理数组成的集合（3），集合（3）中的元素究竟哪些是（2）的0|,1,|NRSZRAS有理根，哪些不是（2）的有理根，还需用综合除法逐一验证。当的因子个数0,NA较多时，集合（3）中的元素也会很多，用综合除法逐一验证是非常麻烦的为了减少麻烦人们探讨出了一些压缩检验范围的方法。方法一“如果有理数其中是（2）的有理根，那么和RS,1SZRS且1FRS全为整数”。并据此给出了一种压缩检验范围的方法为只需用综合除法对集1FRS合（3）中那些使和同时为整数的进行检验即可。（这里假定1FRSFRS若或,这说明1或1是的根,这时可用10,FF0F10FFX或去除,然后用同样的方法考察所得的商式。XFX方法二“如果是（2）的因式,那么“PXQ,P