线性常微分方程的若干初等解法探讨 数学毕业论文

线性常微分方程的若干初等解法探讨作者XX指导教师葛玉丽摘要介绍求解常微分方程的几种初等解法，如常数变易法，积分因子法，拉普拉斯变换法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程解法，揭示了常微分方程的求解规律，从而找到最优解法关键词常数变易法；积分因子；特征根法；拉普拉斯变换0引言常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要，对于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解1一阶常微分方程的求解方法11方程能解出Y111变量分离方程1形如的方程称为变量分离方程分别是DYXF,FXY的连续函数,X例103X2YED解将变量分离得DXEY32两边积分得CEXY61321因而通解为（为任意常数）这是一种相当简洁的解法，是最基本的解法，对于比较复杂的方程，需经过一系列变换，最后利用变量分离求解112常数变易法对于一阶线性齐次方程它的通解为从0YXPDXPECY此出发，将通解中的任意常数换成待定函数，假设C）（XU（1）为一阶线性非齐次方程DXPEUYXQYP（2）的解，为了确定，将（1）代入的左边，得）（XUYXQP到DXPEYXP从而得到，即UQEDDXPEQU积分后得到，其中为任意常数CXDP）（把代入（1）中，得到方程（2）的通解为）（XUEYPDCDXEQP例2解方程XDY1Y2解方程变形为令，3DX2Z则Y2Z代入变形方程为XZ利用常数变易法，其中Q2,P）则它的通解为2ZXC代回原来的变量，得到Y221即原方程的通解为CXY24此外，方程还有解0常数变易法实际上也是一种变量替换法，虽然用其来解一阶非齐次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别，但将它推广到解高阶线性微分方程和线性微分方程组时就显出了它的优越性，变2易常数思想是解微分方程的重要数学思想，对非线性方程（如贝努利方程，黎卡提方程）也可使用常数变易法求解，并且常数变易3法在数学分析中有很多应用，比如求解中值问题及存在性问题，祥见文献4113积分因子法把一阶线性微分方程1）改写为如下的对称DYXQPX形式（2），一般而言，（2）不是恰当方程，QYDXP但以因子乘（2）两侧，得到方程DXPEM）（，即DXYYXPDXPDXPEDXQEYEXPDXP它是恰当方程，由此可直接积分，得到CX这样就求出了方程的通解（3）为任CDEQEPDXP意常数，其中为积分因子，一般情况下，积分因子是很难寻求）（XU的，只有在很特殊的情况下才很容易求得例3求解0SIN2COSX4232DYXYDXY（解因为NMI1,IN133则方程不是全微分方程，若把原方程改写为0SIN2COY22YDXYXYDXD（可以看出积分因子，因为上式两端同乘以，有2X1M2X10SINCOY22YDYYDXDX即2X从而得到方程的通积分，CYXXOS2Y或022COSX23CXY此解法，目的明确，方法自然，学生很容易接受，逐步改变了一上来就直接用任意常数变易法求解一阶线性微分方程的方法，取而代之是按上述方法一步步求解，这一过程使我们顺利掌握了一阶线性微分方程的通解，同时更容易理解任意常数变易法，这样从不同角度，用不同方法解决了同一问题，更能深刻的体会到任意常数变易法的巧妙之处12方程不能解出Y这时把看作是的函数，再看是否能解出，成为方程XX可用以上方法求解；但对于不能显性表示为或,XYF,YXF或的方程，可分为两类0,DYXNYXM）（121方程能就（或）解出（或）,XF，YF这时令（或）把问题转化为求解关于与（或）PPXY之间的一阶方程（或），DXPFPXF,DPFYFP,1再利用以上方法，求得通解为（或）则它0,）（C0,）（C与（或）一起构成原方程的通解的参数形式,YPXF,PYF例4研究克莱洛（CLAIVAUT）方程（1）YX解令代入原方程假定两次可微且P）（P0P）（两端对求导，得X0DXP）（取则DC代入（1）得到通解YC取，则即（2）0XP0XP0XPY由于，则（2）中第一式存在隐函数，代入第二式）（X就得到一个解，则这个解也可以由联立方程XPXY来表达0YCX故克莱洛方程除了通解之外，还有一个由YCX所决定的解0YCX例5求解1YYE）（解令，代入原方程PPE1两边同时对X求导，则,DXDXEYP则,则当时，；0P1Y当时，则，为任意常数,DXPECEP则得到方程参数形式的通解，；PEYX10且当时，也是方程的解0P1Y总结由于此方程的形式与前面所分析的类型不一致，可以先观察所给的方程的形式，利用变量代换的思想，经过一系列变换，化为我们最熟悉的形式122方程不能就，或解出YX对于形如或的方程，引入参数，将方程表0,XF0,YT示为参数形式，再注意到关系式，就将问题转化为求解关于DX（或）与的一阶方程，且其导数（或）已表示为的已知YXTTTT函数，最后的工作就是求积分的问题例6求解21XY解令，则原方程可化为，PTCOS1COS2TX则，；XINTCOS由于，DY则，T2CS两边同时积分，则；CTYIN41则原方程的通解为，TXST2SI例701Y3Y解令，代入原方程为；则；PTX0133XTT21TX由，则，；YDXP即,DTTDTTTTTD2212423两边同时积分；CTY5则原方程的通解为，21TXCTTY125以上总结了一阶常微分方程的几种解法，熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所介绍的方法进行求解，这是最基本的要求但是我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍过的方程类型，因此要注意学习解题的技巧，善于根据方程的特点，引进恰当的变换，将方程化为能求解的新类型，从而求解；一阶微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，想进一步详细了解可参考常微分方程手册2高阶常微分方程的求解方法高阶常系数线性微分方程的一般形式是（1）其中为11XGYAYANNNN1,2IAN常数，为连续函数；依据常系数线性微分方程的通解结构理论，GX知方程（1）的通解可表示成该方程的一个特解与其对应的齐次方程的通解之和方程（1）对应的齐次方程，由于它110NNNNYAAY具有线性结构，一般采用EULER待定指数函数法可以得到通解，因而非齐次方程（1）的通解的计算只需寻到它的一个特解即可；有关特解的计算方法较多，如常数变易法，待定系数法，积分法等，567因此接下来介绍线性微分方程的求解方法的几种归类21常数变易法例8已知齐次线性微分方程的基本解组，求下列方程对应12,X的非齐次线性微分方程的通解COSTTXE解应用常数变易法，令,将它代入方程，则可TTE21得120,COSTTTTCE解得TTE2,S21由此；1122SINCO,4STTTCTER则原方程的通解为12COTTXRE总结利用一阶常微分方程的常数变易法的思想，推广到高阶常微分方程，关键是找出决定的方程组，从而求出高阶方,21TC程的通解由此可知，常数变易法一般用于给定非齐次线性微分方程特解的方程，这种方法简洁明了，但是比较局限，是最基本的解法22特征根法主要是利用把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题的思想我们知道简单的一阶方程，其中为常数，它有特解0YAA，由于与都是常系数线AXYE11NNNNYA0Y性齐次方程，因而猜想方程也有形如1NNY的解，其中是待定常数，为了确定出使XYE为XYE110NNNNAYAY的解的，先将它代入方程中，实际上有，其中11NXXNAEP称为特征多项式则为方程NPAXYE的解的充要条件是，即应是方110NNNYY0P程的根0下面分两种情况讨论特征根互异首先，假设有个互异的实根，010PN12,N这时，依上述讨论，方程有个特解110NNNNYAAY，则函数为方程12,NXXXYEE2NXXXCECE的通解，其中为任意常数110NNNNAAY12,N例9求方程的通解4Y解特征方程为，32故特征根为，因而基本解组为,123,II,COS2,INXEX故所求通解为，其中为任意常数3COSN2XYEX123特征根有重根设是重特征根（），由上述讨论知，021KK是的一个解，但这时由于互异的特征1XE10NNNNYAAY根的个数小于，故相应地线性无关的解的个数也小于，要得到通N解，这些特解是不够的，对应于，除解外还应补上哪些解呢11XE先来研究二阶常系数方程并设，特征方0,YPQ824PQ程为，特征根为，即20PQ2124,；12易见，为二重特征根，因而，首先有特解；12P21PXYE现在求已知方程的和线性无关的另一个特解，由1Y知，21PXDCE取,则另一特解可取为，01C2221PPXXPXDEYDE即当是二重特征根时，二阶方程除了有解之外，12P21PXYE还有与它线性无关的另一个特解2PXYE根据以上讨论，对于一般的情形，我们有如下的定理如果方程有两两互异的特征根，110NNNNYAAY12,P它们的重数分别为，且，则与它12,PMI12PMN们对应的方程的特解是112221,PPPXXXMXEEEE例10求方程的通解459720YY解特征方程是3310故特征根是,1234,1则它们对应的解为，,XXEE故所求通解为，其中为任22134XXYCCE1234,C意常数总结欧拉待定指数函数法，即特征根法，在高阶常微分方程中占据了十分重要的位置，要熟练掌握不同类型的解法，从而对于给定的方程能游刃有余23阶常系数线性非齐次方程解法N对于形如的解法，它的通解等于11NNNNYAAYFX其对应的齐次方程的通解与它本身的一10AY个特解之和231比较系数法（待定系数法）下面分两种类型讨论设，其中及为实01101MTMFTBTBTE0,1IBM常数当不是特征根时，有形如11NNNNYAAYFX的特解，其中1XMYXQE01MMQXQXQ当是（）重特征根时，有K11NNNNYYAFX形如的特解，其中，XM1E）（101MMXXQ对于中的的系数，则可以由待定系数法求得）（XY）（Q例11求方程的通解21652XY解先求对应齐次方程的通解，其特征方程是05Y2故特征根为从而，对应齐次线性方程通解为32,1，XXECY321由于不是特征根，因而已知方程有形如的特解0CBXAY21为确定将它代入原方程中，由于,CBA,X,故2066X2522XCBAX）（比较上式等号两端的同次幂系数，可得,01CBA，故已知方程特解为，则原方程的通解为21XYXXECY3212例12求方程XE24解由于则0221故齐次方程通解为，CEYX由于为二重特征根,2故有,XEA21故,Y，则原方程的通解为Y212XCEXX设，其中为常数，而2TTBTATFSINCOS，是带实系数的多项式，其中一个的次数为，一个的次数,TBA）（M不超过，则有形如的特解其中为特征MTKETQTPXSINCSK方程的根的重数，而均为特定的带实系数的次数不0）（P,高于的的多项式T根据欧拉公式，有IEXEXXIIXII2SN,2COS则XIXIXIXIXIXIETBTATBETAF2再利用迭加原理,于是有两种形式（1）如果不是特征根，则特解具有形式I其中是系数待定的次多SNCOS2XQXEYMMX,21MXQM项式（2）如果是重特征根，则特解应具有形状IKSINCOS211XQXEXYMMAK例13求解方程TTCO解先求对应的齐次方程，我们有,0X012故特征根为；由于迭加原理，则原方程可化为II21,TX2COSIN1对于，由于是特征根，故方程TXSII具有形如的特解，现将上式代入TXSINCS1TBA，则TXSIN0,21BA则的通解为TCTTXSINOCS212对于，由于不是特征根，故方程TOI具有形如的特解现将上式代入TX2COSSN2C1TBTAX，则,03，则的通解为TXCSTCTTXSIOCS21故原方程的通解为T3INO21总结比较系数法用于方程右端是某些基本函数的情况，TF常见的有多项式，指数函数，正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘积组合，然后根据的前面所归纳的类型，从而求出方程的TF特解，进而求出通解232拉普拉斯变换9它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在运算上得到很大简化，这一方法的基本思想是先通过拉普拉斯变换将已知方程化为代数方程，求出代数方程的解，再通过逆拉普拉斯变换，便可得到所求初值问题的解由积分所定义的确定于复平面上的复变数的DTFESFST0S函数称为的拉普拉斯变换，其中与有定义，且满足TFTF0不等式，这里M,为某两个正常数，这时为原函数，TMETFTF而称为像函数SF例14求函数的拉普拉斯变换ATEF解ASESADTDTETSAASTAT,1|1000例15解方程210,SINXTX解由于，从而22SS则，12122SSSX故，2由于，21COST故所求初值解为TTX当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了，关于拉普拉斯变换的一般概念及基本性质，请参阅有关书籍233幂级数解法幂级数解法待定的是级数的系数，因而通常计算较大，其实幂级数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程，也能求其特解或通解二阶线性方程在近代物理学以及工程0210YXPYXP技术中有着很广泛的应用，其中幂级数解法不但对于求解方程有意义，而且还由此引出了很多新的超越函数，在理论上是很重要的下来给出两个定理，若要了解定理证明过程，可参考有关书籍10定理1如果在某点的邻域内解析，即它们可,210XPX0展成的幂级数，且，则的解0X0021YXPY在的邻域内也能展开成为的幂级数XNNA00定理2如果在的邻域内解析，而为的,210PX00XP重零点，是的不低于重的零点，（若），是的不低S1PS1S2于重的零点，（若），则方程至少有一个形如的广0210YXPYXPNNRXAXY00义幂级数解，其中R为某一实数若要了解幂级数的详细解法可以参考常微分方程，这里不做具体分析总之，不同的方法用于不同类型的方程，这是应用之时必须特别注意之点参考文献1朱思铭，王寿松等常微分方程M北京高等教育出版社2006（3）1261292汤光宋，余复民应用交换变量位置法解两类一阶常微分方程J兰州工业高等专科学校学报1996,120253焦洪田一阶非线性微分方程的常数变易法J雁北师范学院学报1999（6）44454周斌常数变易法在数学分析中的应用J内江师范学院学报2003,18（4）56585曹玉平一阶线性变系