《测量学》课件6测量误差及数据处理的基本知识（可编辑）

观测值函数中误差公式汇总观测值改正数特点精度评定证明两式根号内相等证明两式根号内相等距离丈量精度计算例67不同精度直接观测平差1权的定义二测量中常用的定权方法误差传播定律的应用例2试用中误差传播定律分析视距测量的精度解2测量高差的精度基本公式求全微分高差中误差其中误差传播定律的应用例31用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差解1周长2用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中求该正方形的周长S和面积A的中误差面积周长的中误差为全微分面积的中误差为全微分解1周长和面积的中误差分别为例32用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中求该正方形的周长S和面积A的中误差2周长周长的中误差为面积得周长的中误差为全微分但由于观测值的算术平均值最或是值用观测值的改正数V计算观测值的中误差即白塞尔公式66同等精度直接观测平差一观测值的算术平均值最或是值最可靠值证明算术平均值为该量的最或是值设该量的真值为X则各观测值的真误差为11X22XNNX对某未知量进行了N次观测得N个观测值12N则该量的算术平均值为X12NNN上式等号两边分别相加得和L当观测无限多次时得两边除以N由当观测次数无限多时观测值的算术平均值就是该量的真值当观测次数有限时观测值的算术平均值最接近真值所以算术平均值是最或是值LX二观测值的改正数V以算术平均值为最或是值并据此计算各观测值的改正数V符合VVMIN的最小二乘原则VILII12N特点1改正数总和为零对上式取和以代入通常用于计算检核LNVNLNVN0V0特点2VV符合最小二乘原则则即VVX2MIN2X0DVVDXX0NX0XN比较前面的公式可以证明两式根号内的部分是相等的即在与中精度评定用观测值的改正数V计算中误差一计算公式即白塞尔公式证明如下真误差改正数对上式取N项的平方和由上两式得其中中误差定义白塞尔公式解该水平角真值未知可用算术平均值的改正数V计算其中误差例对某水平角等精度观测了5次观测数据如下表求其算术平均值及观测值的中误差算例1备注VV60V0764245平均93764248511764246493764242325576424021647642491VVV观测值次数764245174算例2对某距离用精密量距方法丈量六次求该距离的算术平均值观测值的中误差算术平均值的中误差算术平均值的相对中误差凡是相对中误差都必须用分子为1的分数表示一权的概念权是权衡利弊权衡轻重的意思在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标1权的定义设一组不同精度的观测值为LI其中误差为MII12N选定任一大于零的常数则定义权为称PI为观测值LI的权合肥工业大学土建学院测量工程系合肥工业大学土建学院测量工程系测量学第6章测量误差及数据处理的基本知识第6章测量误差及数据处理的基本知识61概述62测量误差的种类63偶然误差的特性及其概率密度函数64衡量观测值精度的指标65误差传播定律66同精度直接观测平差67不同精度直接观测平差68最小二乘法原理及其应用测量与观测值观测与观测值的分类观测条件等精度观测和不等精度观测直接观测和间接观测独立观测和非独立观测61测量误差概述61测量误差概述测量误差及其来源测量误差的来源1仪器误差仪器精度的局限轴系残余误差等2人为误差判断力和分辨率的限制经验等3外界条件的影响温度变化风大气折光等测量误差的表现形式测量误差真误差观测值真值观测值与真值之差观测值与观测值之差例误差处理方法钢尺尺长误差LD计算改正钢尺温度误差LT计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消前后视等距经纬仪视准轴误差C操作时抵消盘左盘右取平均2系统误差误差出现的大小符号相同或按规律性变化具有积累性系统误差可以消除或减弱计算改正观测方法仪器检校测量误差分为粗差系统误差和偶然误差62测量误差的种类1粗差错误超限的误差3偶然误差误差出现的大小符号各不相同表面看无规律性例估读数气泡居中判断瞄准对中等误差导致观测值产生误差准确度测量成果与真值的差异最或是值最接近真值的估值最可靠值测量平差求解最或是值并评定精度4几个概念精密度观测值之间的离散程度举例在某测区等精度观测了358个三角形的内角之和得到358个三角形闭合差I偶然误差也即真误差然后对三角形闭合差I进行分析分析结果表明当观测次数很多时偶然误差的出现呈现出统计学上的规律性而且观测次数越多规律性越明显63偶然误差的特性用频率直方图表示的偶然误差统计频率直方图的中间高两边低并向横轴逐渐逼近对称于Y轴频率直方图中每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率KN而所有条形的总面积等于1各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状表现出偶然误差的普遍规律图61误差统计直方图从误差统计表和频率直方图中可以归纳出偶然误差的四个特性特性123决定了特性4特性4具有实用意义3偶然误差的特性1在一定的观测条件下偶然误差的绝对值不会超过一定的限值有界性2绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多趋向性3绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等对称性4当观测次数无限增加时偶然误差的算术平均值趋近于零抵偿性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数N无限增多N误差区间D无限缩小D0时各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线这条曲线称为正态分布曲线又称为高斯误差分布曲线所以偶然误差具有正态分布的特性图61误差统计直方图1方差与标准差由正态分布密度函数式中为常数272828XY正态分布曲线A0令上式为64衡量精度的指标标准差的数学意义表示的离散程度XY较小较大称为标准差上式中称为方差测量工作中用中误差作为衡量观测值精度的标准中误差观测次数无限多时用标准差表示偶然误差的离散情形上式中偶然误差为观测值与真值X之差观测次数N有限时用中误差M表示偶然误差的离散情形IIXP123表52M1小于M2说明第一组观测值的误差分布比较集中其精度较高相对地第二组观测值的误差分布比较离散其精度较低M127是第一组观测值的中误差M236是第二组观测值的中误差2容许误差极限误差根据误差分布的密度函数误差出现在微分区间D内的概率为误差出现在K倍中误差区间内的概率为将K123分别代入上式可得到偶然误差分别出现在一倍二倍三倍中误差区间内的概率PM0683683P2M0954954P3M0997997测量中一般取两倍中误差2M作为容许误差也称为限差容3M或容2M3相对误差相对中误差误差绝对值与观测量之比用于表示距离的精度用分子为1的分数表示分数值较小相对精度较高分数值较大相对精度较低K2K1所以距离S2精度较高例2用钢尺丈量两段距离分别得S1100米M1002MS2200米M2002M计算S1S2的相对误差00210021K1K2100500020010000解一一般函数的中误差令的系数为C式为由于和是一个很小的量可代替上式中的和C代入B得对A全微分B设有函数为