近世代数答案

1/95倡畅判断下列哪些是集合A上的代数运算（）A所有实数，A上的除法（）A是平面上全部向量，用实数和A中向量作数量乘法（倍数）（）A是空间全部向量，A中向量的向量积（或外积，叉乘）（）A所有实数，A上的一个二元实函数倡畅给定集合F，定义F上两个代数运算加法和乘法，用下面的加法表，乘法表来表示例如，在加法表中号下的所在的行与号右边的所在的列相交处的元就是；，在乘法表中号下的所在的行与号右边的所在的列相交处的元是试验证上述加法、乘法都有交换律、结合律，且乘法对于加法有分配律倡畅设R是环证明下述性质橙A，B，CR，（）ABA，则B，（）（AB）（A）B，（）（AB）（A）B，（）ABC，则ACB，2（）A，（）（AB）（A）BA（B），（）（A）（B）AB（）A（BC）ABAC畅R是环，A，A，AM，B，B，BNR，则MIAINJBJMINJAIBJ倡畅R是环，验证对所有非负整数M，N，橙A，BR，有AMNAMAN，（AM）NAMN若A，B交换，则（AB）MAMBM倡畅R是环，A，BR，A，B交换，证明二项定理（AB）NANNANB2/95NKANKBKBN，其中NKCKNN（N）（NK）K畅R是环，A，A，AMR，分别有乘法逆元素A，AM，则AAM的逆元素为AMAMAA若A，AM两两交换，则AAAM有逆元素的充要条件是A，AM皆有逆元素畅R是环，A，BR证明C（AB）（AB）C痴（BA）DD（BA），其中DBCA即若AB在R内可逆，则BA也可逆元素ADB等于什么畅MN（F）为域F上全体NN阵作成的环，N举出其中零因子的例子畅（）否，（）否，（）是，（）是畅证明由于AB和BA，A（BC）和（AB）C中，出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故F中加法交换律和结合律成立由于AB和BA，A（BC）和（AB）C中如有出现，其积为零，否则其积为，故这两对积分别相等，于是F中乘法交换律和结合律成立对A（BC）和ABAC，若A，这两式子都为零；若A，这两式子都为BC，对这两种情形两式子都相等，故F中乘法对加法的分配律成立畅（）对ABAA用加法消去律，得B（）由于（A）BAB（A）B（AB）（A）A，3由负元的定义知（A）B（AB）（）在（）中将B换为B，就得（AB）（A）B（）对ABC两边加上B，左边（AB）BA，右边CB，故ACB（）AAAAA（）A用加法消去律得A（）（A）BAB（AA）BB，故AB（A）B将上式A，B互3/95换就得ABA（B）（）（A）（B）（A（B）（AB）AB（）A（BC）A（B（C）ABA（C）ABAC畅MIAINJBJ（AAM）NJBJANJBJAMNJBJNJABJNJAMBJMINJAIBJ畅分几种情形（I）MN，但M，N不为零，不妨设M为正整数AMAM为M个A及M个A的乘积，由广义结合律知AMAMAAM（M）（II）若M，N中有零，不妨设M，则左边ANANAAN右边（III）M，N皆为正整数，则AMN与AMAN皆为MN个A的积，由广义结合律知它们相等若M，N皆为负整数，则AMN与AMAN皆为（MN）个A的乘积，由广4/95义结合律知它们相等（IV）M，N中有正有负，且MN，不妨设M与MN为异号则由（III）AMNAMA（MN）MAN，两边再乘上（AM）AM（参看（I），则AMNAMAN以上已证明了AMNAMAN及（AM）AM再由AMNAMMMN个AMAMN个（AM）N，当N；AMNA（M）（N）AMM（N）个AMAM（N）个（AM）（AM）（N）个（AM）N，当N；又AM（AM）这就证明了AMN（AM）N若A，B交换，当M时，显然有AMBM（AB）M当M为正整数时，AMBM与（AB）M都是M个A，M个B的乘积，由广义结合律知它们相等，当M为负整数时，AMBM（AB）M，即（AM）（BM）（AB）M）左边又是（AMBM），4故AMBM（AB）M畅参照中学数学中对二项定理的证明畅由（AAAM）（AMAMAA）AAAMAMAMAMA，故（AAAM）AMAA对第个问题，上面一段正是证明了它的充分性再证必要性设AAAMU，则任I，AI（AAIAIAMU），故每个AI有逆元素畅（BA）D（BA）（BCA）BABCABABCABAB（AB）CABABA，5/95D（BA）（BCA）（BA）BABCABCABA，BABC（AB）ABABA即BA在R内也可逆又由C（AB）（AB）C，得CABABCC故ADBA（BCA）BABABCABAB（CAB）ABCC畅当N时，取ANNBNN则A，B，但ABA，B皆为零因子5第一章群畅群的例子畅群的基本概念群、子群、同态、同构、陪集、正规子群、商群、群阶、元的阶、群的方指数、循环群、交换群、奇（偶）置换、置换的轮换分解畅与群作用有关的概念群作用及等价定义、轨道（等价类）、不变量及不变量的完全组、稳定子群、轨道长、共轭类畅重要结论LAGRANGE定理、CAYLEY定理、类方程，群作为稳定子群的陪集的无交并、稳定子群的阶与轨道长的积等于群阶（有限群时）、同态基本定理、循环群及其子群的结构、有限交换群为循环群的充要条件、域中非零元的有限乘法子群是循环群、AN（N）的单性、BURNSIDE关于轨道数的定理畅几个应用图形的对称性群的计算（利用稳定子群）、晶体的对称性定律、轨道数的定理在一些组合计算问题中的应用畅解析几何、高等代数中有关群的例子、矩阵的各种变换与群作用的关系畅本章的一大特点也是本教材的一大特点是以群作用为主线来处理群论这一章的内容在其它教材中群作用的概念和理论仅在群论的稍深入的部分出现不少教材（例如为师范院校用的教材）甚至不涉及它作者发现本章的内容（作为群论的引论内容）大量地与群作用有关从图形的对称性群的分析引入群作用概念、用群作用的轨道引出陪集与共轭类的概念、LAGRANGE定理和CAYLEY定理、群作用与高等代数中各种矩阵变换和几何学中的ERLANGER纲领的联系、群作用的轨道长和稳定子群关系的结论用于推出类方程和化简图形的对称性群的计算、BURNSIDE关于轨道数的结论用于组合计算问题等基本上形成了本章内容从头到尾的一条主线中间穿插着讲述了群的各个基本概念和基本性质这样就体现了群作用的重要性6/95畅读者还可进一步考察高等代数中与群和群作用有关的其它例子本教材中将群作用与高等代数矩阵变换相联系，体现了用群作用的高观点去看待以前6的知识畅任意域中非零元素的乘法有限子群是循环群这是非常漂亮的结果，是群论结果的推论它在有限域的结构中起重要作用畅利用商群和同态基本定理可以搞清一些对象的构造和性质读者可从教材内容和习题中举出几个例子来熟悉这种方法（）空间点阵绕一轴的转动若是它的对称性变换，则转角只有，证明只由这几个变换共能组五个群（）实对称NN方阵可用正交矩阵作相似变换化为对角矩阵这其中有什么群作用试找出这个群作用下的不变量的完全组，给出两个NN实对称方阵在同一轨道的充分必要条件给出两个NN实对称矩阵在一般的（不一定是正交矩阵下）相似变换下能够互变的充分必要条件1群的例子以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题倡畅平面取定坐标系OXY，则平面仿射（点）变换（X，Y）T（X，Y）T（这里T是矩阵的转置，（X，Y）T是一列的矩阵，即列向量）可写为XAXAYB，YAXAYB，（）其中行列式AAAA证明平面上全体仿射变换对于变换的乘法成一个群，称为平面的仿射变换群（可以把（）写成矩阵形式，再进行证明）倡畅平面上取定直角坐标系OXY，任意平面正交（点）变换（X，Y）T（X，Y）T可写为7XAXAYB，YAXAYB，其中矩阵AAAA是正交矩阵用这种表示式证明平面上全体正交变换对于变换的乘法成为一个群，它是平面的正交变换群（见例）倡畅平面上三个（不同的）点（X，Y）T，（X，Y）T，（X，Y）T（在习题中同一坐标系OXY下）共线当且仅当有实数L，使（XX，YY）TL（XX7/95，YY）T证明在习题中的仿射变换下，有（XX，YY）TL（XX，YY）T，故变换后的三点（X，Y），（X，Y），（X，Y）也共线倡畅平面上二点（X，Y）T，（X，Y）T（在习题中直角坐标系OXY下）的距离为XX，YY（XX）（YY）证明在习题中的正交变换下，变换前后两点的距离不变注只要证明（XX）（YY）（XX）（YY）除直接计算外还可利用矩阵工具实际上XXYYAAAAXXYY又若把一个数看成矩阵，则有（XX）（YY）（XX，YY）（XX，YY）T及（XX）（YY）（XX，YY）（XX，YY）T畅所有形为ABA（A，A，B皆为复数）的矩阵对于矩阵的乘法成为一个群倡畅令G是全部实数对（A，B），A，的集合在G上定义乘法为（A，B）（C，D）（AC，ADB），E（，），验证G是一个群倡畅设G是一个幺半群若G的每个元A有右逆元，即有BG，使ABE，则G是一个群倡畅设G是一个群若橙A，B皆有（AB）AB，则G是交换群畅设群G的每个元素A都满足AE，则G是交换群畅GZC（复数域）Z对于复数的乘法成群8畅K珋珔，C，不同时为，其中珔，珋是，的共轭复数，则K在矩阵的乘法下成群畅设G是非空的有限集合，G上的乘法满足橙A，B，CG有8/95）（AB）CA（BC）；）ABAC痴BC；）ACBC痴AB；则G是群倡畅证明（）群中元A，AE当且仅当AA（）偶数个元素的群都含有一个元AE，使得AE畅证明任一个群G不能是两个不等于G的子群的并集畅以QP记分母与某素数P互素的全体有理数组成的集合，证明它对于数的加法成为一个群畅以QP记分母皆为PI（I，P素数）的全体有理数的集合，证明它对数的加法成为群倡畅令，计算，倡畅设N（）（）（N），N（）（）（N）问（）（）（N），IIIN，及（）（）（N）N9/95（）（）（N）N倡畅将下列置换分解成不相交轮换的乘积，然后再分解成对换的乘积，并说是奇或偶置换倡畅确定置换9NNN（N）的奇偶性倡畅把（）（）（）（）（）分解成不相交的轮换的乘积畅写仿射点变换（X，Y）T（X，Y）T（这儿T是矩阵的转置）为矩阵形式XYAA_AAXYBBAXYBB，其中AAAAA设另一仿射点变换XY10/95BXYCC其中B则（X，Y）T经变成XYXYAXYBBBAXYBBCCBAXYBBBCC由于BABA，仍是仿射点变换易证仿射点变换XYAXYBB正是的逆变换而仿射点变换XYXY11/95XY是恒等变换，它是乘法单位元，又变换的乘法自然有结合律故平面上全体仿射点变换对变换的乘法成为一个群畅平面上正交点变换可写成矩阵形式XYAXYBB，10其中A为正交矩阵，即满足AATATAI（单位矩阵）正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也是正交阵利用这两个性质，完全类似于习题中的论证，能证明本习题的结论畅由题设有XXYYLXXYY在仿射点变换XYAXYBB的变换下XIYIAXIYIBB，I，12/95故XXYYXYXYAXYAXYAXXYYALXXYYLAXXYYLXXYY由于A，A可逆于是将不同的三点（XI，YI）T变成不同的三点（XI，YI）T，I，上面一串等式的最前端与最后端相等即表示这三点也共线畅与第三题类似有XXYYAXXYY其中A满足AATATAI于是（XX）（YY）（XX，YY）XXYYA13/95XXYYTAX_XYY（XX，YY）ATAXXYY（XX，YY）XXYY（XX）（YY）畅略畅略11畅对AG，A有右逆BB又有右逆A，这时A为B的左逆由BAEAB，得到AA（BA）（AB）AA，可知AA这样BAABE，即B是A的逆畅由题设，橙A，BG，（AB）ABABAB对后一等号两边左乘A，右乘B，就得到ABBA畅橙A，BG，有ABE，故AA，BB，又（AB）ABABE对后一个等号两边左乘A，右乘B，就得BAAB畅略畅略畅设GG，GS由性质（），橙AG，AG，AGS彻G，且是S个不同的元，故AG，AGSG同样由性质（）可得，GA，GSAG设其中AGIA，GJAA于是（GA）GIGA，（GSA）GIGSA；GJ（AG）AG，GJ（AGS）AGS即GI是G的右单位元，GJ是G的左单位元，分别记为E及E，则EEEE，即G有单位元E类似于上面作法，由AG，AGSG，有BG使ABE，由GA，GSAG，而有BG使BAE于是BBEB（AB）（BA）BEBB，即橙AG有逆元又题设G有结合律，故是一个群畅只证（）用反证法设橙AG，AE有AE由（）知AA取AGE，则AA14/95E若GE除了A，A外还有元素A，于是AA由于A，A互为逆元素，若AA，A则A（A）A，A这不可能，即AA，A故A，A，A，A是四个不同的元素设上面的步骤进行了K步，得到（K）个元素A，A，AK，AK彻GE同样论证GE除了上述（K）个元素外要么没有元素了，要么同时有AK及AK且AKAK可知GE要么等于A，A，AK，AK，要么有K个元素A，A，AK，AK彻GE因GE只有有限个元素，必然在某个第K步停止，即GEA，A，AK，AK故G有K个，即奇数个元素，矛盾因此G中必有元素AE，AE畅设G，G皆为不等于G的子群，但GGG因GG，可取到GG由GGG，GG同样能取到GG，但GG作GGG若GG，因GG，则GGGG矛盾于是GG，同样GG，就得到GGG与GGG矛盾故不能有不等于G的两个子群G，G使得GGG畅略12畅略畅略畅（）（）（N）15/95（）（）（N），（I）（I）（IN）IIIN（）（）（N）（）（）（N）N（）（）（N）（）（）（N）N（）（）（N）（）（）（N）畅略畅略畅略2对称性变换与对称性群，晶体对称性定律下列习题中打倡者为必作题，其它为选作题倡畅计算下列图形的对称性群（）正五边形；（）不等边矩形；（）圆倡畅用S的全部变换去变XXXX，把变到的所有可能的多项式写出来倡畅用S去变XXX能变出几个多项式，把它们全写出来以XXX为其中一项作出一个和，使它是对称多项式，并使其项数最少倡畅用不相交的轮换的乘积的形式写出S，A，S，A中的全部元素倡畅S中下列个元素的集合（），（）（），（）（），（）（）在置换乘法下成为一个群，记为V并且它是A的子群畅求出正四面体AAAA的对称性群畅（）令绕O反时针旋转，的个旋转变换为T，13T，T，T，T，令平面对直线L，L，L，L，L，的反射变换为S，S，S，S，S，它们都是对称性变换对于此正五边形的任一个对称性变换T，它若将顶点A变成AI，则T16/95IT就将A变成A易知正五边形的保持A不动的对称性变换只有T和S，即TITT或S，故TTITTI或TTIS故全部对称性变换为TIS，TI，I，最多有个元素而前面已列出TI，SI，I，共个对称性变换，它们必须相等（）令绕O反时针旋转，的旋转变换为T，T，令平面对直线L，L的反射为S，S它们都是该矩形的对称性变换使A分别变到A，A，A，A的对称性变换都只有一个，即分别为T，S，T，S故它们是全部的对称性变换（）令绕O反时针旋转任意角的旋转变换为T，令平面对过中心O的任意直线L的反射为SL则圆的对称性变换群T，SL，全部过中心O的直线L畅XXXX，XXXX，XXXX畅能变出个单项式，即为XXX，XXX，XXX，XXX，XXX，XXX它们的和XXXXXXXXXXXXXXXXXX是所要求的项数最少的多项式畅S（），（），（），（），（），（）A（），（），（）S（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（17/95），（），（），（），（）（），（）（），（）（），（），（），（），（），（），（）A（），（），（），（），（），（）14（），（），（），（）（），（）（），（）（）畅略畅正四面体为ABCD，O为DBC的中心，E，F，G，L分别是CD，AB，AC，AD的中点，我们先找出使顶点A不动的全体对称性变换的集合H这些变换使BCD变为自己，H限制在平面BCD上是BCD的对称性群由此易确定出HTI，TIS，I，其中T，T，T是空间绕轴AO旋转（按某固定方向）转，的旋转变换，S是空间对平面ABE的镜面反射再任选三个对称性变换M，M，M，它们分别能将点B，C，D与A互变例可取M，M，M是空间分别对平面CDF，BGD，CBL的镜面反射与第题（）中的论证类似，可得正四面体ABCD的对称性群GTI，TIS，MJTI，MJTIS，I，J，G有个元3子群，同构，同态以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题倡畅四个复数，I，I的集合U构成非零复数的乘法群的子群倡畅H，H，HK，都是群G的子群证明（）HH是子群（）IHI是子群（）若H炒H炒炒HK炒HK炒，则IHI是子群倡畅设G是群令Z（G）AGAGGA，橙GG，则Z（G）是G的子群称为G的中心倡畅G是群，S是G的非空子集令CG（S）AGASSA，橙SS，NG（S）AGASAS，则它们都是G的子群，其中ASAASA橙SSCG（S）和NG（S）分别称15为S在G中的中心化子和正规化子畅设G是群，H是G的子群（）AG，则AHA也是子群（）是G的18/95自同构，则（H）也是子群畅证明中习题中V与上面习题中U不同构倡畅证明正三角形AAA的对称性群与S同构（将每个对称性变换与它引起的顶点的置换相对应）畅令LCOSSINSINCOS，MEIEI它们都在矩阵的乘法下成为群，并且相互同构畅证明群G是交换群当且仅当映射GGXX是G的自同构畅实数域R到习题中群L的映射RLXCOSSINSINCOS，其中XK，是R的加群到群L的同态畅G是群，S是G的非空子集令HTTITK橙K是正整数，TI或TIS证明H是子群且H枙S枛倡畅整数加法群Z的子群一定是某个NZ（NZ）畅证明有理数加法群Q的任何有限生成的子群是循环群畅G全体整数元素的可逆矩阵，对矩阵乘法是否成为群全体正实数元素的可逆矩阵对矩阵乘法是否成为群倡畅群G的全部自同构在G上变换的乘法下成为群，称为G的自同构群，记为AUTG畅略畅（）略（）对A，BIHI来证ABIHI因A，BHI，HI是子群，故AB16HI，I，于是ABIHI故IHI是子群（）设A，B19/95IHI，必有K，L使AHK，BHL不妨设KL于是由HK彻HL得A，BHL，又HL是子群，知ABHL彻IHI故IHI是子群畅略畅略畅略畅写V中的元为A，B，C，E（单位元），则有ABCE而U中个元为，I，I假设V到U有同构不妨设（A）I由AE，（A）（E）但（A）I，I，（A）（A）故（A）（A）（A），不保持乘法，矛盾故V与U不同构畅例中已计算过正三角形AAA的对称性群G有个元素每个对称性变换引起顶点A，A，A的一个置换这就引起了G到S的一个映射易检验这个变换引起S的全部个不同的置换故这映射是双射又连续两次作对称性变换引起连续两次顶点的置换即对称性变换的乘积引起对应的顶点置换的乘积，故这映射保持乘法因此上述映射是对称性变换群G到S的同构畅略畅略畅略畅橙TTK，XXLH，TI，XI或TI，XIS，则（TTK）（XXL）TTKXLXLX，其中TI或TI，XI或（XI）XI都属于S，故（TTK）（XXL）H，即H是子群又设H是G的包含S的子群，则必含所有形为TTK的元素，其中TI或TIS，故H澈H，因而H是包含S的最小的子群畅设H是加法群Z的子群，若HZ，则H中有非零整数T若T，H是子群，H含T，它是正整数故H中有正整数取N为H中最小的正整数任MH，作除法算式，MNQR，其中R或RN但RMNQH，若R则与N的最小性矛盾故R，MNQ，即H彻NZ又NH，橙LZ，LN20/95NNL个或LN（N）（N）L个H，即有NZ彻H因此HNZ畅设H枙QP，QSPS枛是Q的有限生成的加法子群由第题易知H17SILIQIPILIZ取P，PS的最小公倍数为M，则QIPIMPIQIM，令为QIM再令（Q，QS）N，则QIPIQIMNMQIN，令为NMTI则（T，T，TS）取K，KSZ，使KTKSTS于是SIKINMTINMS21/95IKITINMH，且任意SILIQIPISILITINMNMSILITI这就证明了H枙NM枛是循环加法群畅，即不是整数矩阵，故全体整数元素的可逆矩阵不成为群取正实数矩阵，22/95，即正实数可逆矩阵的逆矩阵不是正实数矩阵故全体正实数可逆矩阵不成为群畅略4群在集合上的作用，定义与例子以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题倡畅V是某域F上N维线性空间，GGL（V）是V上全线性变换群令M为V的全部子空间的集合证明G在M上有群作用倡畅G是群K，H是G的子群作群直积KH定义映射礋（KH）GG（K，H），G）（K，H）礋GKGH证明它是群KH在集合G上的作用畅G是正四面体AAAA的对称性群令M四面体的顶点的集合，M四面体的四个面的集合，M四面体的六条棱的集合，则G在M，M，M上分别有群作用倡畅令G是NN实正交矩阵的群，M是NN实对称矩阵的集合证明下18述对应是一个映射GMM（P，A）P礋APAP，且是G在M上的群作用倡畅写域F上多项式F（X，Y，Z）F（R），其中R（X，Y，Z）T，取M为F上X，Y，Z的全部多项式的集合G为群GL（F）对AG，令R（X，Y，Z）TA（X，Y，Z）TAR证明下述对应（A，F）A礋FF（R）F（AR）是GMM的一个映射，且是G在M上的群作用畅利用CAYLEY定理证明具有给定阶N的不同构的有限群只有有限个畅略畅（）KH的单位元是（E，E），其中E是G的，也是K和H的单位元橙GG，（E，E）礋GEGEG（）橙K，KK，H，HH，（K，H），（K，H）KH橙GG，（K，H）礋（K，H）礋G）（K，H）礋（KGH）KKGHH（KK）G（HH）23/95（KK，HH）礋G（K，H）（K，H）礋G由定义，上面映射“礋”是KH在G上的群作用畅略畅首先证明（P，A）P礋APAP定义了GM到M的映射橙PG，P是NN正交矩阵，故PP，对橙AM，A是NN实对称阵，有P礋APAPPAP，是NN实对称阵，故P礋AM，确定了GM到M的映射易证这映射是G在M上的一个群作用畅对AGGL（F），橙F（R）是F上X，Y，Z的多项式，A礋FF（AR），AR（X，Y，Z）T中X，Y，Z都是X，Y，Z的一次多项式，若设为XAXAYAZYAXAYAZZAXAYAZ，其中AIJF则F（AR）F（X，Y，Z）F（AXAYAZ，AXAYAZ，AXAYAZ）仍是F上X，Y，Z的多项式，故19（A，F）A礋FF（AR）建立了GMM的一个映射，易证它是G在M上的群作用畅CAYLEY定理断言，有限群G同构于G上的变换群设G的阶为N，则G同构于SN的子群而SN的子群只有限个，故只有有限个不同构的N阶群5群作用的轨道与不变量、集合上的等价关系以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题倡畅习题中的群作用有几条轨道找出群作用的不变量与不变量的完全组倡畅找出习题中群作用的不变量和不变量的完全组倡畅（联系习题中的群作用）令TG，称KTHKTHKK，HH为G的一个（K，H）双陪集，则G的两个（K，H）双陪集或重合或不相交，且G是全部（K，H）双陪集的无交并畅V中可逆线性变换若把某子空间W变成子空间W，则把W的基变成W的基，故同一轨道上的子空间具有相同的维数，又设V的两个子空间W和W，它们有同样维数K，分别取W和W的基为，K；，K分别补充成KN；KN，使它们都是V的基由线性代数知道必有V上可逆线性变换A，使AII，I，NA就将子空间W变成子空间W故W与W在同一条轨道上24/95故对K，N，V中全体K维子空间的集合VK构成群作用的一条轨道共有N条轨道子空间的维数是不变量，并构成不变量的完全组畅对A，B皆为NN实对称矩阵，若A，B在同一轨道上，即有NN正交阵P使BPAP，则它们有相同的特征值集合反之，设A，B为具有相同特征值集合，N（I是K重特征值就在集合中出现K次）的NN实对称矩阵，它们都可用实正交矩阵化为对角阵，即有NN正交阵P，P使20PAP筹NPBP于是（PP）A（PP）B，PP仍为正交阵，故A，B在同一条轨道上以上说明，特征值的集合是群作用的不变量的完全组而全部特征值的和，全部特征值的积，特征多项式都是群作用的不变量畅实际上KTH是习题中群作用下的一条轨道，两条轨道或重合或不相交，即两个（K，H）双陪集或重合或不相交，群作用集G是全体轨道的无交并也就是全体（K，H）双陪集的无交并6陪集，LAGRANGE定理，稳定化子，轨道长以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题倡畅G是群，H是G的子群X，YG，则X，Y属于H的同一左陪集当且仅当XYH倡畅群G作用于集合M上，XM证明（）稳定化子STABG（X）是子群（）设G，GG，则G礋XG礋X当且仅当G，G属于STABG（X）的同一左陪集倡畅V是域F上N维线性空间，取定V的一组基，NV上任一可逆线性变换A，设它在，N下矩阵为A，则建立起GL（V）到GLN（F）的同构，AA于是群GLN（F）通过GL（V）可作用于空间V上，进而可作用于V的子空间的集合M上（）GLN（F）在处的稳定化子由哪些元素组成（）令W是由，K，KN，生成的子空间，GLN（F）在W处的稳定化子由哪些元素组成倡畅正四面体AAAA的对称性群G可作用在它的顶点的集合和它的面的集合上，也作用在它的棱的集合上（）试决定G在顶点A处的稳定化子；25/95（）求G在面AAA处的稳定化子；（）求G在棱AA处的稳定化子畅把正四面体AAAA的对称性群用顶点的置换表出利用定理中公式（）写出它的对称性群的全部元素再回到四面体上考察每个置换代表什21么正交变换畅G是群，K及H是G的子群（）令M是G中H的左陪集的集合用K的元素对M的元素进行左乘，得下列映射礋KMM（K，TH）K礋THKTH，证明这是K在M上的一个群作用（）试决定这个群作用过TH的轨道及在TH处的稳定化子并证明KTHKKTHTH倡畅S中CE，（），（）组成S的子群写出S中C的全部左陪集和全部右陪集倡畅S中写出子群SIIIIII是的全部排列的全部左陪集畅G是群，H是子群当G是交换群时，H的任一左陪集都是一个右陪集倡畅写出Z中子群ZKKZ的全部左陪集倡畅证明任意L，KZ属于NZ在Z中同一陪集的充分必要条件为LK（MODN）（倡）写出Z中NZ的全部陪集畅S作用在域F上全部多项式F（X，X，X）的集合上求S在XXX和XXXX处的稳定化子及S作用下分别过XXX和XXXX的轨道畅有限群G称为P群，如果它的阶是素数P的方幂证明G的非单位元子群的阶能被P除尽，及G对于其真子群（即不等于G的子群）的指数也被P除尽畅有限群G为P群，则G的中心Z（G）E（利用改进的类方程（）畅GS共轭作用于自身求中心化子CG（），其中分别是（）和（）倡畅求S的含上题中（）和（）的共轭类倡畅G是素数P阶的群，则（）G除本身和单位元群以外没有其它子群（）G枙A枛，橙AE即G是循环群（见定义前一段）畅G作用在集合M上XM，GG，及G礋XY，则STABG（Y）GSTABG（X）G畅G是有限群，H炒K皆是G的子群，则GHGKKH（倡）LK（MODN）表示L与K的差是N的倍数，或用N去除L及K所得的余数相同22畅有限群G是P群，PMG在M上有群作用，且MM，则G在M26/95上有不动元畅求S及A的全部共轭类畅略畅（）设G_，GSTABG（X），GI礋XX，I，于是（GG）礋XG礋（G礋X）G礋XX，又G礋XG礋（G礋X）（GG）礋XE礋XX故GG及GSTABG（X），即STABG（X）是G的子群（）G，GG，G礋XG礋X骋XG礋（G礋X）G礋（G礋X）（GG）礋X骋GGSTABG（X），由第一题这等同于G，G属于STABG（X）的同一左陪集畅（）设AGLN（F），A礋这等价于A（，N）（，倡，倡）（，N）倡倡倡倡倡倡故GLN（F）在处的稳定化子为AANAANANANN其中AANANANN（）AW处的稳定化子，则A所对应的线性变换A满足AIKJAJIJ，I，K，也即A（，K，N）（，K，N）AAK27/95倡AKAKK倡故GLN（F）在W处的稳定化子为23AAK倡AKAKKAK，KAK，NAN，KANN其中AAKAKAKKAK，KAK，NAN，KANN畅（），（）中的稳定化子相同，可参考第题的结果（）令AA和AA的中点分别是F，E，则AA的稳定化子由恒等变换、绕FE转的旋转变换、对平面AAE以及对平面AAF的反射共四个变换组成畅在第题中求正四面体AAAA的对称性群的方法与定理中公式是一致的那里求出对称性群有个元素，全体对称性变换对应了顶点A，A，A，A的个置换，正是S的全部元素令E、F、G、H、I、L分别是棱AA、AA、AA、AA、AA、AA的中点，则顶点的置换与对称性变换的对应如下恒等变换绕AO旋转绕AO旋转对平面AOA的镜面反射28/95对平面AOA的镜面反射对平面AOA的镜面反射对平面FAA的镜面反射先绕AO旋转，再对平面FAA反射先绕AO旋转，再对平面FAA进行反射24绕FE轴旋转绕四面体过A的高线旋转绕四面体过A的高线旋转对平面AGA的镜面反射先绕AO转，再对平面AGA作反射先绕AO转，再对平面AGA作反射绕四面体过A的高线旋转绕GH轴旋转绕四面体过A的高线旋转对平面ALA的反射29/95先绕AO转再对平面ALA作反射先绕AO转再对平面ALA作反射绕四面体过A的高线旋转绕四面体过A的高线旋转绕IL轴旋转畅（）略（）过TH的轨道为KTHKTHKK，而在TH处的稳定化子为STABK（TH）KKKTHTHKK（TKT）HHKK（TKT）HKKKTHTKTHTKTH（KTH中H的左陪集的数目）H25（K作用下过TH的轨道的长度）HKSTABK（TH）HKKTHTH畅略畅S中S的左陪集为S，S，S，S畅略畅略畅略畅S在XXX处的稳定化子为，在XXXX处的稳定化子为30/95，S作用下过XXX的轨道为XXX，XXX，XXX，XXX，XXX，XXX，而过XXXX的轨道为XXXX，XXXX，XXXX畅设GPK，K对H为G的非单位元子群，则有HGPK的不等于的因子必被P整除，故PH又设K为G的真子群，KGGPK，K是PK的不等于自己的因子，设为PL，LK由GKPKL及KL，故PGK畅由改进的类方程|G|Z（G）|MIGCG（YI），其中CG（YI）G由题，PGCG（YI）又PG，故PZ（G）即Z（G）E畅令（），（），由计算得CG（）E，（），（）CG（）E，（）畅含（）的共轭类为（），（）含（）的共轭类为（），（），（）畅（）设H是G的子群，则HG，因GP是素数，H或P31/95当H时HE当HP时HG（）取AE，则枙A枛E由（），枙A枛G畅设G礋XY，则26H礋YY骋H礋（G礋X）G礋X骋（GHG）礋XX即HSTABG（Y）骋GHGSTABG（X）即GSTABG（Y）GSTABG（X），或GSTABG（X）GSTABG（Y）畅略畅设O，O，OS是M在G作用下的全部轨道，则|M|SI|OI|若G在M上无不动元，则橙I，|OI|取XIOI，由|G|STABG（XI）|OI|，即有|OI|G|G|PK的因子不是就是PL，L，故P|OI|由|M|SI|OI|，得P|M|与题设矛盾故G在M上必有不动元畅在S中有着同类型轮换分解的置换组成一个共轭类故S中全部共轭类为（）；（），（），（），（），（），（）；（）（），（）（），（）（）；（），（），（），（），（），（）；（），（），（），（），（），（）上述集合中只有第，第，第个集合是在A中（）是A的一个类由于IIII及IIII皆能满足（）（）（II）（II）且这两个中必有一个为偶置换故（II）（II）与（）（）在A中组