大学物理上册课后答案陈曙光湖南大学出版

第一册第一章质点运动学11一质点沿直线运动，运动方程为XT6T22T3试求（1）第2S内的位移和平均速度；（2）1S末及2S末的瞬时速度，第2S内的路程；（3）1S末的瞬时加速度和第2S内的平均加速度解答（1）质点在第1S末的位置为X16122134M在第2S末的位置为X26222238M在第2S内的位移大小为XX2X14M，经过的时间为T1S，所以平均速度大小为VX/T4MS1（2）质点的瞬时速度大小为VTDX/DT12T6T2，因此V11216126MS1，V21226220质点在第2S内的路程等于其位移的大小，即SX4M（3）质点的瞬时加速度大小为ATDV/DT1212T，因此1S末的瞬时加速度为A1121210，第2S内的平均加速度为V2V1/T06/16MS2注意第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒12一质点作匀加速直线运动，在T10S内走过路程S30M，而其速度增为N5倍试证加速度为21NSAT，并由上述资料求出量值证明依题意得VTNVO，根据速度公式VTVOAT，得AN1VO/T，1根据速度与位移的关系式VT2VO22AS，得AN21VO2/2S，2（1）平方之后除以（2）式证得21NSAT计算得加速度为253004MS213一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成225的夹角的初速度65MS1从西边起跳，准确地落在坑的东边已知东边比西边低70M，忽略空气阻力，且取G10MS2问（1）矿坑有多宽他飞越的时间多长（2）他在东边落地时的速度速度与水平面的夹角解答方法一分步法（1）夹角用表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为VY0V0SIN2487MS1取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式VTV0AT，这里的V0就是VY0，AG；当人达到最高点时，VT0，所以上升到最高点的时间为T1VY0/G249S再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式VT2V022AS，70M225图13可得上升的最大高度为H1VY02/2G3094M人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为H2H1H10094M根据自由落体运动公式SGT2/2，得下落的时间为TG449S因此人飞越的时间为TT1T2698S人飞越的水平速度为VX0V0COS6005MS1，所以矿坑的宽度为XVX0T41919M（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为VYGT698MS1，落地速度为VVX2VY21/29208MS1，与水平方向的夹角为ARCTANVY/VX4930，方向斜向下方法二一步法取向上为正，人在竖直方向的位移为YVY0TGT2/2，移项得时间的一元二次方程201SINGTVT，解得02G这里Y70M，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为T698S由此可以求解其它问题14一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即DV/DTKV2，K为常数（1）试证在关闭发动机后，船在T时刻的速度大小为01KTV；（2）试证在时间T内，船行驶的距离为0LNXTK证明（1）分离变数得2DVKT，故020DV，可得01T（2）公式可化为VKT，由于VDX/DT，所以0001DD1XTVKTKT积分000XTVTKT因此1LN证毕讨论当力是速度的函数时，即FFV，根据牛顿第二定律得FMA由于AD2X/DT2，而DX/DTV，ADV/DT，分离变数得方程MF，解方程即可求解在本题中，K已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的N次方成正比，则DV/DTKVN（1）如果N1，则得DVKT，积分得LNVKTC当T0时，VV0，所以CLNV0，因此LNV/V0KT，得速度为VV0EKT而DVV0EKTDT，积分得0EKTX当T0时，X0，所以CV0/K，因此01EKTVX（2）如果N1，则得NT，积分得NTC当T0时，VV0，所以10NC，因此101NKTV如果N2，就是本题的结果如果N2，可得12/0NKTX，读者不妨自证15一质点沿半径为010M的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示24T3求（1）T2S时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值解答（1）角速度为D/DT12T248RADS1，法向加速度为ANR22304MS2；角加速度为D/DT24T48RADS2，切向加速度为ATR48MS2（2）总加速度为AAT2AN21/2，当ATA/2时，有4AT2AT2AN2，即3NT由此得23R，即14，解得/6T所以/33154RAD（3）当ATAN时，可得RR2，即24T12T22，解得T1/61/3055S16一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为V300MS1，方向与水平线夹角为30而斜向下，此后飞机的加速度为A203MS2，方向与水平前进方向夹角为30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少解答建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为V0XV0COS，V0YV0SIN加速度的大小为AXACOS，AYASIN运动方程为201XT，201YVT即COSCSVT，YXOV0AAXAYV0XV0Y201SINSIYVTAT令Y0，解得飞机回到原来高度时的时间为T0（舍去）；2I3STAS将T代入X的方程求得X9000M注意选择不同的坐标系，如X方向沿着A的方向或者沿着V0的方向，也能求出相同的结果17一个半径为R10M的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在T20S内下降的距离H04M求物体开始下降后3S末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解答圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度由于21THA，所以AT2H/T202MS2物体下降3S末的速度为VATT06MS1，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为2NVAR036MS218一升降机以加速度122MS2上升，当上升速度为244MS1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距274M计算（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离解答在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为210HVTA；螺帽做竖直上抛运动，位移为2201HVTG由题意得HH1H2，所以，解得时间为/TAG0705S算得H20716M，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0716M注意以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为AG，而初速度为零，可列方程HAGT2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离19有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处已知气流相对于地面的速度为U，AB之间的距离为L，飞机相对于空气的速率V保持不变（1）如果U0（空气静止），试证来回飞行的时间为02LT；（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为012/TUV；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为2T证明（1）飞机飞行来回的速率为V，路程为2L，所以飞行时间为T02L/VRA图17ABABVVUVUABVUUVV（2）飞机向东飞行顺风的速率为VU，向西飞行逆风的速率为VU，所以飞行时间为12LLTV022/1/TL（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作向量三角形，其中沿AB方向的速度大小为2VU，所以飞行时间为22/1LLLVTV021/TUV证毕110如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为V1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为，偏向于汽车前进方向，速度为V2今在车后放一长方形物体，问车速V1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿解答雨对地的速度2V等于雨对车的速度3加车对地的速度1，由此可作向量三角形根据题意得TANL/H方法一利用直角三角形根据直角三角形得V1V2SINV3SIN，其中V3V/COS，而VV2COS，因此V1V2SINV2COSSIN/COS，即SINCOSLH证毕方法二利用正弦定理根据正弦定理可得12SISI90VV，所以12NCOIINSV2STA，即1INCOLH方法三利用位移关系将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在T时间内，雨滴的位移为LV1V2SINT，HV2COST两式消去时间T即得所求证毕第二章运动定律与力学中的守恒定律一牛顿运动定律21一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度0V运动，0V的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解答质点在斜上运动的加速度为AGSIN，方向与初速度方向垂直其运动方程为XV0T，221SINYATGTV1HLV2图110V1HLV2V3VABV0P图21将TX/V0，代入后一方程得质点的轨道方程为20SINGYXV，这是抛物线方程22桌上有一质量M1KG的平板，板上放一品质M2KG的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为K025，静摩擦因素为S030求（1）今以水平力F拉板，使两者一起以A1MS2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力解答（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用板对物体的支持大小等于物体的重力NMMG196N，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为FMMA2N，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力NMMMG294N，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为FMKNM735N这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为A的运动，物体的运动方程为FSMGMA，可得ASG板的运动方程为FFKMMGMA，即FFMAKMMGSKMMG，算得F1617N因此要将板从物体下面抽出，至少需要1617N的力23如图所示已知F4N，M103KG，M202KG，两物体与水平面的的摩擦因素匀为02求质量为M2的物体的加速度及绳子对它的拉力（绳子和滑轮品质均不计）解答利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为A22A1，而力的关系为T12T2对两物体列运动方程得T2M2GM2A2，FT1M1GM1A1可以解得M2的加速度为21/A478MS2，绳对它的拉力为211/TFG135N24两根弹簧的倔强系数分别为K1和K2求证（1）它们串联起来时，总倔强系数K与K1和K2满足关系关系式12K；NMFMNMFMANMFNMFFFAM2FT1A1M1T2A2F1F2图23（2）它们并联起来时，总倔强系数KK1K2解答当力F将弹簧共拉长X时，有FKX，其中K为总倔强系数两个弹簧分别拉长X1和X2，产生的弹力分别为F1K1X1，F2K2X2（1）由于弹簧串联，所以FF1F2，XX1X2，因此12，即K（2）由于弹簧并联，所以FF1F2，XX1X2，因此KXK1X1K2X2，即KK1K225如图所示，质量为M的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角）及线中的张力T（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度1A沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成角；（4）用与斜面平行的加速度1B把小车沿斜面往上推（设B1B）；（5）以同样大小的加速度2（B2B），将小车从斜面上推下来解答（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为TMG（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力由于TANMA/MG，所以ARCTANA/G；绳子张力等于摆所受的拉力222MAGAG（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以；TMGCOS（4）根据题意作力的向量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，角的对边是MBCOS，邻边是MGMBSIN，由此可得COSTANINMBG，因此角度为RTSI；而张力为2CO/2TMBGBSIN（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的B改为B就行了26如图所示质量为M010KG的小球，拴在长度L05M的轻绳子的一端，构成一个摆摆动时，与竖直线的最大夹角为60求（1）小球通过竖直位置时的速度为多少此时绳的张力多大（2）在0，所以SIN0，因此T1/32/3，得T11S当物体从X006M处第一次回到平衡位置时，X0，V0，因此COST2/30，可得T2/3/2或3/2等由于T20，所以T2/33/2，可得T211/6183S所需要的时间为TT2T1083S方法二反向运动物体从X006M，向X轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从X006M，即从起点向X轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间在平衡位置时，X0，V0时，SIN0，因此ARCCOSX0/A/3可见当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值如果速度等于零，当初位置X0A时，0；当初位置X0A时，42已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求（1）A，B，C，D，E各点的位相，及到达这些状态的时刻T各是多少已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转向量图解答方法一由位相求时间（1）设曲线方程为XACOS，其中A表示振幅，T表示相位由于XAA，所以COSA1，因此A0由于XBA/2，所以COSB05，因此B/3；由于位相随时间T增加，B点位相就应该大于A点的位相，因此B/3由于XC0，所以COSC0，又由于C点位相大于B位相，因此C/2同理可得其它两点位相为D2/3，EC点和A点的相位之差为/2，时间之差为T/4，而B点和A点的相位之差为/3，时间之差应该为T/6因为B点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达A点的时刻为TAT/6到达B点的时刻为TB2TAT/3到达C点的时刻为TCTAT/45T/12到达D点的时刻为TDTCT/12T/2到达E点的时刻为TETAT/22T/3（2）设振动表达式为XACOST，当T0时，XA/2时，所以COS05，因此/3；由于零时刻的位相小于A点的位相，所以/3，因此振动表达式为COS3TT另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程（3）如图旋转向量图所示方法二由时间求位相将曲线反方向延长与T轴相交于F点，由于XF0，根据运动方程，可得COS2TT所以3F显然F点的速度大于零，所以取负值，解得OTXABCDEA/2A图42OXAABCDEOTXABCDEA/2AFTFT/12从F点到达A点经过的时间为T/4，所以到达A点的时刻为TAT/4TFT/6，其位相为203T由图可以确定其它点的时刻，同理可得各点的位相43有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为98102M若使物体上下振动，且规定向下为正方向（1）T0时，物体在平衡位置上方80102M处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）T0时，物体在平衡位置并以060MS1速度向上运动，求运动方程解答当物体平衡时，有MGKX00，所以弹簧的倔强系数为KMG/X0，物体振动的圆频率为/KGX10RADS1设物体的运动方程为XACOST（1）当T0时，X080102M，V00，因此振幅为2200/|AXVX80102M；由于初位移为X0A，所以COS1，初位相为运动方程为X80102COS10T（2）当T0时，X00，V0060MS1，因此振幅为220/XV|V0/|60102M；由于COS0，所以/2；运动方程为X60102COS10T/244质量为10103KG的小球与轻弹簧组成的系统，按21COS83XT的规律作振动，式中T以秒S计，X以米M计求（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（4）画出这振动的旋转向量图，并在图上指明T为1，2，10S等各时刻的向量位置解答（1）比较简谐振动的标准方程XACOST，可知圆频率为8，周期T2/1/4025S，振幅A01M，初位相2/3（2）速度的最大值为VMA08251MS1；加速度的最大值为AM2A642632MS2（3）弹簧的倔强系数为KM2，最大回复力为FKAM2A0632N；振动能量为EKA2/2M2A2/2316102J，平均动能和平均势能为KPEKA2/4M2A2/4158102J（4）如图所示，当T为1，2，10S等时刻时，旋转向量的位置是相同的45两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反求它们的位相差，并作旋转向量图表示解答设它们的振动方程为XACOST，当XA/2时，可得位相为T/3由于它们在相遇时反相，可取1T1/3，2T2/3，它们的相差为212/3，OXT1,2,10SAOXA或者24/3向量图如图所示46一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动已知氢原子品质M1681027KG，振动频率V101014HZ，振幅A101011M试计算（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量解答（1）氢原子的圆频率为2V6281014RADS1，最大速度为VMA628103MS1（2）氢原子的能量为21ME3321020J47如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一品质为10KG的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为050S，振幅为20102M，求（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板解答（1）重物的圆频率为2/T4，其最大加速度为AM2A，合力为FMAM，方向向上重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以FNG重物对平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力NGFMGAMMG2A1296N（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为NMG2A当重物跳离平板时，N0，频率不变时，振幅为AG/232102M（3）振幅不变时，频率为12352HZ48两轻弹簧与小球串连在一直在线，将两弹簧拉长后系在固定点A和B之间，整个系统放在光滑水平面上设两弹簧的原长分别为L1和L2，倔强系统分别为K1和K2，A和B间距为L，小球的品质为M（1）试确定小球的平衡位置；（2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否为简谐振动振动周期为多少解答（1）这里不计小球的大小，不妨设LL1L2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长X1和X2，因此得方程LL1X1L2X2；小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即K1X1K2X2将X2X1K1/K2代入第一个公式解得2112KL小球离A点的距离为12LLXLL（2）以平衡位置为原点，取向右的方向为X轴正方向，当小球向右移动一个微小距离X时，左边弹簧拉长为X1X，弹力大小为F1K1X1X，方向向左；右边弹簧拉长为X1X，弹力大小为F2K2X2X，方向向右根据牛顿第二定律得K2X2XK1X1XMA，利用平衡条件得21D0MKT，即小球做简谐振动图47K1K2MAB图48小球振动的圆频率为12KM，其周期为122MTK49如图所示，质量为10G的子弹以速度V103MS1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动设弹簧的倔强系数K8103NM1，木块的品质为499KG，不计桌面摩擦，试求（1）振动的振幅；（2）振动方程解答（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即MVMMV0解得子弹射入后的速度为V0MV/MM2MS1，这也是它们振动的初速度子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得MMV02/2KA2/2，所以振幅为0AVK5102M（2）振动的圆频率为K40RADS1取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移X的正方向，振动方程可设为XACOST当T0时，X0，可得/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为X5102COS40T/2410如图所示，在倔强系数为K的弹簧下，挂一品质为M的托盘质量为M的物体由距盘底高H处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为T0时刻，求振动方程解答物体落下后、碰撞前的速度为2VGH，物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为02MVVGHM，这也是它们振动的初速度设振动方程为XACOST，其中圆频率为K物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为X1，则X1MG/K物体与托盘磁盘之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为X2，则X2MMG/K取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为X0X1X2MG/K因此振幅为2220VMGHAK1GKHKG；初位相为0ARCTNXM411装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体M间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M上，M悬于细绳下端已知弹簧的倔强系数为K50NM1，滑轮的转动惯量J002KGM2，半径R02M，物体质量为M15KG，取G10MS2（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；（2）将物体M用手托起015M，再突然放手，任物体M下落而KMMV图49KMMHXX1X2O图410MKT1T2RMMGXO图411整个系统进入振动状态设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体M是做简谐振动；（3）确定物体M的振动周期；（4）取物体M的平衡位置为原点，OX轴竖直向下，设振物体M相对于平衡位置的位移为X，写出振动方程解答（1）在平衡时，绳子的张力等于物体的重力TGMG15N这也是对弹簧的拉力，所以弹簧的伸长为X0MG/K03M（2）以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，当物体下落X时，弹簧拉长为X0X，因此水平绳子的张力为T1KX0X设竖直绳子的张力为T2，对定滑轮可列转动方程T2RT1RJ，其中是角加速度，与线加速度的关系是A/R对于物体也可列方程MGT2MA转动方程化为T2KX0XAJ/R2，与物体平动方程相加并利用平衡条件得AMJ/R2KX，可得微分方程22D/TJR，故物体做简谐振动（3）简谐振动的圆频率为2/KJR5RADS1周期为T22/126S（4）设物体振动方程为XACOST，其中振幅为A015M当T0时，X015M，V00，可得COS1，因此或，所以振动方程为X015COS5T，或X015COS5T412一匀质细圆环质量为M，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期解答通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为ICMR2根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为IICMR22MR2当环偏离平衡位置时，重力的力矩为MMGRSIN，方向与角度增加的方向相反根据转动定理得IM，即2DSIN0IMGRT，由于环做小幅度摆动，所以SIN，可得微分方程2D0MGRTI摆动的圆频率为I，周期为22RTMG413重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率解答（1）前面已经证明当两根弹簧串联时，总倔强系数为KK1K2/K1K2，因此固有频率为KM12KGCRMGOK1K2KKAB图413（2）前面还证明当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为12KGMP414质量为025KG的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数K25NM1，如果开始振动时具有势能06J，和动能02J，求（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能（3）经过平衡位置时的速度解答物体的总能量为EEKEP08J（1）根据能量公式EKA2/2，得振幅为/AEK0253M（2）当动能等于势能时，即EKEP，由于EEKEP，可得E2EP，即21KAX，解得/20179M（3）再根据能量公式EMVM2/2，得物体经过平衡位置的速度为/MV253MS1415两个频率和振幅都相同的简谐振动的XT曲线如图所示，求（1）两个简谐振动的位相差；（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程解答（1）两个简谐振动的振幅为A5CM，周期为T4S，圆频率为2/T/2，它们的振动方程分别为X1ACOST5COST/2，X2ASINT5SINT/25COS/2T/2即X25COST/2/2位相差为21/2（2）由于XX1X25COST/25SINT/25COST/2COS/45SINT/2SIN/4/SIN/4合振动方程为5COS4CM416已知两个同方向简谐振动如下1305COSXT，2106COS5XT（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；（2）另有一同方向简谐振动X3007COS10T，问为何值时，X1X3的振幅为最大为何值时，X2X3的振幅为最小（3）用旋转向量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果X以米计，T以秒计解答（1）根据公式，合振动的振幅为211212COSAA892102M初位相为12SINSIARCTOCA6822（2）要使X1X3的振幅最大，则COS11，因此10，所以106要使X2X3的振幅最小，则COS21，因此2，所以212T/SX/CM5012345X1X2图415（3）如图所示417质量为04KG的质点同时参与互相垂直的两个振动08COS36XT，06COS3YT式中X和Y以米M计，T以秒S计（1）求运动的轨道方程；（2）画出合成振动的轨迹；（3）求质点在任一位置所受的力解答（1）根据公式22112COSINXYXA，其中位相差为21/2，所以质点运动的轨道方程为22086（2）合振动的轨迹是椭圆（3）两个振动的圆频率是相同的/3，质点在X方向所受的力为2DXXFMAT2COST，即FX0035COST/3/6N在Y方向所受的力为2DYT206CS3T，即FY0026COST/3/3N用向量表示就是IJXYF，其大小为2XYF，与X轴的夹角为ARCTANFY/FX418将频率为384HZ的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为OXAA2A1X1X2X21OXA3A1X11X3OXA2A3X3X22OXA008YB006FXFYF30HZ，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率解答标准音叉的频率为V0384HZ，拍频为V30HZ，待测音叉的固有频率可能是V1V0V381HZ，也可能是V2V0V387HZ在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于2K/M，可知其频率将减小如果待测音叉的固有频率V1，加一小块物体后，其频率V1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率V2，即387HZ419示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用电子在两个方向上的位移分别为XACOST和YACOST求在0，30，及90这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程解答根据公式22112COSINXXY，其中21/2，而10，2（1）当0时，可得20A，质点运动的轨道方程为YX，轨迹是一条直线（2）当30时，可得质点的轨道方程2314XA，即2/YX，轨迹是倾斜的椭圆（3）当90时，可得21X，即X2Y2A2，质点运动的轨迹为圆420三个同方向、同频率的简谐振动为108COS3146T，208COS3142XT，3508COS146XT求（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到XA所需最短时间（A为合振动振幅）解答合振动的圆频率为314100RADS1设A0008，根据公式得AXA1COS1A2COS2A3COS30，AYA1SIN1A2SIN2A3SIN32A0016M，振幅为XY016M，初位相为ARCTANAY/AX/2合振动的方程为X016COS100T/2（2）当/时，可得COS1/2/T，解得100T/2/4或7/4由于T0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为T00125S第五章机械波01212OXYOXYXYO51已知一波的波动方程为Y5102SIN10T06XM（1）求波长、频率、波速及传播方向；（2）说明X0时波动方程的意义，并作图表示解答（1）与标准波动方程2COSAT比较得2/06，因此波长为1047M；圆频率为10，频率为V/25HZ；波速为U/TV5236MS1且传播方向为X轴正方向（2）当X0时波动方程就成为该处质点的振动方程Y5102SIN10T5102COS10T/2，振动曲线如图52一平面简谐波在媒质中以速度为U02MS1沿X轴正向传播，已知波在线A点（XA005M）的振动方程为03COS42AYTM试求（1）简谐波的波动方程；（2）X005M处质点P处的振动方程解答（1）简谐波的波动方程为AXTU；即0503COS42XYT003COS4T5X/2（2）在X005M处质点P点的振动方程为Y003COS4T/2003COS4T/253已知平面波波源的振动表达式为2061SINYTM求距波源5M处质点的振动方程和该质点与波源的位相差设波速为2MS1解答振动方程为2601SINXYTU5I4T，位相差为5/4RAD54有一沿X轴正向传播的平面波，其波速为U1MS1，波长004M，振幅A003M若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求（1）此平面波的波动方程；（2）与波源相距X001M处质点的振动方程，该点初相是多少解答（1）设原点的振动方程为Y0ACOST，其中A003M由于U/T，所以质点振动的周期为T/U004S，圆频率为2/T50当T0时，Y00，因此COS0；由于质点速度小于零，所以/2原点的振动方程为Y0003COS50T/2，平面波的波动方程为3COS52XTU003COS50TX/2（2）与波源相距X001M处质点的振动方程为Y003COS50T该点初相055一列简谐波沿X轴正向传播，在T10S，T2025S时刻的波形如图所示试求（1）P点的振动表达式；T/SY/CM50010203（2）波动方程；（3）画出O点的振动曲线解答（1）设P点的振动方程为YPACOST，其中A02M在T025S内，波向右传播了X045/3015M，所以波速为UX/T06MS1波长为4X06M，周期为T/U1S，圆频率为2/T2当T0时，YP0，因此COS0；由于波沿X轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以/2P点的振动表达式为YP02COS2T/2（2）P点的位置是XP03M，所以波动方程为COS2YTU1003（3）在X0处的振动方程为Y002COS2T/2，曲线如图所示56如图所示为一列沿X负向传播的平面谐波在TT/4时的波形图，振幅A、波长以及周期T均已知（1）写出该波的波动方程；（2）画出X/2处质点的振动曲线；（3）图中波在线A和B两点的位相差AB为多少解答（1）设此波的波动方程为COSTYAT，当TT/4时的波形方程为2XSIN2XA在X0处Y0，因此得SIN0，解得0或而在X/2处YA，所以0因此波动方程为COS2TXT（2）在X/2处质点的振动方程为COS2COS2TTYAATT，曲线如图所示（3）XA/4处的质点的振动方程为COS2TYAT；XB处的质点的振动方程为T波在线A和B两点的位相差X/MY/M02OT10045T2025P图55T/SY/M02O051XYAOBAU图56TYAOAB3/257已知波的波动方程为YACOS4T2X（SI）（1）写出T42S时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点（2）画出T42S时的波形曲线解答波的波动方程可化为YACOS22TX，与标准方程COS2TXAT比较，可知周期为T05S，波长1M波速为U/T2MS1（1）当T42S时的波形方程为YACOS2X168ACOS2X08令YA，则COS2X081，因此2X082K，K0,1,2,，各波峰的位置为XK04，K0,1,2,当K0时的波峰离原点最近，最近为X04M通过原点时经过的时间为TX/U0X/U02S，即该波峰02S之前通过了原点（2）T0时刻的波形曲线如实线所示经过T4S时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经T02S，波形向右移动XUT04M，因此T42S时的波形曲线如虚线所示注意各波峰的位置也可以由COS2X1681解得，结果为XK84，K0,1,2,，取同一整数K值，波峰的位置不同当K8时的波峰离原点最近，最近为X04M58一简谐波沿X轴正向传播，波长4M，周期T4S，已知X0处的质点的振动曲线如图所示（1）写出时X0处质点的振动方程；（2）写出波的表达式；（3）画出T1S时刻的波形曲线解答波速为U/T1MS1（1）设X0处的质点的振动方程为YACOST，其中A1M，2/T/2当T0时，Y05，因此COS05，/3在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此/3振动方程为YCOST/2/3（2）波的表达式为COSTXAT3T（3）T1S时刻的波形方程为5COS26YX，波形曲线如图所示59在波的传播路程上有A和B两点，都做简谐振动，B点的位相比A点落后/6，XYAOUT0T42S051T/SY/M1O105图58X/MY/M1O105U2/3已知A和B之间的距离为20CM，振动周期为20S求波速U和波长解答设波动方程为COS2TXYAT，那么A和B两点的振动方程分别为COS2XTYT，BB两点之间的位相差为26AX，由于XBXA002M，所以波长为024M波速为U/T012MS1510一平面波在介质中以速度U20MS1沿X轴负方向传播已知在传播路径上的某点A的振动方程为Y3COS4T（1）如以A点为坐标原点，写出波动方程；（2）如以距A点5M处的B点为坐标原点，写出波动方程；（3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程解答（1）以A点为坐标原点，波动方程为COS43COS45XXYTTU（2）以B点为坐标原点，波动方程为ATST（3）以A点为坐标原点，则XB5M、XC13M、XD9M，各点的振动方程为COS43CO4BBXYTTU，S5CC，93CSCDDXYTT注意以B点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程511一弹性波在媒质中传播的速度U1103MS1，振幅A10104M，频率103HZ若该媒质的密度为800KGM3，求（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S4104M2的总能量解答（1）质点的圆频率为2V6283103RADS1，波的平均能量密度为21WA158JM3，平均能流密度为IU158105WM2（2）1分钟内垂直通过面积S4104M2的总能量为EITS379103J512一平面简谐声波在空气中传播，波速U340MS1，频率为500HZ到达人耳时，振幅A1104CM，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强此时声强相当于多少分贝已知空气密度129KGM3解答质点的圆频率为2V3142103RADS1，X5MABCD8M9M图510声波的平均能量密度为21WA637106JM3，平均能流密度为IU216103WM2，标准声强为I011012WM2，此声强的分贝数为01LGIL934DB513设空气中声速为330MS1一列火车以30MS1的速度行驶，机车上汽笛的频率为600HZ一静止的观察者在机车的正前方和机车驶过其身后所听到的频率分别是多少如果观察者以速度10MS1与这列火车相向运动，在上述两个位置，他听到的声音频率分别是多少解答取声速的方向为正，多谱勒频率公式可统一表示为BSU，其中VS表示声源的频率，U表示声速，UB表示观察者的速度，US表示声源的速度，VB表示观察者接收的频率（1）当观察者静止时，UB0，火车驶来时其速度方向与声速方向相同，US30MS1，观察者听到的频率为36BS660HZ火车驶去时其速度方向与声速方向相反，US30MS1，观察者听到的频率为03BS550HZ（2）当观察者与火车靠近时，观察者的速度方向与声速相反，UB10MS1；火车速度方向与声速方向相同，US30MS1，观察者听到的频率为160BS680HZ当观察者与火车远离时，观察者的速度方向与声速相同，UB10MS1；火车速度方向与声速方向相反，US30MS1，观察者听到的频率为30BS533HZ注意这类题目涉及声速、声源的速度和观察者的速度，规定方向之后将公式统一起来，很容易判别速度方向，给计算带来了方便514一声源的频率为1080HZ，相对地面以30MS1速率向右运动在其右方有一反射面相对地面以65MS1的速率向左运动设空气中声速为331MS1求（1）声源在空气中发出的声音的波长；（2）反射回的声音的频率和波长解答（1）声音在声源垂直方向的波长为0UT0U/0331/10800306M；在声源前方的波长为10UST0UT0UST0UUS/033130/108002787M；在声源后方的波长为20UST0UT0UST0UUS/033130/108003343M（2）反射面接收到的频率为1036581BSU1421HZ将反射面作为波源，其频率为1，反射声音的频率为UBUSUUBU11314265BU1768HZ反射声音的波长为1101872M或者3768U01872M注意如果用下式计算波长11502B02330M，结果就是错误的当反射面不动时，作为波源发出的波长为U/102330M，而不是入射的波长1515S1与S2为两相干波源，相距1/4个波长，S1比S2的位相超前/2问S1、S2联机上在S1外侧各点的合成波的振幅如何在S2外侧各点的振幅如何解答如图所示，设S1在其左侧产生的波的波动方程为1COSTXYAT，那么S2在S1左侧产生的波的波动方程为/42TCOSTXAT，由于两波源在任意点X产生振动反相，所以合振幅为零S1在S2右侧产生的波的波动方程为COSTYAT，那么S2在其右侧产生的波的波动方程为/42TXCOSTXAT，由于两波源在任意点X产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍516两相干波源S1与S2相距5M，其振幅相等，频率都是100HZ，位相差为；波在媒质中的传播速度为400MS1，试以S1S2联机为坐标轴X，以S1S2联机中点为原点，求S1S2间因干涉而静止的各点的坐标解答如图所示，设S1在其右侧产生的波的波动方程为1/COSXLYATU524，那么S2在其左侧产生的波的波动方程为/2COSXLYTUCOS24ATX两个振动的相差为X，当2K1时，质点由于两波干涉而静止，静止点为X2K，K为整数，但必须使X的值在L/2到L/2之间，即25到25之间当K1、0和1时，可得静止点的坐标为X2、0和2MXS1XS2/4XXS1XS2OL517设入射波的表达式为1COS2TXYAT，在X0处发生反射，反射点为一自由端，求（1）反射波的表达式；（2）合成驻波的表达式解答（1）由于反射点为自由端，所以没有半波损失，反射波的波动方程为2COSTXYAT（2）合成波为YY1Y2，将三角函数展开得ST，这是驻波的方程518两波在一很长的弦在线传播，设其表达式为160COS280YXT，260COS280YXT，用厘米、克、秒（CM,G,S）制单位，求（1）各波的频率，波长、波速；（2）节点的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大解答（1）两波可表示为60COS250TXY，26COS052TXY，可知它们的周期都为T05S，频率为V1/T2HZ；波长为200CM；波速为U/T400CMS1（2）位相差X/50，当2K1时，可得节点的位置X502K1CM，K0，1，2，（3）当2K时，可得波腹的位置X100KCM，K0，1，