数学论文,数列极限的求法

2016届本科生毕业论文题目数列极限的求法专业数学与应用数学院系数理学院学号1208020108姓名指导教师答辩时间二0一六年五月论文工作时间2015年12月至2016年5月绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）1数列极限的求法学生指导老师摘要从古至今,在世界数学史上,极限都扮演着重要的角色,是数学研究的基础本论文研究数列极限的求法，主要就高等数学的范围内进行研究与分析通过对国内外研究结果的琢磨，旨在通过对数列极限求法方法的整理与归类，加深对数列极限的理解与思考通过查找文献，阅读资料，收集数据，调查分析，最后得出论文，分别从列举数列极限的定义、性质、定积分、极限存在条件、重要公式求极限方法、转化为函数极限方法等入手求数列极限最后整理出数列极限不仅在实际生活中有着应用与帮助，而且对于教学工作也有着许多积极的意义关键词数列；极限；数列极限的性质绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）2METHODSFORSEQUENCELIMITUNDERGRADUATEXUELISUPERVISORLUOSHOUSHUANGABSTRACTINTHEHISTORYOFMATHEMATICS,LIMIT,ASTHEBASISOFMATHEMATICALRESEARCH,HASBEENPLAYINGANIMPORTANTRULESINCEANCIENTTIMETHISPAPERAIMSTORESEARCHTHEMETHODSFORSEQUENCELIMIT,EMPHASIZINGTHESTUDYANDANALYSISOFCATEGORYOFMATHEMATICSIWILLCOMPARETHEABROADANDDOMESTICRESEARCHRESULTSTOFURTHERUNDERSTANDMATHEMATICSBYCLASSIFYINGMETHODSFORSEQUENCELIMITIWILLFOLLOWTHISWAYTOFINDOUTMETHODSFORSEQUENCELIMITTHEFIRSTSTEPISTOGATHERINFORMATION,READMATERIAL,INVESTEGATETHEANALYSIS,ANDGAINTHISPAPER,SECONDSTEPISTOLISTITSDEFINITION,CHARACTER,DEFINITEINTEGRATION,EXISTENCECONDITIONS,IMPORTANTFORMULASFORSEQUENCELIMITANDWAYSTOCONVERTITINTOFUNCTIONALLIMIT,ANDFINALLYIWILLILLUSTRATEITSUSAGEINDAILYLIFEANDITSMEANINGSINTEACHINGPROCEDUREKEYWORDSSEQUENCELIMITCHARACTEROFSEQUENCELIMITMATHEMATICALWAYS绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）3目录绪论41数列极限411数列极限的定义412数列极限的性质42数列极限的求法521利用定义求极限522利用数列性质求极限7221用迫敛性求数列极限7222利用极限的四则运算求极限823利用数列极限存在的条件求极限9231利用单调有界定理求极限9232利用柯西准则求数列极限1124利用定积分求极限1225利用级数求极限1426利用重要的公式或转化为函数极限15261重要极限公式15262转化为函数极限153中学数列极限的教学建议17结论18参考文献20致谢21绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）4绪论“无论是从历史的、发生的还是从系统的角度来看,数的序列都是数学的基石可以说,没有数的序列就没有数学”弗赖登塔尔,1993数列是高中数学的重要内容它是诸多数学思想的学习载体由于数列具有丰富的现实背景,在解决现实问题中有着广泛的应用因此,数列一直是普通高等学校招生考试重点考查的内容之一数列是高中数学的重要内容，并且具有丰富的现实背景,在解决实际问题中有着广泛的应用数列是初等数学与高等数学的重要衔接点,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系,又有自己鲜明的特征所以其有着内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性1本章共分四节，主要就数列极限、数列极限的求法、中学数列极限的教学建议、数列极限在现实生活中的应用进行了研究第一部分为数列极限，第二部分为数列极限的求法，第三部分为中学数列的教学建议，第四部分为数列极限在现实生活中的应用1数列极限极限是高等数学的重要内容，它描述了变量在运动过程中变化趋势，是从有限认识到无限，从近似认识到精确，从量变认识到质变的必备的推理工具数列极限又是极限的基础11数列极限的定义定义1设NA为数列，A为定数若对任给的正数E，总存在正整数N，使得NN时有NAAE，若在UAE之外数列NA中的项至多只有有限个，则称数列NA收敛于极限A12数列极限的性质定理121（唯一性）若数列NA收敛，则它只有一个极限定理122（有界性）若数列NA收敛，则NA为有界数列，即存在正数M，使得绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）5对一切正整数N有NAM定理123（保号性）若LIM0NNAA（或0时有NAA（或NAA时有NNAB，则LIMLIMNNNNAB定理125（迫敛性）设收敛数列NA，NB都以A为极限，数列NC满足存在正数0N，当0NN时有NNNACB，则数列NC收敛，且LIMNNCA定理126（四则运算法则）若NA与NB为收敛数列，则NNAB,NNAB也都是收敛数列，且有LIMLIMLIMNNNNNNNABAB，LIMLIMLIMNNNNNNNABAB特别当NB为常数C时有LIMLIMNNNNACAC，LIMLIMNNNNCACA若在假设0NB及LIM0NNB，则NNAB禳镲镲睚镲镲铪也是收敛数列，且有LIMLIMLIMNNNNNNNAABB13数列极限存在的条件定义3（单调数列）若数列NA的各项满足关系式11NNNNAAAA，则称NA为递增（递减）数列递增数列和递减数列统称为单调数列定理131（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限定理132（柯西收敛准则）数列NA收敛的重要条件是对任给的0E，存在正整数N，使得当,NMN时有NMAAE，求出使NAAE）解观察当N无限趋于无穷大时，NA的变化趋势是接近于常数1令11NA，则0由伯努利不等式可推得111NAAN（1）或11111NNANNA对0，由1式可见，取1ANE轾犏犏臌，当NN时，就有11NAE，因为11NNT2112NNTNT212NNT，所以11NNT211NNN41NNN21N，所以0E“，取241NE，则当NN时，有11N21NE，且1LIM1NNNALA，则LIM0NNA证明1LIM1NNNALA，对任何1,AL，存在正数N,当NN时，有11NNAAA，即NN时，1NNAA又因为0NA对所有N成立，则NN时，NA单调有界根据单调有界定理，1,NNAA鬃的极限存在,所以NA得极限存在可得出数列收敛设LIM,0NNNAAA，由极限的保号性知LIM0NNAA若0A，则11LIMLIM1LIMNNNNNNNAAALAAA，矛盾因此0A，即LIM0NNA例9证明数列222222，收敛，并求其极限绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）10证记222NA，易见数列NA是递增的现用数学归纳法来证明NA有上界显然122A假设2NA，则有12222NNAA，从而对一切N有2NA，即NA有上界由单调有界定理，数列NA有极限，记为A由于212NNAA，对上式两边取极限得22AA，即有120AA，解得1A或2A由数列极限的保不等式性，1A是不可能的，故有LIM2222N2例10证明1LIM1NNN存在证先建立一个不等式设0BA，对任一正整数N有111NNNBANBBA，整理后得不等式11NNABNANB1以111AN，11BN代入（1）式由于11111111NANBNNNN，故有111111NNNN这就证明了11NN为递增数列再以1A，112BN代入（1）式，得1111122NANBNNN，故有21111114222NNNN上式对一切正整数N都成立，即对一切偶数N有114NN联系到该数列的单调性，可知对一切正整数N都有114NN，即数列11NN有上界于是由单调有界定理推知数列绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）1111NN是收敛的小结单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中常用于数列的收敛性，而且数列的单调有界定理与实数完备性也密切相关2232利用柯西准则求数列极限例11利用柯西收敛准则，证明数列NA收敛其中222111123NAN鬃解因为222111123NAN鬃，设NM，则有221111111NMAANMMNNM鬃，取11NE轾犏犏臌，则对一切NMN，有NMAAE或，内可导，且0GX；0LIMXXFXAGX或则00LIMLIMXXXXFXFXAGXGX对于00LIMLIMXXXXFXGX，在满足相应的条件下，结论仍成立说明对于X这种情况,以上法则仍成立10例21求3SINLIM1LN1NNN骣桫骣桫解令1XN，因为N，所以0X则有03SINSIN3LIMLIM1LN1LN1NXXNXN骣桫骣桫0SIN3LIMLN1XXX03COS3LIM11XXX0LIM31COS3XXX3113创因此，3SINLIM31LN1NNN骣桫骣桫11例22求112221LIM1LN1NNENN骣桫骣骣桫桫绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）17解令1XN，因为N，所以0X，则有112221LIM1LN1NNENN骣桫骣骣桫桫122012LIMLN1XXEXX122012LIMLN1XXEXX120212LIM21XXEXXX32202212LIM211XXEXXX3202220LIM12121LIM1XXXEXXX，因此，112221LIM11LN1NNENN12小结洛必达法则是求几种未定式极限的一种重要方法，在使用时需注意（1）次法则仅适用于0“0和“型未定式，其他未定式“0“抓、“、0“0“、0“、“1“都应该先变形转化为0“0或“型，再利用洛必达法则求解（2）只要满足条件可以多次使用洛比达法则，但每次使用前都必须作检验，否则，就不能继续使用（3）此法则的原理是分子和分母分别同时求导，不是对整个分式求导（4）若遇到LIMNFXGX不存在，不能由此断言LIMNFXGX也不存在，只能说洛比达法则失效，此时须用另外方法133中学数列极限的教学建议数列是高中数学的重要内容，由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系,又有自己鲜明的特征,函数思想贯穿于高中数学的始终数列是一种离散函数,它是一种重要的数学模型教学中,将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数联系起来,有助于学生加深对一次函数、指数函数的认识,从而有助于学生从连续和离散两个角度认识函数,提高学生对函数思想的理解水平在高中数学教科书中,并没有以函数的形式呈现数列的概念,对等差数列、等比数列的概念只要求从映射的角度与一次函数、指数函数相比较,作为了解对于通项公式、前N项和公式、单调性、周期性等一般性质则没有作安排因此,教师在教学过程中,只能分散地不成系统地进行相应内容的补充不过,这样的知识空白也给教师留下了自由发挥的空间面绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）18对这样一个现状,教师如何选择教学内容,如何控制知识的广度、深度与难度并没有现成的标准与参照通过对现高中学生的调查，并进行系列研究表明（L）学生更易接受数列常规的表示方法不同性质学校的学生在对概念及表示形式的理解上存在较大差异,高中生在数列的定义、数列与集合的关系、数列的表格表示法、映射表示法等各项指标上的理解均好于师范生总体上看,男女生对数列概念的理解并无显著性差异2学生对有规律的数列通项公式的存在性表示较大程度的认同；对有限数列中非等差、等比数列的通项公式、有限数列通项公式的不确定性、不确定的无限数列等的理解都存在不同程度的困难从整体上看,在数列通项公式的理解上,师范生逊于高中生,男女生并无显著性差异3整体上看,对等比数列求和公式推导过程所隐含的整体消项法的思想理解程度不高在解决问题的能力上,高中生要好于师范生,男女生并无显著性差异4多数学生并没有利用函数性质解决数列单调性问题的意识总体上看,在对基本定义的理解与运用上,高中生好于师范生,但师范生解题的思路较为宽广,灵活性更强男生好于女生,但在函数性质的运用上,男女生并无显著性差异14（1）中学生如何理解数列的通项公式数列的通项公式是数列表示的最常见的方式之一,通项公式也是数列与函数联系的纽带和桥梁在中学数学教学中,数列的通项公式常常以函数解析式的形式出现,并在这种表达方式下进行数列性质的研究而这个状况,常常会使学生忽视数学通项公式的存在性、唯一性,也常常会使学生忽视连续函数与离散函数性质之间的区别因此,研究学生对不同类别数列通项公式的存在性、唯一性的理解是教师在教学工作中应该着重考虑的（2）中学生如何理解数列前N项和数列前N项和是数学教学的重点与难点对于单一型数列等差数列、等比数列而言,其通项公式的运用较为简单本文拟研究等差数列与等比数列复合的综合型数列,从而获得学生对数列前N项和公式的理解程度（3）中学生如何理解数列的单调性数列作为特殊的函数,具有函数的一般性质但由于数列是离散函数,又具有与一般连续函数性质不同的特性因此,以单调性为例,研究学生对数列单调性的理解,区分利用定义与图像、导数不同方法解决单调性问题的有效性,追踪学生发生错误的原因,从而发现学生在知识迁移过程中存在的误区,增强学生数学学习的思辨能力,改进教育教学15结论极限是高等数学中的重要组成部分，它是探究高等数学中其他问题的重要工具研究极限问题的核心是极限的求法因此，掌握极限的求法显得尤其的重要绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）19在数列教学中,整体与局部思想、类比思想贯穿其中等差数列与等比数列性质的类比,数列通项公式、前N项和公式、单调性与函数相应性质的类比,两个不同数列的四则运算与函数的四则运算数列的类比，数列的复合与函数的复合的类比,数列内部各项之间的局部关系与数列整体关系都是教学的重点与难点以上总结的几种数列极限的求法但是在做题时，应该注意多种方法的综合应用对于不同的题目可以有多种方法的求解，在解题时应注意题目的特点，根据其特点，选择适当的方法通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样，给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值所以，国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断，同时仍存在很多内容等待我们去探讨，去解决，去突破绵阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）20参考文献1万为国一类单调数列极限的求法商丘职业技术学院学报N2013（12）122华东师范大学数学系数学分析第三版北京高等教育出版社M200123413王金香刘启才关于极限求法之探究宜春学院学报J2011,3313164葛喜芳数列极限的几种计算方法北京工业职业技术学院学报J2013,1263655李啸芳刘家保左学武一类数列极限的几种常用方法佛山科学技术学院学报N2015,14186李海英赵建英数列极限在实际中的应用研究与开发J,2013,0924257陈凌两类数列极限的求法科技创新导报J