《电磁学》梁灿斌习题答案大全集

第一章静电场的基本规律11判断下列说法是否正确，说明理由。（1）一点的场强方向就是该点的试探点电荷所受电场力的方向。（2）场强的方向可由EF/Q确定，其中Q可正可负。（3）在以点电荷为心的球面上，由该点电荷产生的场强处处相等。答案（1）,正的试探电荷；（2）；（3）在无外场是，球面上ENULLNULL大小相等。12半球面上均匀分布着正电荷，如何利用对称性判断球心的场强方向答案利用对称性分析，垂直轴的分量相互抵消。13下列说法是否正确为什么（1）闭曲面上各点场强为零时，面内总电荷必为零。（2）闭曲面内总电荷为零时，面上各点场强必为零。（3）闭曲面的E通量为零时，面上各点场强必为零。（4）闭曲面上的E通量仅是由面内电荷提供的。（5）闭曲面上各点的场强仅是由面内电荷提供的。（6）应用高斯定理的条件但是电荷分布具有对称性。（7）用高斯定理求得的场强仅是由高斯面内的电荷激发的。答案（1）没有净电荷；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。14“均匀带电球面激发的场强等于面上所有电荷集中在球心时激发的场强”，这个说法是否正确答案无外场时，对球外而言是正确的。15附图中A和B为两个均匀点电体，S为与A同心的球面，试问（1）S面的通量与B的位置及电荷是否有关（2）S面上某点的电场强度与B的位置及电荷是否有关（3）可否用高斯定理求出S面上一点的场强为什么答案（1）无关（2）有关（3）不能（导体球）、可以（介质球）。场强叠加原理应用到有导体的问题时，要注意，带电导体单独存在时，有一种电荷分布，它们会产生一种电场；N个带电导体放在一起时，由于静电感应，导体上的电荷分布发生变化，这时，应用叠加原理应将各个导体发生变化的电荷分布“冻结”起来，然后以“冻结”的电荷分布单独存在时产生的电场进行叠加。16半径R的军于点电球内挖去半径为R的小球，对附图（A）与（B）的两种挖法，能否用高斯定理和叠加原理求各点的场强答案（A图）能，叠加法（补偿法）；（B图）不能17附图中的S1、S2、S3及S4都是以闭曲线L为边线的曲面（曲面法线方向如图所示）。一直S1的E通量为1，求曲面S2、S3、和S4的E通量2、3及4。答案始终在内的点E0不变，始终在外的点204QER不变，被气球表面掠过的点，E发生跃变，由2004QER。18附图中S1、S2是四个闭曲面，以E1、E2、E3分别代表由Q1、Q2、Q3激发的静电场强，试判断下列各等式的对错（1）1110SQEDSNULLNULLNULLNULLNULL（2）2330SQEDSNULLNULLNULLNULLNULL（3）12320SQEEDSNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL（4）112120SQQEEDSNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL（5）2321230SQQEEEDSNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL（6）11321230SQQQEEEDSNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL答案（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；19分别画出等值同号与等值异号的两无限大均匀带电平面的电场线图。答案110电场线是不是电电荷在电场中的运动轨迹（设此点电荷除电场外不受其他力）答案一般不是。FQENULLNULLNULLNULL；FMANULLNULLNULL；VATNULLNULLNULLNULL；只有在匀强电场中，静止点电荷运动的轨迹才的电力线。111下列说法是否正确如不正确，请举一反例加以论述。（1）场强点点相等的区域中电势也点点相等。（2）如果两点电势相等，则她们的场强也相等。（3）设A点场强（大小）大于B点场强，则A点电势必高于B点电势。（4）场强为零处电势一定为零。（5）电势为零处场强一定为零。答案（1）不正确。UENNNULLNULLNULL例如匀强电场。（2）不正确。（3）不正确。E大，电势的变化率就大，并非一定U大（4）不正确。E0，UN0，并不是U一定为0，在等量同号点电荷的连线中点处。（5）不正确。U0，并不是UN一定为0，例在等量异号点电荷连线中点处。112两个半径分别为R1及R22R1的同心均匀带电球面，内球所带电荷Q10。当外球所带电荷Q2满足什么条件时内球电势为正满足什么条件时内球电势为零满足什么条件时内球电势为负（参考点选在无远。）答案1210101442QQURR或者21121121121122220044RRRRQQQUEDREDRDRDRRR要使10U，则2102QQ，即212QQ要使10U，则2102QQ，即212QQ要使10UL时所得结果与点电荷场强公式一致。解（1）22014NDXDEXR方向如图由对称性分析可知，力的分量相互抵消。22222001SIN24LNDXREDEXRXR232220024LNRDXXR20244NLLRR（2）当L时20024214NLNERRRLL（3）当RLNULL时2220002244414NLNLQERRLRR138把电荷线密度为的无限长均匀带电线分别弯成附图（A）、（B）两在种形状，若圆弧半径为R，求两图中O点的场强E。解根据带电直线公式210SINSIN4XE120COSCOS4YE当在A中0102204XER04YER当在B中12204XER04YER可以不计算，对称分析可知以上两种相互抵消。（1）204RDDER方向如图（A）2220000SINSINCOS44XXREDEDEDRR2220000SINCOSSIN44YYREDEDEDRR0024ER方向与二直线夹角均为045。（2）如图（B），由对称分析，AE与BE合成后只有X分量，对二直线022XEER方向X的负方向对半圆2000SIN42XREEDRR方向X的正方向。经叠加得00E139无限长带电圆柱面的电荷面密度由下式决定0COS（见附图）求圆柱面轴线上的场强。解设取一无限长狭条单元体根据02ER01COSRD00COS2RDDER方向如右图所示22200000COSSIN222242XXREDEDR方向X轴负方向21120000COSSINCOS0221YYREDED141附图中的立方体边长为A10CM，场强分量为12XEBX，0YZEE，其中12B800N/CM，求（1）立方体表面的E通量。（2）立方体内总电荷。解（1）因为只有XE分量，所以立方体只有1S、2S面有分量。51222111EXSBAABANULL5122222222EXSBAABANULL所以52BA总（21）由0SQEDSNULLNULLNULL内总得到5200QA总内（21）142均匀电场E与半径为R的半球面的对称轴平行（如附图），试计算此半球面的E通量（约定半球面的法矢向右），若以半球面的边线为边线另做一任意形状的曲面（法矢仍向右），此面的E通量为多少（提示两问都用高斯定理）解半球面的任意曲面，其电通量与圆平面的电通量相等。2ESER或21ESER1S与2S成闭合曲面21002211ER同理3S与1S成闭合曲面，31002311ER143用高斯定理求电荷线密度为的曲线长均匀带电直线在空间任一点激发的场强，并与137题（2）问的结果比较。解过P点作圆柱面为高斯面，0SSSSQEDSEDSEDSEDSNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLIIIINULL上下侧0002HERHI02ER144求半径为R、电荷面密度为的曲线长均匀带电圆柱面内外的场强，并大致画出ER曲线。解设圆柱半径为R，空间电场分布具有轴对称，当RR0SQEDSNULLNULLNULLNULL内02SSSREDSEDSEDSNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL上下侧0002HERH002HRRERHR145电荷以体密度均匀分布在厚度为D的曲线大平板内，求板内外的场强E解电场分布以中垂面的面对称分布，取圆柱面为S当2DR时0SDESESNULLINULLNULL02DE146电荷以体密度01RR分布在半径为R的球内，其中0为常量，R为球内某点与球心的距离。求（1）球内外的场强（以R代表从球到场点的矢量）。（2）R为多大时场强最大该点场强EMAX解0QEDSNULLNULLNULLINULL内当RR时204QERI内204QER内201SINRQDRDRDR内22000SIN1AORDDDRR3202AAOORRDRDRRII340434AAR333002244341212RRRERR令0DEDR内即20034RRR02034RR23RR20MAX02323334RRER（）00MAX0023349RRRER2（1）147两平行的曲线大平面均匀带电，电荷面密度分别为1和2，求（1）空间三个区的场强。（2）写出各区场强在下列两种情况下的表达式（A）12，（B）12解无限大均匀带电平面场强分布02ENNULLNULLNULL取正向为正。根据IEENULLNULLNULLNULLNULL得00022E左00022E中间00022E左148在球心为O、半径为A、电荷体密度为的均匀带电球体内偏心挖去一个半径为B的小球（球心为O），如图所示。（1）试证空心小球内存在均匀电场并写出场强表达式（以C代表从O到O的矢量）。（2）求O、O连线延长线上M点和P点的场强EM和EP。（以EC代表沿C向的单位矢量，RM、RP分别代表M、P与O的距离）答案当挖去一个半径为R的小球，解将挖去的小球O用电荷体密度为的球补起来，先求均匀带电体O产生的场强，再求填补带电球O产生的场强，两者相减即为所求的电场。根据均匀带电球体的场分布03ER内，204QER外000E，122211222111ELRRELELELRR0003PPRERNULLNULL，30200434MMRERRNULLNULL，000E，000003RERNULLNULL，30200434PPRERRNULLNULL，30200434MMRERRNULLNULL再根据IIEENULLNULLNULLNULLNULL得00000003REEERNULLNULLNULLNULLNULLNULL00000003REEERNULLNULLNULLNULLNULLNULL300203PPPOPOPREEERRRNULLNULLNULLNULLNULLNULL33002203MMMOMOMRREEERRRNULLNULLNULLNULLNULLNULL149半径为R的曲线长援助体内均匀带电，电荷密度为，求柱内外的场强并大致画出ER曲线。解轴对称分布，取S为同轴圆柱面当RR，0QEDSNULLNULLNULLNULLINULL内20002RHERH202RER1410半径分别为R1和R2（R2R1）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为1和2。求（1）各区域内场强。（2）若12，情况如何大致画出ER曲线。解由轴对称，取S为同轴圆柱面（设高为H，半径为R）当1RR120002HERH（），得1202ER若12则1RR，0E151设静电场中存在这样一个区域（附图虚线所围半扇形部分，扇形响应的圆心为O），域内的静电场线是以O点为心的同心圆弧（如图），试证区域内每点的场强都反比与该点与O的距离。证明取闭合回路L，由0LEDLNULLNULLNULLNULL得0012COS90COSCOS900LLEDLEDLEDLEDLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL1122000ELEL得到1122ELEL12222111ELRRELRR，所以1ER152试证在无电荷的空间中，凡是电场线都是平行连续（不间断）直线的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示利用高斯定理和环路定理，分别证明连线满足以下条件的两点有相等场强（1）与场线平行；（2）与场线垂直）证明由0SQEDSNULLNULLNULLNULLINULL内得00ABSSSEDSEDSEDSNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLIIINULLNULLNULL侧0ABESESNULLNULL可得到ABEE同一电力线上的E相等。由0LEDLNULLNULLNULLINULL得00COS90COSCOS900ABLALBEDLEDLEDLEDLNULL0ABELEL，ABEE，不同电力线上E相等。（或过C点作平面CAAB，CA为等位面，ACUU，ACACUUEEZZ，故ACEE）电力线平行的电场中各点E都相等。161设有一个8Q1510C的点电荷。求（1）求电势为30V的等势面的半径；（2）电势差为1V的任意两个等势面的半径之差是否相同解点电荷的电位为04QUR（1）则890115109104543QRU（米）（2）不相同，R大等位面越稀疏。162两个电荷分别为Q和3Q的点带电体距离为D（见附图），求（1）两者连线上V0的点；（2）两者连线上E0的点。解（1）令距Q为R处0U，则003044QQRDR，解得4DR（2）0E处只可能在Q左侧，设距Q为R处0E，220044QQRDR，解出312DR163附图中A与O、O与B、B与D的距离皆为L，A点有正电荷Q，B点有负电荷Q，求（1）把单位正点电荷从O点沿半圆OCD移到D点，电场力做了多少功（2）半单位负点电荷从D点沿AD的延长线移到无穷远，电场力做了多少功解静电场中电场力作功与路径无关，只与始末位置有关。（1）0OCDODOCDAAQUU弧而000044QQULL，0004246DQQQULLLL0016OCDDQAUUL（2）同理可得0001066DCODCOQQAQUULL164电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，选电势参考点在无限远，试证离球心R处（R24OQER，204QER当RR时1230214ER（其中当12时，30E）取0U时12121123RRRRRUEDREDREDR212001200LN42RRRDRRR2222223002LN42RRRRRRUEDREDRDRRR300RUDR当取00U时0110RUEDR1110122002LN42RRRRRRUEDREDRDRRR212103321RRRRRUEDREDREDR121002200LN42RRRDRRR所以两筒间的电位差为0U时2112122001LN22RRRRRUUEDRDRRRNULL00U时2112122001LN22RRRRRUEDRDRRR168半径为R无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，把电势参考点选在轴线上，求柱体内外的电势。解由0QEDSNULLNULLNULLNULLINULL，可以求出ENULLNULL的分布02ER内，2202RER外取00U时020024RRUDR内2000022RRRRRRRRUEDREDRDRDRR外外内2200LN24RRRR211在均匀电场中置入一个半径为R的中性金属球，球表面的感生电荷面密度为0COS（角的含义见附图），求带有同号电荷的半个球面所受的静电力。解取一点元DQ，对其进行受力分析有由对称性可知，带有同号电荷的球面受力沿X轴，右半球受力20COS2FDFDS23200COSSIN2FRD222230000COSSIN2RDD222231000COS314R方向X轴的正方向213三块带正电的金属板A、B、C构成平行板导体组（见附图），以S代表各板面积，X及D分别代表A、B之间B、C之间的距离，设D小到各板可视为无限大平板，令B、C板接地，A板电荷为Q，略A板的厚度，求（1）B、C板上的感应电荷；（2）空间的场强及电势分布。解23SSQ，ABACUU3200XDX由上面三式可以解出2QXSD，3QDXSD22QXQSD，32QDXQSD2BQXQQD，3CQDXQQD0IE，0IXE，20IIE，30IIIE，0IIUE，IIIIUEXR，IIIIIIUEDXR（其中R是场点到A板的距离）215半径为R的金属求经电压为U的电池接地（如图），球外有一与球心距离为2R的电荷Q，求球面上的感应电荷。解因为金属球接地，则0U，导体是等位体。00U，按照IUU可得到0000004242424SQDQQDSURRRRNULL000442QQRR2QQ216接地的无限大导体平板前垂直放置一条无限长均匀带电直线，线的端点与平板距离为D（见附图），若带电线电荷线密度为，求（1）垂足O点的电荷面密度；（2）平面上距O为R的点P的感生电荷面密度。解（1）在板内O点极近处取O点，直线在O点方向X的负方向14OOEIDNULLNULLNULLNULLNULL板上取包括O点的面元SNULL，其上的电荷0SNULL在O点02OOE方向X的负方向。板上除了SNULL外的其它全部感应电荷在O点。0OE，因O极近点，板上其余电荷在O点产生的电场只能沿板面的切线方向。O点的场强将由以上三个部分组成00024OED（O在板内）所以2OD（2）直线在P点的法向分量，22220COS4PNDDXXEDEXRXR3222220014234PNDXREDR方向X的负方向同上（1）类似得到22001024PPEDR222DR221点电荷Q放在中性导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2（见附图），求场强和电势的分布，并大致画出ER和VR曲线。解电荷分布如图，空间电场分布有球对称性，由高斯定理0QEDSNULLNULLNULLNULLINULL和204QER可得当1RR时3204QQQER304RQUEDRR见图（B）222球形金属腔所带电荷为Q0，内半径为A，腔呢距离球心O为R处有一点电荷Q（见附图），求O点的电势。解设球内壁的电荷为Q（不均匀分布），外壁的电荷为QQ（均匀分布），0000444QDSQQURABNULL000444QQQQRAB223半径RA的金属球A外罩一同心金属球壳B，起壳极薄，内外半径均可看作RB（见附图），已知A、B的电荷分别为QA和QB，求（1）A的表面S1及B的内外表面S2、S3的电荷Q1、Q2、Q3；（2）A和B的电势VA和VB；（3）将球壳B接地，再回答（1）（2）两问；（4）在（2）问之后将球A接地，再回答1、2两问；（5）在（2）问只后在B外再罩一个很拨的同心金属球壳C（半径为RC），再回答1、2两问，并求C的电势VC。解（1）设1SAQQ均匀分布，2SAQQ均匀分布，3SABQQQ均匀分布，由高斯定理0QEDSNULLNULLNULLNULLINULL和204QER可得当ABRRR时204AAABQQQQER220044ABABAABARRRRQQQUEDREDRDRDRRRNULLNULLNULLNULLNULLNULL0000044444AAABABABBABQQQQQQRRRRR20044BAABBRBQQQUDRRR或根据均匀分布带电球面电势分布球面内04QUR，球外04QUR，由叠加定理可得0000044444AABAABAABBABQQQQQQURRRRR00004444AABABABBBBBQQQQQQURRRR（3）各表面电荷分布如图0000044444AAABABABAABBCCQQQQQQQQURRRRR0044ABABQQRR0000044444AAABABABBBBBCCQQQQQQQQURRRRR04ABBQQR0000044444AAABABABCCCCCCQQQQQQQQURRRRR04ABCQQR（4）当10SQ，20SQ，3SABQQQ，4SABQQQ，5SABQQQ时04ABABBQQUUR，04ABCCQQUR（5）当1SAQQ，2SAQQ，30SQ时0044AAAABQQURR，0BU（6）设1SAQQ，则2SAQQ，3SAAQQQ000444AAABAABBQQQQURRR，当接地时，则0AU解之得AABBRQQR00004444AAABABBBBBBQQQQQQURRRR224有两个极薄的同心金属求壳额，半径分别为A和B，内球壳电荷为Q1，求（1）外球壳电荷Q2为多大时内球壳电势为零；（2）当满足上问条件时，求空间任一点的电势。解（1）设外球壳带电2Q时，内球壳电位为0，则1SAQQ，1SBQQ内，12SBQQQ外11121200000044444QQQQQQUABBAB内解之得21BQQA（2）当ARB时11121200004444QQQQQQURRRRR225同轴传输线由两个很长球彼此绝缘的同轴金属直圆柱构成（见附图），设内圆柱体的电势为V1，半径为A，外圆柱体的电势为V2，内半径为B，求其间离轴为R处（A，2UU，所以内球带电不可能为0，而且是带负电，设内球带Q，于是外球内壁Q，外壁为（QQ），由高斯定理0QEDSNULLNULLNULLNULLINULL得当12RRR时204QER外22200011144222RRWEDDVERDRERDRNULLNULLNULLNULL2外内2420320004244RRQRQRDDRRR20320QR321偶极矩为P的偶极子处在外电场E中，（1）若E是均匀的，当P与E的夹角03005/251504310RCCML，1W为何值时偶极子达到平衡此平衡是稳定平衡还是不稳定平衡（2）若E是不均匀的，偶极子能否达到平衡答案（1）因为电偶极子在均匀外电场中0F合，SINMPE所以当0、时，0M，平衡；0时是稳定平衡，时是非稳定平衡。（2）如果ENULLNULL不均匀，不能达到平衡。322两个偶极子相距为R，偶极矩P1和P2的方向与它们的连线平行，试证（1）它们之间的相互作用力（大小）为122032PPFR（2）相互作用力的方向满足P1和P2同向时相互吸引，反向时互相排斥。注“偶极子”一词已暗示组成偶极子的两个点电荷之间的距离远小于偶极子到场点的距离。解1P对A处1320242PELR2P对B处1320242PELR所以受到的力21FQEQE21213322002244QPQPLLRR21333220211411QPLLRRR将上式方括号内按马克劳林级数展开取前两项220FLFFOL22233442222011112203113131LLRRLLLLLRRRRR21221340023342QPLPPFRRR负号表示2P受力方向与X轴正方向相反，指向1P（1PNULLNULLNULL与2PNULLNULLNULL同向时，相互吸引；反方向时，相互排斥）。323电荷分别为Q和Q、相距为L两个点电荷组成的偶极子位于均匀外电场E中。已知61010QC，20LCM，51010/ENC（1）求外电场作用于偶极子上的最大力矩；（2）把偶极距从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向，求在此过程中外电场5力所做的功。解（1）TPENULLNULLNULLNULLNULLNULL，SINTPE当2时，取最大，65310102010210TPENM（2）22300SINCOS210ATDPEDPENM324偶极距为P的偶极子处在外电场E中，（1）求偶极子的电势能即偶极子（作为系统1）与激发外场的电荷（作为系统2）之间的互能，约定偶极子在无限远时的电势能为零，（2）P与E的夹角为何值时偶极子的电势能最小其值是多少（3）P与E的夹角为何值时偶极子的电势能最大其值是多少解（1）PWQU，PWQU，WWWCOSCOSPPPWQEDLQEDLQEDLQLENULLNULLNULLNULLNULLNULLWPENULLNULLNULLNULL（2）当0时MINWPE（3）当时MAXWPE341半径为R、厚度为H（H击穿359长直导线和它同轴的金属圆筒构成圆柱电容器，期间充满相对介电常量为R的均匀电介质（如图），设导线半径为R1，圆筒内径为R2，沿导线单位长度上的自由电荷0，略去边缘效应，求（1）电介质中的电场强度E、电位移D和极化强度P；（2）两极的电势差U；（3）电介质表面的极化电荷面密度。解（1）电场具有轴对称分布DDSQNULLNULLNULLNULL0SSSDDSDDSDDSLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL上下侧0002DRLL，02DR，002RER2211002121LN22RRRRRRRUEDRDRRR1102000111LN2RRRRER（3）10100112RRR10200212RRR加（4）00022120112LNLN2RRLQLCRRURR3510两共轴导体圆筒，内筒外半径为R1，外筒内半径为R2（R2即21MMEE，因两层介质击穿强度都是ME，故电压上升时，外层先达到2MMEE击穿，而22121LN2RMMRRUER361附图表示由两层均匀电介质充满的圆柱形电容器的截面，两电介质的介电常量分别为12、。（1）求此电容器单位长度的电容；（2）D及E在电介质的交界面处是否连续解（1）在介质介面处DNULLNULL连续而ENULLNULL不连续。（2）由DDSQNULLNULLNULLNULL可得2DR，02RER2312123212000102LNLN222RRRRRRRRUDRDR1221032122LNLNRRRRCRRURR362分界面左右两侧电介质的相对介电常量分别为1R3和2R6，设分界面左侧场强大小为E1，与法线成450角且指向右侧，求分界面右侧的场强E2。解1122NEE，因为1221NNEE，121211222RNNREEE1222222221122769RNTRVEEEEEM21121221272322RRNRREETTGEE0066806648363相对介电常量为R的均匀电介质与真空的交界面为一平面（见附图），已知真空中均匀场强E1与界面法线夹角为，计算（1）以界面上一点为球心、R为半径的球面上场强E的通量；（2）D沿附图中的窄矩形的环流。解因为23EEE23200COSDDER2220COSDEER33200COSDERRER2220001COSCOSCOSRERREERRER01112CCLLLLLDDLDDLDDLDDLDDLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL0012000SINSINCRCRLLEDLEDLELEL364附图中的曲线代表真空与电介质（相对介电常量为R）的交界面，A、B、C是板近的三点，其中B点在交界面上，A、C点分别位于电介质和真空内，已知C点的场强为EC，其方向与界面法线夹角为，求（1）A点的场强EA；（2）B点的极化电荷面密度B。解（1）由右图可知00COSNOEE，法向不连续由1NORNEE得到00COSNONRREEE所以000SINEEE切向不连续22222000COSSINNRREEEE0RNETGTGE（2）000011COSRNRNRPNPEENULLNULLNULL371用一块R5的玻璃板充满平板电容器两极板间的空间，在下面两种情形下将玻璃板移去，求电容器的新能量W与原能量W之比值（1）电容器一直与直流电源相接；（2）用支流电源给电容器充电后，先断开电源再抽出玻璃板。解（1）U不变由2201122WCUCU00SCD0RSCD得到2501132102RSWUJD减少（2）断开电源后Q不变222400111111610222RQQQDWJCCS372将半径为R，电荷为Q0的导体球置于介电常量为的均匀无限大电介质中，求电介质内任一点的能量密度。解由DDSQNULLNULLNULLNULL自可求出024QDR0204RQER22002401232RRQWER习题411很定电流场JJI（其中J为常数，I为沿X轴正向的单位矢量）中有一半径为R的球面（见附图）。（1）用球坐标表示出球面的任一面元的J通量DI；（2）用积分的方法求出由X0确定的半球面的J通量I；解（1）COSDIJDSJIRDSJDSNULLNULLNULL而方向余弦COSSINCOSCOSXRRRRR2SINCOSDSR22SINCOSDIJRDD（2）因被YOZ平面所截，22004COSSINIDIJRDD222200114SINSIN224JRJR通过前面半球的JNULL线数与通过过O圆平面的JNULL线数相等。421如图所示的电路中，求（1）开关S打开时A、B间的总电阻；（2）开关S闭合时A、B间的总电阻。解（1）当K断开时，电路图如下（1），由图可得知225ABR（2）当K闭合时，电路图如下（2），由图可得知208ABR422求附图所示各电路图中A、B间的总电阻。解等效电路图（A）（G）如下（A）1ABRK，（B）45ABR（C）12ABR（D）74ABR（E）5ABR（F）15ABR（G）14ABR423当附图中的R1为何值时A、B间的总电阻恰等于R0解由11010110RRRRRRR总解得013RR431用电阻率为的金属制成一根长度为L、内外半径分别为R1和R2的导体管，求下列三种情况通过管子的电阻（1）电流沿长度方向流过；（2）电流沿径向流过；（3）把管子切去一半（如附图），电流沿图示方向流过。解（1）电流沿长度方向流过，则各截面面积相等，有2221LRRR（2）电流沿径向方向流过，各截面面积不相等，有2121LN22RRRDRRDRRLLR（3）把管子切去一半，电流沿图示方向流过，考虑离轴线为R，厚度为DR的薄半圆片，则其电阻为RDRLDR又因为各电阻不一样，各电阻上的电流分布也不一样，各段电阻相当于并联，则有212111LNRRRLDRLRDRRR，即有211LNRRLR432用电阻率为（常量）的金属制成一根长度为L、底面半径分别为A和B的锥台形导体（见附图），（1）求它的电阻；（2）试证明当AB时，答案简化为L/S（其中S为柱体的横截面积）解假定I沿轴线流过任意横截面的JNULL是均匀的，建立坐标如图所示则有2DXDRR积分得2DXRDRR其中X，R为变量，若将统一为X的变量，X的变化范围为00XXL由0AXTG，0BXLTG解出0LAXBA，BATGL又XBARXTGL2222XBASRL002222222XLXDXLDXLDXRRXBABAX220011LLBAXXLAB若将变量统一为R，则R的变化范围为0BA，或由AB由BADRTGLDX得LDRDXBA222BADXLDRLDRRRRBABAR11LLBAABAB当AB时2LLRAS433球形电容器内外半径为A和B，两极板间充满电阻率为的均匀物质，试计算该电容器的漏电电阻。解对漏电电阻，其内部电极电位差，电流沿径向从高电位向低电位流过，则有24DXDRR积分得211444BADXBARDRRABAB434直径为2MM的导线由电阻率为831410M的材料制成，当20A的电流均匀地流过该导体时，求导体内部的场强。解根据JENULLNULLNULL，得823231410200231410JIVEMR435铜的电阻温度系数为30/4310C，在00C时的电阻率为81610M，求直径为5MM、长为160KM的铜制电话线在025C时的电阻。解3830232160101161014310251443142510LRTR436将同样粗细的碳棒和铁棒串联起来，适当地选取两棒的长度能使两棒的总电阻不随温度而变，求这时两棒的长度比。解当两者串联起来时，其总阻值为0011CFCFCCFFLLRRRTTSS总（）其总阻值不随温度变化而变化，即0DRDT总将（）式对温度T求导并另其等于0，即000CFCCFFLLSS得到0087135040FFCFCCLL437某仪器中要一个“200,2W”的电阻，手头有标明“50，1W”的电阻及“150，1W”的电阻各一个，是否可以代用解标有“220,2W”的电阻21URWV额，001WIAR额标有“50,1W”的电阻707URWV，014WIAR标有“150,1W”的电阻1225URWV，008WIAR将“50,1W”与“150,1W”的电阻串联起来，可得7071225193321VR3时002UIBIIR542附图中一个矩形截面的螺绕环，其总匝数为N，每匝电流为I，求（1）以R代表环内一点与环心的距离，用磁场（大小）B来表示R的函数表达式；（2）证明螺绕环横截面的磁通量满足012LN2UNIHDD解根据对称性知，在环内与环外共轴的圆周上B大小处处相等，方向沿圆周切线，0ILBDLUIJGGV即02BRUNI02UNIBRDBDSBDSJGJG12220012LN22DDUNIHUNIHDDDRD543无限长直导线有均匀分布的10A电流,在导线内部作一无限长的平面N如图所示,求N内每米长的面积的磁通量解以轴为心作以R半径的圆，穿过此原面的电流I，它与半径为R的导线流过的电流I10A的关系为2002202002022224RIRBRIBRRRIDBLDRRLDRRILILRDRR544电流以密度J沿Z的方向均匀流过厚度为2D的无限大导体平面见附图,求空间各点的磁场B解22RIIR545在半径为A的无限长金属圆柱内挖去一个半径为B的无限长圆柱体见附图,两柱轴线平行,轴间距离为C,在此空心导体上通以沿截面均匀分布的电流I,试证空心部分有均匀磁场,并写出B的表达式解P点为挖空圆柱中的一点。设空心金属导体中均匀电流沿Z轴方向，此电流分布可以看着实心圆柱中沿Z轴方向流有电流密度J电流与在空心导体柱所在处流有一J电流的叠加。551附图中的水平直线段MN长为01M,位于M点的电子以初速度进入均匀磁场B中,V0的方向竖直向上,大小为V010107M/S,试问1B的大小和方向如何才能使电子沿图中半圆周从M运动到N2电子从M运动到N需要多长的时间552带电粒子在过饱和蒸汽中运动时,其路径上的蒸汽凝结成小水滴,由此便可观察粒子的运动轨迹,这就是云室的原理,今在云室中有B1T的均匀磁场,观测到一个质子的径迹是半径为R20CM的圆弧,求它的动能质子的质量为1671027KG。553质量为05G、电荷为25108C的质点以6104M/S的水平初速度入射地球表面的一个均匀磁场B中，要使它维持在水平方向运动，B值最小应为多少B的方向又应如何554动能为20103EV的正电子射入B01T的均匀磁场中，其初速度与B成89角，求该正电子所作螺旋县运动的周期T、螺距H和半径R。555一回旋加速器的D形电极的半径为R60CM，要把一个质子从静止加速到40106EV的能量。求（1）所需要的磁感应强度B；（2）设两D形电极间距为10CM（其间的电场可看作均匀），电压为20104V，求加速到上述能量所需要的时间。556霍耳效应实验（如图所示）中的载流导体的长、宽、厚分别为4CM、1CM、103CM，沿长度方向载有3A的电流，磁场B15T，产生的横向霍耳电压为105V。试由这些数据求（1）载流子的漂移（定向运动）的速度；（2）单位体积的载流子数。557附图是霍耳效应实验（图531）中的载流铜片的横截面图（代表电流方向）。已知L002CM，D01CM，I50A，B2T，单位体积内的电子数N111029CM3，求（1）铜片中电子的漂移速度；（2）磁场作用在一个电子上的洛伦兹力的大小方向；（3）霍耳电场（大小和方向）；（4）霍耳电压。561两根相距为A的无限长平行直导线载有强度为I1和I2同向电流，（1）求导线1上长为L的一段受到的来自导线2的安培力F。此力是吸力还是斥力（2）设A15CM，I1I2200A，求F的大小。562附图中的直导线AC与任意弯曲导线ADC都躺在纸面内，号代表与纸面垂直的均匀磁场，若导线AC与ADC载有相同的恒定电流，试证它们所受磁场力相等。563边长为05M的正方体放在06T的均匀磁场中，磁场方向平行与正方体的一边（附图的X轴）。折线习题621在无限长密绕螺线管内放一圆形小线圈，圆平面与螺线管轴线垂直。小线圈有100匝，半径为1CM，螺线管单位长度的匝数为200CM1设螺线管的电流在005S内以匀变化率从15A变为15A，（1）求小线圈的感应的电动势；（2）在螺线管电流从正直经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向是否改变为什么解答（1）螺线管单位长度的匝数N200CM1,小线圈半径R210M,匝数100N，若选择电动势的正方向与电流的正方向相同，螺线管内小线圈的感应电动势大小为1074220VNRNNNDTDIDTSDBDTD0表明电动势的方向与设定的方向相同。2螺线管电流从正值经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向都不变，因为电流以及磁通量都以相同的变化率作变化。622边长分别为A02M和B01M的两个正方形按附图所示的方式结成一个回路，单位的电阻为510210M回路置于按SINMBBT规律变化的均匀磁场中，210MBT，1001S。磁场B与回路所在平面垂直。求回路中感应电流的最大值。解答在任一瞬时，两个正方形电路中的电动势的方向相反，故电路的总电动势的绝对值为2222COSCOSDDDBMMDTDTDTABABBTT大小因回路单位长度的电阻2510M，故回路电阻为24610RAB回路中感应电流的最大值为05MMRIA623半径分别为R和R的两个圆形线圈同轴放置，相距为X（见附图）。已知RXNULL因而大线圈在校线圈内产生的磁场可视为均匀及RXNULL设X以匀速DXDTV随时间T而变（1）把小线圈的磁通表为X的函数（2）把小线圈的感应电动势（绝对值）表为X的函数（3）若0V,确定小线圈内感应电流的方向解答（1）满足条件RXNULL下,载流大线圈在面积S为的小线圈的磁通量为20322IRXBSR（2）小线圈的磁感应电动势（绝对值）为222200434223IRRIRRDDXDTDTXXV（3）若时,小线圈内感应电流与大线圈的电流的方向相同624在无限长密绕螺线管外套一个合金圆环，圆心在轴线上，圆平面与轴线垂直（见附图）管内系统随时间以常变化率2增大，电流表经开关接到环上的P、Q（两点连线过环心）1求开关断开时下列情况的PQU（A）两个半圆的电阻都为R，（B）左半环电阻为R，右半环电阻为2R；（2）设电流表所在支路电阻为零，求开关接通时电流表在上问的（A）（B）情况下的电流AI（大小和方向）；（3）若座半环电阻为R，有半环电阻为KR（其中0K），试证开关接通时AI与K值无关。解答（1）馆内磁通随时间以常变化率2增大时，在开关断开时，感应电动势为2DTD（A）两个半环的电阻都为R时，等效电阻如图624A所示，0222RRUQPPQ（B）左半环电阻为R，右半环电阻为2R时，等效电路如图624B所示，有3632223RRUQPPQ（2）电流表开关接通时A两个半环的电阻都为R时，等效电路利用戴维南定理如图624C所示，有右半环的支路于电流表支路组成的闭和回路中没有磁场，亦没有磁通的变化，因此该回路的总电动势为0。已知右半环的支路上的电动势为，因此电流表支路的电动势亦为，由图624（C）可见，通过电流表的电流为222AAARIRR方向向上。（B）左半环电阻为R，右半环