线性代数标准化作业-吉林大学数学学院

普通高等教育“十一五”国家级规划教材经济管理数学基础系列线性代数标准化作业C吉林大学数学中心2012年9月2学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值（1）；2164502D（2）；121122D3（3）；1230BDB（4）；22BCABDC（5）；33ADB4（6）；11ND（7）1020013D2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、M、K、1，第2列元素的余子式依次为1、1、1、1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5，且行列式的值为2，求M、K的值53、设A,B,C,D是不全为零的实数,证明线性方程组123412340,XBCDXAD仅有零解4、已知齐次线性方程组有非零解，求的值1230,5X6学院班级姓名学号第二章作业（矩阵）1、是非题（设A、B、C均为N阶的方阵）（1）（AB）（AB）A2B2；（）（2）若AXAY，则XY，其中X、Y都是NM矩阵；（）（3）若A2O，则AO；（）（4）若ABO，则AO或BO；（）（5）ABCTCTBTAT；（）（6）ABAB。（）112、填空题（1）设3阶方阵0，A，且ABO，则；13524TT（2）设A，A为A的伴随矩阵，则A；123451（3）设A为4阶标量矩阵，且|A|16，则A，A，1A；（4）设A,B均为N阶方阵,且，其中A为对称矩阵且可逆，求2BE；1T1E7（5）设A，则A，A；52011（6）设实矩阵AO，（为的代数余子式），则A3IJA0IJIJIJIJA；（7）设A为4阶可逆方阵，且A2，则3A2A；11（8）设A为2阶方阵，B为3阶方阵，且A，则B；12O（9）设A，则A；12310（10）设A为5阶方阵，且A2O，则RA_3、选择题（1）若A，B为同阶方阵，且满足ABO，则有（）（A）AO或BO；（B）|A|0或|B|0；（C）ABAB；（D）A与B均可逆22（2）若由ABAC（A，B，C为同阶方阵）能推出BC，则A满足（）（A）AO；（B）AO；（C）|A|0；（D）|AB|0（3）若A，B为同阶方阵，则有（）8（A）ABAB；（B）|AB|AB|；KK（C）EAB（EAB）（EAB）；（D）|AB|A|B|22（4）已知A为任意N阶方阵，若有N阶方阵B使ABBAA，则（）（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）BA；（D）不一定1（5）若A，B，BA为同阶可逆方阵，则BA（）11（A）BA；（B）BA；（C）BA；（D）BBAA111（6）设A为3阶方阵，且|A|3，为A的伴随矩阵，若交换A的2，3两行得到矩阵B，则（）|（A）27；（B）27；（C）3；（D）34、计算题（1）（2）31257031,2（3）（4）21,12131232,AXX9（5）12013215、计算下列方阵的幂（1）已知（1，2，3），（1，1，2），AT，求A4（2）已知，求N0243AA103已知，求N124AA6、设3阶矩阵，其中，1，2均为3维行向量，1122,3AB且|A|18，|B|2，求|AB|7、设若矩阵A与B可交换，求A、B的值123ABA,B,118、求下列矩阵的逆矩阵（1）A；23410（2）A5002153100129、已知A，B，C，求解下列矩阵方程210123124（1）AXXC2AXBC10、设矩阵且满足ABABA180EO，求矩阵B305,A11、设A为N阶可逆矩阵，将A的第I行和第J行对换后得矩阵B，试证（1）B可逆；（2）求AB1。1312、设A为N阶可逆对称阵，B为N阶对称阵，当EAB可逆时，试证EAB1A为对称矩阵。13、把下列矩阵化为行最简形矩阵（1）30214（2把下列矩阵化为标准形矩阵（1）；32137058（2利用初等矩阵计算（1）；110012（2）已知AXB，其中12131213233AAAA,求X1616、求下列矩阵的秩（1）；1205134A（2）12506AA1717、设A为N阶方阵，是A的伴随矩阵，证明2（1）当时，RN（2）当时，11（3）当时，NA018学院班级姓名学号第三章作业（向量组的线性相关性）1、填空题（1）设（3，4），1（1，2），2（1，3），则表成1，2的线性组合为；（2）设向量组1（1，1，0），2（1，3，1），3（5，3，T）线性相关，则T；（3）设向量组1（1，1，0），2（1，3，1），3（5，3，T）的秩为3，则参数T应满足的条件是；（4）设向量组，若由T1,T2,0T32,1A形成的向量空间的维数为2，则参数A；123,（5）已知向量,T1T3T3,T134,且可由线性表示,不能由线性表示，则参数T2,A232123A2、选择题（1）设，1，2线性相关，2，3线性无关，则正确的结论是（）（A）1，2，3线性相关；（B）1，2，3线性无关；（C）1可由，2，3线性表示；（D）可由1，2线性表示19（2）设1，2，3，4，其中C1，C2，C3，C4为任0C1CC意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）1，2，3；（B）1，2，4；（C）1，3，4；（D）2，3，4（3）下列说法中正确的是（）（A）向量组线性无关，则不能由线性表示12,M123,M（B）向量组线性相关，则能由线性表示（C）向量组线性无关，则减少分量后所得的向量组也线性无关12,M（D）含有零向量的向量组必线性相关，而不含零向量的向量组必线性无关（4）设和为两个N维向量组，且12,S12,T12R,S，则（）12R,TR（A）两向量组等价（B）1212,STR（C）当时，两向量组等价ST（D）当能被线性表示时，也能被12,S12,T12,T线性表示12,S（5）已知是3维非零向量，则下列说法中错误的是（）124,（A）如果不能由线性表出，则线性相关412,123,20（B）如果线性相关，线性相关，那么也线性相关123,234,124,（C）如果不能由线性表出，不能由线性表出，则可以由12,23,1线性表出234,（D）如果，则可以由12341243R,R,4线性表出123,3、求向量组的秩，并求出它123457024,38307的一个极大无关组。214、设能由1，2，M线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是1，2，M线性无关5、已知向量组1234801015,（1）试验证1，2，3是R3的一个基；（2）把用这个基线性表示。226、设向量组线性相关，且其中任意个向量都线性无关，试证12,S1S必存在一组全都不为零的数，使得12,SK12SKK07、设3维向量组线性无关，A是3阶矩阵，且有123,，23234A试求A23学院班级姓名学号第四章作业（线性方程组）1、填空题（1）N元线性方程组AX0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为；（2）设N阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R（A）N1，则方程组AX0的通解为；（3）设是4元方程组的三个解向量，且R（A）3，123,XB，则方程组的通解为T1,4T,2；（4）设是方程组的解向量，若也是12,SAXB12SKK的解，；AXBSKK（5）设线性方程组的系数矩阵为A，且存在3阶非零矩阵1230,XB使得，则AO2、选择题（1）设N元线性方程组AX0的系数矩阵A的秩为N3，且1，2，3为线性方程组AX0的三个线性无关的解向量，则方程组AX0的基础解系为（24）（A）12，23，31；（B）21，32，13；（C）221，32，13；（D）123，32，123（2）设1，2是N元线性方程组AX0的两个不同的解向量，RAN1，K为任意常数，则方程组AX0的通解为（）（A）K1；（B）K2；（C）K12；（DK12（3）设向量组1，2是方程组AX0的基础解系，1，2是方程组AXB的两个解向量，K1，K2是任意常数，则方程组AXB的通解为（）（A）；（B）12X121212KX（C）（D）1212K（4）设非齐次线性方程组AXB所对应的齐次线性方程组AX0，则下面结论正确的是（）（A）若AX0有唯一解，则AXB必有唯一解；（B）若AX0有唯一解，则AXB必无解；（C）若AX0有无穷多个解，则AXB也有无穷多个解；（D）若AXB有无穷多个解，则AX0也有无穷多个解（5）设N阶方阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组AO1234,AXB的不相等的解向量，则方程组AX0的基础解系（）（A）不存在；（B）含有1个非零的解向量；25（C）含有2个非零的解向量；（D）含有3个非零的解向量3、设，求一个的矩阵B，使得，且RB2139528A42AO4、求解齐次线性方程组1245312450,6,416XX265、求解非齐次线性方程组12345123453,1342,8XXX276、设向量组12341102,33585ABA试问（1）当A、B为何值时，能由唯一线性表示1234,（2）当A、B为何值时，不能由线性表示,（3）当A、B为何值时，能由线性表示，但表示法不唯一，并1234,写出表示式287、已知4阶方阵A（1，2，3，4），其中1，2，3，4均为4维的列向量，且2，3，4线性无关，1223，如果124，求线性方程组AX的通解8、已知向量组与向量组1230,10AB123,0,1具有相同的秩，且能由线性表示，求A、B的值39673123,299、设非齐次线性方程组AXB所对应的齐次线性方程组AX0的基础解系为，且为AXB的一个特解，试证线性无关12,NR12,NR30学院班级姓名学号第五章作业（方阵的特征值、特征向量和方阵的对角化）1、填空题（1）A为幂零矩阵AK0，K为正整数，则A的特征值（2）设A是N阶方阵，|A|5，则方阵BAA的特征值是，特征向量是（3）设A为3阶方阵，其特征值为，则其行列式，3,12A的3个特征值为，2A23AE的3个特征值为1（4）设4阶方阵A相似于B，且A的特征值为，则|B1E|1,245（5）若是N阶方阵A的特征方程的单根，则RAE（6）若N阶可逆矩阵A的每行元素之和均为A，则的一个特征值为12、选择题（1）设3阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令PP1，P2，P3，则（）1PA；B；C；D001令01令0131（2）下列矩阵12341021321,0,00AA中两两相似的是（）AA3，A4；BA1，A2；CA1，A3；DA2，A3（3）矩阵A与B相似，则（）A|AE|BE|；BAEBE；CA与B与同一对角阵相似；D存在正交阵P，使得P1APB（4）设为4阶对称矩阵,且,若,则相似于（）2OR31111CD0000（5）设矩阵相似于A，则RA2ERAE（）。1BA2；B3；C4；D5（6）设A为N阶实对称矩阵，P是N阶可逆矩阵。已知N维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（）。1TPAA；B；CP；D1T1TP323、计算题（1）设，求A的特征值和特征向量T12,NA10AT（2）设3阶方阵A的特征值为1，2，3，矩阵BA22A，求B的特征值；B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；求|B|，|A2E|33（3）设都是N阶维非零列向量，矩阵，为N阶单位阵，,2AE若，求2AE（4）设4阶实对称矩阵A有两个不同的特征值，且满足条件，AAT2E，|A|0，求A的两个特征值34（5）设有3阶方阵A满足A35A26A0，且TRA5，|A|0。试求A的特征值，并判定A能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵35（6）设A与B相似，203A102B求A，B；求一个可逆矩阵C，使1A36（7）设3阶矩阵A满足AIIII1,2,3，其中列向量11,2,2T，22,2,1T，32,1,2T，试求矩阵A37（8）设矩阵相似于,求A；可逆矩阵P，使P1AP。2086A38（9）设矩阵是A的关于特征值所对应的特征向量，21,BAA求A、B、394、证明题（1）设方阵A满足ATAE，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1（2）设A为N阶方阵，为A的对应于特征值的特征向量，为AT的对应于特征值的特征向量，且，证明与正交（3）设A是N阶正交矩阵，且|A|1，证明1是A的一个特征值40学院班级姓名学号第六章作业（二次型）1、填空题1二次型FX1，X2，X3，X4X123X22X322X1X22X1X33X2X3的矩阵是，秩是2二次型的矩阵为1123123235,4678XFXX3设，122331,AB则存在可逆矩阵P，使得PTAPB，其中P4二次型FX1，X2，X32X12X22X322TX1X22X1X3正定时，T应满足的条件是5设A为实对称矩阵，且|A|0，则把二次型FXTAX化为FYTA1Y的线性变换是XY412、选择题1实二次型为正定的充分必要条件是（）FXATARAN；BA的负惯性指数为零；C|A|0；DA的特征值全大于零2设，则A与B的关系为（）140,BA合同且相似；B合同但不相似；C相似但不合同；D既不相似也不合同3设矩阵正定，则与相似的对角矩阵为（）32045AAA；B；C；D12001476714设A为4阶实对称矩阵，且若，则二次型230AERA在正交变换下的标准形是（）XTA；B；22134YY22134YYC；D225设为实对称矩阵，则IJNAA21212,NIIINIFXAXAX为正定二次型的充分必要条件是（）42A|A|0；B|A|0；C|A|0；D|A|03、计算题1已知二次型FX1，X2，X35X125X22CX322X1X26X1X36X2X3的秩为2，求C2设二次型FX1,X2,X34X123X222X2X33X32求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；43用配方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换；用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换443已知二次型FX1，X2，X3X12X22X322AX1X22X1X32BX2X3经过正交变换化为标准形FY222Y32，求参数A、B及所用的正交变换矩阵454设N阶实对称阵，且2AERKNI求二次型的规范形II证明是正定阵，TXF234BEA并求的值B465求二次型FX1，X2，X3X123X322X1X24X1X32X2X3的正、负惯性指数及符号差6设N元二次型FX1，X2，XNX1A1X22X2A2X32XN1AN1XN2XNANX12其中AII1,2,N为实数，试问当A1，A2，AN1，AN满足什么条件时，二次型FX1，X2，XN为正定二次型47四、证明题1、设FX1，X2，XNXTAX是一实二次型，1，2，N是A的特征值，且12N证明对于任一实N维列向量X有1XTXXTAXNXTX2、设A是一个3阶实矩阵，若对任意3维列向量X，都有XTAX0，则A为反对称矩阵483、设A是N阶正定矩阵，证明|A2E|2N4、设A为M阶的正定矩阵，B为MN实阵，试证BTAB正定的充分必要条件是R（B）N495、设A为3阶方阵，为3维列向量，已知线性无关，且2,，2证明I可逆II是正定矩阵4,BTB50线性代数C模拟试卷一、填空题（每小题3分、共计18分）（1）设向量组线性无关，则T123,1,T（2）设向量，则AN,35,T令（3）设为正定二次型，则T的取值范围是22134FXTX（4）设A、B均为3阶方阵，且|A|2，|B|4，则|2AB1|（5）设A为3阶方阵，且满足A2AE，则R（AE）（6）设3阶矩阵A可相似于对角矩阵，且A的每行元素之和都等于3，RA1，则A11A22A33二、单项选择题（每小题3分，共计18分）（1）设N阶方阵A、B、C满足CABE，则下面的结论正确的是（）AACBE；BCBAE；CBACE；DABCE（2）已知可由1，2，3线性表示，而不能由1，2线性表示，则下面结论正确的是（）（A）3能由1，2，线性表示，也能由1，2线性表示；（B）3能由1，2，线性表示，但不能由1，2线性表示；（C）3不能由1，2，线性表示，也不能由1，2线性表示；（D）3不能由1，2，线性表示，但能由1，2，线性表示51（3）已知正定矩阵则与A相似的对角矩阵为（）4031,（A）；（B）；（C）；（D）1562446017（4）设A为MN矩阵，AX0是非齐次线性方程组AXB所对应的齐次线性方程组，则下面结论正确的是（）（A）若AX0仅有零解，则AXB有唯一解；（B）若AXB有无穷多组解，则AX0只有零解；（C）若AX0有非零解，则AXB有无穷多组解；（D）若AXB有无穷多组解，则AX0有非零解（5）已知矩阵，123469A24613B102P210P则B（）（A）AP1P2；（B）P2P1A；（C）P1P2A；（D）P1AP2（6）设4阶行列式的第2行元素依次为2、M、K、3，第2行元素的余子式依次为1、1、1、1，第4行元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，则M、K的值为（）（A）4、2；（B）4、2；（C）4、2；（D）4、252三、计算题（每小题7分，共计42分）1、设3阶方阵A、B满足关系式，且，求A16134172、验证为R3空间的一个基，并将用这个基123,1,050线性表示3、已知矩阵与相似，求X,Y201AX201BY4、设4元线性方程组AXB，且R（A）3，已知是其三个解向量，123,其中1230,4求AXB的通解5、设向量组1，2，3线性无关，若122，42K3，3321线性相关，求K6、设矩阵A121053453求R（A）及A的行向量组的一个极大无关组四、（10分）已知4阶方阵A（1，2，3，4），其中1，2，3，4均为4维的列向量，并且2，3，4线性无关，而31223，若1223344，求AX的通解五、（6分）已知矩阵A21043Y有三个线性无关的特征向量，2是A的二重特征值，求一个可逆矩阵P使P1AP六、（6分）设有3阶实对称矩阵A满足A22A0，已知R（A）2写出用正交变换将二次型FXTAEX化成的标准形（不需求出所用的正交变换）；判断二次型FXTAEX的正定性；当XTX1时，求二次型FXTAEX的极大值线性代数C考试试卷一、填空题（每小题3分、共计18分）（1）设向量1,0,1能由11,1,2,21,2,T线性表示，则T_（2）设向量令AT，则AN_,5,352（3）设为正定二次型，则T的取值范围是2134FXTX_（4）设A为5阶方阵，且满足A23A