有限元法在计算电磁学中的应用毕设论文完整版

华北科技学院毕业设计（论文）第1页共65页目录1绪论311电磁场理论概述312有限元法概述3121有限元的发展历史5122有限元方法分析过程及其应用6123有限元方法的分析过程7124有限元方法的应用82电磁场及有限单元法的理论基础921矢量及其代数运算9211矢量的基本概念9212矢量函数的代数运算规则1222矢量函数和微分12221矢量函数的偏导数13222梯度，散度和旋度的定义1423矢量微分算子15231微分算子的定义15232含有算子算式的定义和性质16233二重算子18234包含算子的恒等式1924矢量积分定理20241高斯散度定理20242斯托克斯定理20243其他积分定理2025静电场中的基本定律21251库仑定律21252电场强度E22253高斯定律的积分和微分形式2426静电场的边界条件26有限元法在计算电磁学中的应用第2页共65页261电位移矢量的法向分量26262电场强度的切向分量27263标量电位的边界条件2927泊松方程和拉普拉斯方程3028静电场的边值问题31281边值问题的分类31282静电场中解的唯一性定理323有限单元法3431泛函及泛函的变分3432与边值问题等价的变分问题35321与二维边值问题等价的变分问题35322平衡问题的变法表示法3733区域剖分和插值函数41331定义域的剖分41332单元内局部坐标系中的近似表达式插值函数4434单元分析4835总体合成5036引入强加边界条件524有限单元法的具体应用535结束语63参考文献64致谢65华北科技学院毕业设计（论文）第3页共65页1绪论1电磁场理论概述自1873年JCMAXWELL建立电磁场普遍运动规律并预言电磁波存在以来，电磁场理论及其应用受到了物理学研究者广泛而深入的研究，这些研究对20世纪物理学的几个重大理论体系（相对论理论），量子理论等）的建立起了重大的作用。与此同时，电磁场和电磁波作为能量的一种存在形式，信息传输的重要载体和探求未知物质世界的重要手段，在通信，广播，电视，雷达，导航等等各个领域中得到广泛的应用，使得电磁场理论成为众多交叉学科领域及新技术领域的理论基础和重要的发源地，这极大的丰富和发展了电磁场理论，而在最近三十多年来，随着无线电电子学，计算机和网络技术的飞速发展，生物电磁学，环境电磁学和电磁兼容性等学科的建立，向电磁场理论提出了许多新的研究课题，使现代电磁场理论得到了飞速的发展，电磁学的理论研究成果不断的促进了其他学科的发展，而电磁理论主要研究场的问题，在研究这些之前，先定义矢量以及运算规则，研究电磁场的问题时也经常要用到数值计算方法和解析法，而有限元法就是经常用于解决电磁场问题的一种方法。12有限元法概述有限元方法（FINITEELEMNTMETHOD）是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。在人类研究自然界的三大科学研究方法（理论分析，科学试验，科学计算）中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一；利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。有限元法在设计过程中有极为关键的作用。人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法（ANALYTICALMETHOD）和数值法（NUMERICMETHOD）如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式有限元法在计算电磁学中的应用第4页共65页极其困难的。因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。其中有限元法式20世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而数值解的收敛性与单元的划分及单元形状有关。在求解过程中，通常以位移为基本变量，使用虚位移原理或最小是能原理来求解。有限元方法的基本思想先化整为零，再积零为整，也就是把一个连续体认为分割成有限个单元；即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。从数学的角度上看，有限元方法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，然后利用计算机进行求解的方法。由于有限元法采用了矩阵方法，因此借助计算机可以很方便的快速进行计算。121有限元的发展历史有限元方法基本思想的提出，通常认为始于20世纪40年代。其实早在公园3世纪的时候，我国数学家刘徽提出的用割圆法求园周长的方法就是有限元基本思想的体现。经典结构力学求解钢架内力的位移法，将钢架看成是由有限个在结点处连接点杆接原件组成，先研究每个杆件单元，最后将其组合进行综合分析。这种先离散，后整合的方法便是有限元方法的基本思想。1941年，雷尼克夫（HRENIKOFF）首次提出用框架方法求解力学问题，但这种方法仅限于用杆系结构来构造离散模型。1943年，可兰特（COURANT）发表了一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文，第一次假设扭曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单的线性函数。这是第一次用有限元法处理连续体问题。20世纪50年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，华北科技学院毕业设计（论文）第5页共65页这就需要更精确的设计和计算。1955年，德国斯图加特大学的JHARGYRIS教授发表了一篇能量原理和矩阵分析的论文，第一次奠定了有限元的理论基础。1956年，特纳（TURNER）,克拉夫（CLOUGH），马丁（MARTIN）和托普（TOP）等将钢架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆，梁，三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正面解答。他们的研究工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性问题的新阶段。1960年，克拉夫（CLOUGH）在处理剖面弹性问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名词，使人们进一步认识到这一方法的特性和功能。此后，大量学者，专家开始使用这一离散方法来处理结构问题分析，流体分析，热传导和电磁学等复杂的问题。从1963年到1964年，杯赛林（BESLIN）等人的研究工作表明，有限元方法实际上是弹性力学变分原理中瑞类李资法的一种形式，从而在理论上为有限元法奠定了数学基础。但是与变分原理相比，有限元法更为灵活，适应性更强，计算精度更高。这一成果也大大刺激了变分原理的研究和发展，先后出现了一系列基于变分原理的新型有限元模型，如混元法，非协调元，广义协调元等。1967年，ZIENKIEWICZ和CHEUNG出版了第一本关于有限元分析的著作。20世纪70年代后，随着计算机技术和软件技术的发展，有限元方法进入了发展的高速期。在这一时期，人们对有限元方法进行了深入研究，涉及内容数序和力学领域所依据的理论，单元划分的原则，型函数的选取，数值计算方法及误差分析，收敛性和稳定性研究，计算机软件开发，非线性问题，大变形问题等。1972年，ODEN出版了第一本处理非线性连续体的著作。在有限元方法发展的过程中，我过科技工作者也做出过杰出的贡献，并得到了国际学术界的认可，如胡长海提出了广义变分原理，钱长伟最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系，冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，钱令兮研究了余能原理等。随着有限元方法的不断发展和完善，目前已经成为一门成熟的学科，并已经扩展到其他研究领域，成为了科技工作者解决实际问题的有力工具。122有限元方法分析过程及其应用有限元方法从20世纪40年代开始至今，已经经过60多年的发展和创新，其应用领域不断扩大，已由最初的杆件问题扩展到弹性力学，粘弹性力学，塑力学问题，由平有限元法在计算电磁学中的应用第6页共65页面问题扩展到空间问题，由静力学问题扩展到动力学稳定性分析问题，由线形问题到非线形问题，从固体力学到流体力学，空气动力学，热力学，电磁学等问题。现在，有限元方法成为科技工作者进行科学研究，解决工程技术问题的强有力的工具。有限元方法的特性1对于复杂几何形态构件的适应性。由于有限元方法的单元划分在空间上可以是一维，二维，三维，并且可以有不同的形状，如二维单元可以是三角形，四边形，三维单元可以是四面体，五面体，六面体等，同时各种单元可以有不同的连接形式。因此，实际应用中遇到的任何复杂结构或构造都可以离散为有限个单元组成的集合体。2对各种构型问题都有可适应性。有限元方法已经由最初的杆件问题扩展到弹性力学，粘弹性力学，塑力学问题，由平面问题扩展到空间问题，由静力学问题扩展到动力学稳定性分析问题，由线形问题到非线形问题，从固体力学到流体力学，空气动力学，热力学，电磁学等问题，总之可以解决好多很复杂的问题。3理论基础的可靠性。有限元方法的理论基础是变分原理，能量守恒原理，它们在数学上，物理上都得到了可靠的证明。只要研究问题的数学模型建立适当，实现有限元方程的算法稳定收敛，则求得的解是真实可靠的。4计算精度的可信性。只要所研究问题本身是有解的，在相同条件下随着单元数目的增加，有限元方法的计算精度将不断提高，近似解不断趋近于精确解。5计算的高效性。由于有限元分析的各个步骤可用矩阵形式来表示，所以最终的求解就归结于标准的矩阵代数问题，将许多复杂的微分，偏微分方程的求解问题转化成求解代数方程组的问题，特别适合于计算机进行编程计算。123有限元方法的分析过程1结构物的离散化有限元方法的基础思想是化整为零，分散分析，再集零为整。因此，对一个结构物进行有限元分析的第一步是将其进行离散，也就是根据求解问题的不同精度要求，效能要求等诸多因素，将整个结构划分成有限个单元，单元与单元之间，单元与边界之间通过结点连接。在进行离散的时候，必须注意到以下三点1，单元类型的选择，包括单元形状，结点数，结点自由度数等几个方面；2，单元划分应有一定的规律性，以便于计算自动华北科技学院毕业设计（论文）第7页共65页生成网络，并且有利于以后对网络进行加密处理；3，同一单元应由同一种材料组成。2进行单元分析单元分析就是将离散化的每个单元看作一个研究对象，研究结点位移与结点力之间的关系，包括以下两方面的内容A确定单元的位移模式对于位移型有限单元法，单元位移模式就是将单元中任意一点的位移用单元结点位移来计算，而单元位移可以表示成结点位移的函数。位移函数的假设是否合理，直接影响到有限元分析的计算精度，效率和可靠度。B分析单元的特性在建立了单元的位移函数之后，可以根据应力，应变，位移之间的关系，利用虚位移的原理或最小势能原理，建立单元杆端力和杆端位移之间的关系，从而得到单元刚度矩阵。这一步还必须将单元上的负荷等效为结点负荷，进行单元分析实际上是建立单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵的过程。3整体分析在确定了每个单元的单元刚度矩阵之后，可以将各单元集合成整体结构进行分析，建立起表示整个结构点平衡的方程组，即整体刚度方程。然后引入结构的边界条件，对方程组求解，得到接点位移，并进而求出各单元的内力和变形。124有限元方法的应用经过60多年的发展，有限元方法的应用范围经历了由杆状构件问题发展到弹性力学平面问题，并进一步扩展到空间问题，板壳问题；由静力学问题扩展到稳定问题，动力学问题，波动问题。研究的对象从弹性材料扩展到弹塑性，粘弹性，粘塑性复合材料问题，由研究小变形问题扩展到研究大变形问题，由简单的线形问题扩展到复杂的非线形问题。从固体力学扩展到流体力学，热传导，电磁学等连续介质领域。可以说，有限元方法作为一种数值计算方法已渗透到了科学，工程的方方面面，成为人们进行科学研究，工程计算，工程设计的重要手段。如今，有限元方法的应用不只局限于固体力学领域，可以说有限元方法可以解决几乎所有的连续介质和场的问题。在机械工程，土木工程，航空结构，热传导，电磁学，流体力学，空气动力学，生物医学工程各个领域中得到了越来越广泛的应用。有限元法在计算电磁学中的应用第8页共65页根据有限元求解问题的性质，可以把它的应用中分为三类1，平衡问题不依赖时间的问题，即稳态问题；2，特征值问题固体力学和流体力学的特征值问题是平衡问题的推广；3，瞬态问题即随时间变化的问题。在工程实践中，有限元在电磁学中分析二维，三维时变和高频电磁场问题，此论文主要研究的就是有限元在电磁场分析中的应用。华北科技学院毕业设计（论文）第9页共65页2电磁场及有限单元法的理论基础21矢量及其代数运算211矢量的基本概念（1）矢量与标量矢量是既有大小又有方向的量，例如力，位移，速度等。在矢量运算中常用黑色字母A来表示一个矢量，而它的大小（即模）则用符号A或A表示。标量则是只有大小而无方向的量，例如质量，时间，温度等。（2）单位矢量与矢量的分量单位矢量是单位为1的矢量，以下用上方带有符号的黑体字母表示，如U，显然1U，由定义可知AU或者UAA（21）在直角坐标系中有一组基本的单位矢量ZYX,，它们的方向与右手直角坐标系中X,YZ轴方向一致，见下图210YZXZXY图21当然也可以定义其他正交坐标系中的基本单位矢量。三维空间中任何矢量A都可以在一直角坐标系中用始于原点O的矢量来表示，见下图22有限元法在计算电磁学中的应用第10页共65页XAXAYAYZ图22设起点为O的矢量A的终点坐标是,ZYXAA,则有ZAYAXAA（22）式中ZYXAA,是矢量A在X,YZ方向的分量。显然A的大小为21222ZYXAAAA（23）（3）位置矢量设空间中由一点P，它的位置在所选择的坐标系下可以用一从原点出发的矢量R来表示，矢量R叫做点P的位置矢量，见下图23显然R的分量是点P的坐标值（X,Y,Z），即ZYXR（24）XYZ,PXYZR图23类似地，如有另外一点,ZYXP，则它的位置也可用一位置矢量华北科技学院毕业设计（论文）第1页共65页ZYXR来表示，依次推论，点P相对于点P的位置也可以用从P到P的矢量R来表示，见图24，矢量R称为点P相对于点P的相对位置矢量。XYZPPRRR图24显然，RRR，所以RRR（25）矢量R用P点和P点的坐标值表示时，为ZZZYYXXR（26）所以R的模的平方是2222ZZYYXXR（27）212矢量函数的代数运算规则设A,B,C都是矢量函数，则它们满足以下运算规则（1）ABA（28）（2）ABCABC（29）（3）COSABABBA0（210）（4）CABACBA（21）（5）设U是垂直A，B所在平面的单位矢量，则UABBASIN（212）有限元法在计算电磁学中的应用第12页共65页（6）ABBA（213）（7）CABACBA（214）（8）若33221UAUAUAA，33221UBUBUBB，则321321321BBBAAAUUUBA（215）（9）BACCABCBA（216）（10）CBACBA（217）（1）CBACBA（218）（12）CBABCACBA（219）对于以上的运算规则，应当指出的是它与坐标系的选取无关。2矢量函数和微分我们研究的电磁场在通常的情况下是在一定空间内连续变化又随时间而改变的矢量场，所以在讨论中经常要遇到矢量函数对变量求导的问题。221矢量函数的偏导数设矢量A是依赖于一个以上变量的矢量函数，如,ZYXAA，则定义A对于变量X,Y,Z的偏导数为XZYXAZYXXAXAX,LIM0YZYXAZYYXAYAY,LIM0ZZYXAZZYXAZAZ,LIM0上述定义中假定了等式右端的极限必须存在。由于ZYXAYZYXAXZYXAZYXAZYX,华北科技学院毕业设计（论文）第13页共65页所以ZXAYXAXAXAZYZYAYAXYAYAZYZAYZAXZAZAZY这样，矢量函数A的全微分DA就是ZDAYDAXDADA而DZZADYYADXXADAXXXX对YDA，ZDA亦有类似的表达式，带入前一式得DXZXAYXAXADAZYDYZYAYAXYAZYDZZAYZAXZAZYDZZADYYADXXA（220）其形式与标量函数F的全微分DZZFDYYFDXXFDF（221）相类似。222梯度，散度和旋度的定义1梯度尽管电磁场本质是一矢量场，但在某些特定条件下亦可定义一个标量函数作为辅助量或作为形式参量以简化问题，此时，标量函数F也是一多变量函数，它的全微分为DZZFDYYFDXXFDF有限元法在计算电磁学中的应用第14页共65页上式可以看成是两个矢量A和DR的点积，其中ZFYFXFA（22）于是有ZDZYDYXDXDRDZZFDYYFDXXFDRA如式（222）表示，A的分量是标量函数F随空间坐标方向的变化率，定义矢量A为标量函数F的梯度，记为GRADAF（223）2散度从场论知识可知，一个矢量函数的曲面积分称为此矢量场穿过该曲面的通量，即SDSA（224）现将S曲面取为闭合曲面，令此闭合曲面所包围的体积为V，当0V时，若极限DIVAVDSASV0LIM（225）存在，则称此极限值为矢量函数A在该点的散度。从此定义出发可以证明，在直角坐标系中ZAYAXADIVAZYX（226）3旋度根据场论中的定义，一矢量函数的旋度仍为一矢量，它在某方向N上的投影，等于该矢量A沿垂直于N的无限小面积S的周线C的积分（积分方向与N成右手关系）与S的比值的极限，即NROTASDRACSLIM0（227）式中的ROTA称为矢量场A的旋度，由定义出发可以证明，在直角坐标系中华北科技学院毕业设计（论文）第15页共65页ROTAZYXAAAZYXZYX（228）23矢量微分算子231微分算子的定义在电磁场理论中经常会遇到上述的梯度，散度和旋度以及二阶微分的算法，这些运算虽不困难但是比较繁琐。为了简化运算，引入微分算子，它已经成为场论分析中不可或缺的运算工具。算子运算法的优点在于可以把对矢量函数的微分运算转变成矢量代数运算，从而明显地简化运算过程。微分算子是一个“符号”矢量，它在直角坐标系中的定义式为ZZYXZYX（229）并规定，它的各个分量可以像普通矢量的分量一样进行运算，而X和标量函数F的乘积则理解为对F的偏导数，即XF。根据这样的定义和规定，梯度，散度和旋度可以用微分算子表示成FGRADFADIVAROTAZYXAAAZYXZYXA从上边可以看出算子确实把矢量函数A的微分运算转变成为矢量算子和A的运算。算子在上述定义和规定下可以将它看成一矢量来按照矢量代数规则来运算，但是又不能完全将它与一普通的矢量等同，因为只是微分算符而不是真是矢量的分量。有限元法在计算电磁学中的应用第16页共65页232含有算子算式的定义和性质一个含有算子并对为线性的算式T（）的定义为ZTZYTYXTXT（230）式中XT，YT和ZT是在算式T中，将分别用单位矢量X，Y和Z替换后得到的结果。现举例对上式加以说明。（1）ZYXT（2）FZFYFXFTZFYFXF（3）AZAYAXATZAYAXAZYX（4）AZAYAXATZYAXAYYAZAXZAYAXYZXYZ在算式T中，如果有某些函数位于算子前面，那么在运算中这些函数应视为常数，不受微分影响。在上面的定义中，所谓线性的算式T是指若在T中将换成两个矢量之和，例如221PAPA，（其中21,A为常数，21,P为任意两矢量），应有2211221PTAPTAPAPAT根据算式T的定义可以导出T的几个重要性质，这些性质是在T运算是的理论依据。华北科技学院毕业设计（论文）第17页共65页性质一对于任何T，可以将看做普通矢量进行矢量代数的恒等变换，所得结果不变。但是在变换中不能将后面的函数移到的前面（除非此函数被视为常数），而若把前面的函数移到的后面时应在此函数上加注下标C，以表示它被视为常数。性质二如果T算式在的后面有两个函数相乘（包括数乘，点乘和叉乘），那么T可表示为两项之和。在其中一项中，前一函数视为常数，不受微分影响；而在另一项中，后一函数视为常数，不受微分影响。例如CCFAAFFA按定义AFZAFYAFXAFCCCCAZFAYFAXFAFCCCCFAZFAYFAXFAZFAYFAXFAFA所以FAFFA又如CCBABABA（231）由矢量代数恒等式BACCABCBABCACBA可得BABABABABACC有限元法在计算电磁学中的应用第18页共65页ABABABABBACC带入式（231）中求得ABABBABAAB性质三算式T在其定点P上的值与坐标的选择无关。233二重算子在电磁场理论中，除了上面介绍的一重算子的算式T外，还经常遇到F，A，A等二重算子算式,T，对于这类包含有二重算子的算式,T，其运算的规则为先将其中的一个看做固定矢量P，其算式变成,PT，将它按一重算式处理，令所得到的结果为1PT；再将1PT中的P换成，对1T重复类似的处理，所得到的结果即为,T。具体说来，就是,1ZPTZYPTYXPTXPTPT,1111ZTZYTYXTXTT,ZXTZYXTYXTXX,ZYTZYTYXYTXY,ZTZYZTYXZTXZ,222222ZTZYTYXTX华北科技学院毕业设计（论文）第19页共65页,222ZXTXZTXZYZTZYTYZXYTYXTYX（232）在具体运算展开中，还应该注意不能把后面的任何一个函数移到前面来。234包含算子的恒等式根据T和,T的运算规则，借用矢量代数中的恒等关系可以导出下列常用的恒等式来（1）GFGF（2）FGGFFG（3）2/GGFFGGF0G（4）BABA（5）AFAFFA（6）BAABBA（7）FF2（8）0A（9）BABA（10）AAA224矢量积分定理电磁场分析解决问题时经常要用到一些积分定理，在本论文中最常用的定理罗列如下有限元法在计算电磁学中的应用第20页共65页241高斯散度定理高斯散度定理建立了体积分和面积分的转换关系。设V是由一闭曲面S所包围的体积，而A是一个在V内有连续导数的矢量函数，那么VSSDSNADSAADV其中N是S的外法向单位向量。242斯托克斯定理斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。设S是由一闭合但不相交的曲线C所包围的双侧曲面，而A是在S上有连续导数的矢量函数，那么有SSCDSNADSADRA其中C的积分方向是这样规定的假如一观察者站在S的边界上，他的站立方向与曲面S的法线向量一致，当他沿着C的正方向前进时，曲面S始终在他的左面。243其他积分定理下面的定理建立了体积分和面积分的关系（1）VSSBDSDSBNBDV（2）VSDSNDV（3）SVDVABADSAB25静电场中的基本定律251库仑定律库仑定律是一个从点电荷概念出发，通过测量不同点电荷之间的相互作用力而总结出的实验定律。所谓点电荷，是指带有限电量，而几何尺寸为零的荷电体。这显然是一个理想化的模型，实际上并不存在。但是，当两个荷电体之间的距离远大于荷电体本身的尺寸时，可以近似的将他们之间的作用看成是点电荷之间的相互作用。华北科技学院毕业设计（论文）第21页共65页设在真空中有两个点电荷Q和Q，它们之间的距离是R见下图ZQRRRQOQFQYX图25实验发现，电荷Q将由于Q的存在而受到作用力QQF。我们把点电荷Q成为“源”，它所在的位置称为“源点”，由位置矢量R给出；而把受到作用力的点电荷Q所在位置称为“场点”，它的位置用位置矢量R表示。大量的实验结果表明，点电荷Q和Q在真空中的相互作用力服从下面的规律QQF的大小与乘积Q成正比；与两点之间的距离R的平方成反比；QQF的方向沿着亮点之间的连线方向，即沿着相对位置矢量方向RRR的方向。QQF表示为QQFRQK2RQK3（23）式中K为比例系数，在国际单位制中041K（234）0为真空或自由空间中的介电常数，MF/10858120。显然，我们也可以把Q作为“源”，它所在的位置称为“源点”，Q所在的位置称为“场点”，求Q对Q的作用力。此时有RQRQFQQ302044（235）式中RRRR有限元法在计算电磁学中的应用第2页共65页所以QQQQFF（236）式（233）称为库仑定律，它是静电学中最基本的定律。大量的实验证明当R小到M1010左右的时候，库伦定律的准确度仍十分高，这就证明，在宏观电磁学的范围内，库伦定律是可靠的。252电场强度E库伦定律（233）只是从定量关系上说明了亮点电荷之间作用力的大小和方向如何确定，并没有涉及这一作用力的物理本质问题。对于这一点可以由不同的理解。一种是所谓超距作用，即一电荷直接把作用力施加于另一电荷上，当场源电荷发生变化时，电荷Q所受之力将同时随之变化；另一种观点是电荷之间的相互作用是通过“场”来传递的。电荷Q所受之力是场源电荷Q所建立的电场对Q的作用力，它们之间的作用是不可能超距的。这两种观点在静电场中对问题的描述是等价的，因为既然是静电场，当然就排除了随时间变化的可能。但是在时变场中，这两种观点就给出不同的回答。实践证明，后一观点更符合实际。因此，应当认为Q之所以受到作用力是因为在电荷Q周围存在着一种的特殊的物质电场，Q所受之力就是电场对它的作用力。显然，当Q位于Q场中不同位置时所受到的力的大小和方向是不同的。为定量的描述Q周围电场的物理特性，我们定义电场强度E为RQE420（237）它的物理意义是单位实验正电荷在电场中所受之力。电荷Q在场中某点所受的作用力RQQEF420如果在空间中场源电荷不是一个而是多个，则根据叠加原理，电荷Q在场中某点所受的作用力就应该是多个场源电荷单独作用力的矢量和，即INIIINIQRQQFFQI41201（238）华北科技学院毕业设计（论文）第23页共65页相应地，此时点电荷系所产生的电场强度E为INIIIRQRE4120（239）实际上，理想的点电荷或点电荷系是不存在的。电荷或是分布在一个体积内，或是分布在一个面积上。当然，从物质的结构理论上来看，电荷的分布是不连续的，但是即使是很大的原子核，直径也只有M1410的数量级，所以在研究宏观电磁规律时，可以将电荷看成是连续分布的。当电荷连续分布在一体积内时，可以定义一体电荷密度DVDQVQV0LIM（240）的单位是3/MC。将DV视为一点电荷，根据叠加原理，可以写出连续分布的体电荷所产生的电场强度E为RVDRREV420（241）如果电荷连续分布在一厚度可忽略的曲面上，则可引入一面电荷密度DSDQSQSS0LIM（242）S的单位是2/MC。将SDS视为一点电荷，根据叠加原理可以写出连续分布的面电荷产生的电场强度E为RRSDRSRES420（243）如果电荷连续分布在半径可忽略的曲面上，则可以引入一线电荷密度DLDQLQLL0IM（24）L的单位是MC/。将DLL视为一点电荷，可写出连续分布的线电荷所产生的电场强度E为RLDRRELL420（245）253高斯定律的积分和微分形式高斯定律等积分形式表示通过一闭合曲面的电场通量和被次曲面所包围的电荷量有限元法在计算电磁学中的应用第24页共65页之间的关系，它可由库伦定律直接导出，实质上是库伦定律的另一种表达形式。按定义，穿过一闭合曲面的电场通量为DSE，如电场是由一点电荷Q产生，则由式（241），有RQE420穿过闭曲面E的通量为SSSRDSQRDSQDSE202044（246）式中的DSR为面元投影到以R为半径的球面上的面积，而2RDS则为面元DS对Q（见下图）所张的立体角D，QDSR图26面元DS对Q所张的立体角所以SSDQRDSQDSE020440044QQ（247）式（247）即为高斯定律的积分形式，。它说明，穿过任意闭曲面S的电场通量只与被华北科技学院毕业设计（论文）第25页共65页此闭曲面所包围的电荷有关，与曲面外的电荷无关。但这绝对不能误解成曲面S上任意一点的电场强度E只与曲面S内的电荷有关，而与曲面外的电荷无关，E与曲面内外的所有电荷的大小及位置都有关。如曲面S内有一个由N个点电荷组成的点电荷系，则式（246）可以写成NIISQDSE101如果曲面内由连续分布的体电荷，且体电荷密度为，曲面S所包围的体积为V，则式（246）可写为VSDVDSE01（248）在电荷分布完全对称的情况下，积分形式的高斯定律提供了一个计算电场的简便方法。这里的关键问题是要能将待求量E从式（246）左边的积分号中提出来，这就要求积分曲面S（常称为高斯面）的选择应符合以下条件在高斯面上电场强度E的振幅应为常数（包括为零），且其方向应垂直或平行于高斯面。要做到这一点就要求我们在应用高斯定律解题的时候应首先判断电场分布是否具有对称性。因为由这一要求，所以应用积分形式的高斯定律来求解静电场问题的范围是极为有限的。若对式（247）左端应用高斯散度定理，则有VSVDVEDVDSE01上式对任意闭曲面包围的任意体积均成立，因此，对场中的任意一点都有0E（249）式（248）为真空或自由空间中的高斯定律的微分形式，是静电场微分形式的基本方程之一。由式（248）可见，高斯定律的微分形式表示空间某一点的E的散度只与该点的体电荷密度有关，而与其他地方的电荷分布无关。但是，这并不意味这该点的E与其他地方电荷分布无关。事实上，空间某点的E与空间任意位置处的电荷大小和分布都有关。有限元法在计算电磁学中的应用第26页共65页26静电场的边界条件在研究经典场的具体问题时，经常会遇到不同媒质的分界面，在两种不同媒质的分界面上，由于两侧媒质的突变，电场强度E和电位移矢量D将由于分界面上面电荷的存在而发生跃变。下边要讨论的就是电场量E和D在通过不同媒质分界面时的跃变规律，即分界面上的边界条件。由于分界面两侧媒质介电常数有不连续的突变，分界面上存在有面电荷，静电场方程的微分方程形式不成立，所以只能从积分形式的静电场方程出发来讨论场的边界条件。261电位移矢量的法向分量应用积分形式的高斯定律，在分界面上做一扁平圆柱体（如下图）S1D2DN1N2NH图27高斯定律在媒质界面上的应用其高度0H，即圆柱的上下底面与分界面平行，并且无限地靠近它。底面积S非常小，可以认为S上的D和SF是均匀的。SF为介质表面自由面电荷密度，N为分界面的法向单位矢量，规定N的正方向由介质I指向介质，1N，2N分别是圆柱体上下底面的外法线矢量。由图可知NN1，NN2。根据介质中的高斯定律，穿过此圆柱面的通量（忽略穿过圆柱侧面的通量）为SDNSDNDSD2211华北科技学院毕业设计（论文）第27页共65页SDDN12SSF所以有SFDDN12（250）或SFNNDD12（251）式（250）和（251）称为电场法向量分量的边界条件。如果分界面两侧均为电解质，则由于介质表面不存在自由面电荷，所以以上边界条件变为012DDN（252）或012NNDD（253）式（253）表明，在电解质的分界面上，电位移矢量D的法向分量连续。262电场强度的切向分量求解电场的切向分量的边界条件，可利用静电场的环流定理。在分界面上做一小的矩形回路（如下图）TNNLLH图28环流定理在媒质界面上的应用回路的宽边为L，它平行于分界面，回路的高度H为无限小量，即0H，且回路宽度L非常小。可认为E在L上是均匀的。N为分界面上的法向单位矢量，正方向由指向。T，N均为分界面上的切向单位矢量，N垂直于以矩形回路为周界的平面，T平行与此平面。T，N，N满足右手关系，即NNT，由环路定理有限元法在计算电磁学中的应用第28页共65页021TLETLEDLE得021LELETT所以TTEE12（254）或012EEN（25）式（254）或式（25）为电场切向分量的边界条件，表明电场强度E的切向分量在分界面处是连续的。如果分界面一侧是电解质，另一侧为导体，即上图（28）其中，为介质，为导体时，分界面上D和E的边界条件又如何呢根据静电场中导体的性质，导体内部电场为零，即01E，01D，并且电荷以面电荷形式分布在导体表面，所以，边界条件式（251）和式（254）分别变为SFND2（256）02TE（257）上两式表明，导体内部电场为零，导体表面电场强度的切向分量为零，法向分量不为零，即电力线垂直于且终止于导体表面。由于两介质分解面处E的切向分量连续，法向分量不连续，所以电力线在通过分界面时将发生弯曲，即在分界面两侧电力线与介质表面发现方向的夹角1和2不一样，见下图华北科技学院毕业设计（论文）第29页共65页121E2E12N图29E在两介质分面处的突变设介质和均为线性，各向同性，均匀电介质，介电常数分别为1和2，由边界条件012NNDD，即NNEE1122和TTEE21，从上图中几何关系可以得到1221112212TANTANNNNTNTEEE可见，1和2之间的关系取决于分界面两侧的介电常数1和2。263标量电位的边界条件下面将推导出标量电位在分解面上的边界条件，这在解静电场问题中是非常有用的。我们从标量电位的物理意义出发来进行推导。见下图，介质和的分界面法线单位矢量为N，1，2为位于分界面两侧的无限靠近的两个点，两点之间连线为H，0H，且H平行于N，从电位的物理意义出发，可得出1，2两点之间的电位差为2121DRE由于静电场的保守性，上式的积分值与积分路径无关，所以取积分路径为沿N方向的路径，于是由上式可得2121DREHEN式中NE为分界面两侧NE的平均值。由于0H，而电场强度不可能为无穷大，所以由上式可知021有限元法在计算电磁学中的应用第30页共65页表明分界面处标量电位式连续的，即SS21（258）式中S为介质和的分界面。由于在两介质分界面处不存在自由面电荷，所以可以得出分界面S处电位满足的另一个边界条件为SSNN2211（259）另外，根据式（256）和式（257）我们很容易得到导体表面电位的边界条件为S常数（260）SFSN（261）其实不同介质分界面上电位连续的边界条件很容易用电位的物理概念来解释，因为，分别将单位正电荷自无限远处移动到分界面S两侧相邻点时，外力所作的功必然相同。27泊松方程和拉普拉斯方程由给定电荷分布求电位分布，原则上都可以计算出来，但是它要求必须给出全部空间中的电荷分布，这在很多情况下是很难做到的。即使给出了全部空间中的电荷分布，也不是很容易求出电位分布的解析解，因为还须完成不规则的积分运算。这就促使我们寻求解决问题的另一途径，即求解电位所满足的微分方程。下面导出泊松方程和拉普拉斯方程真空中微分形式的高斯定律为0E将E代入，得02即02（262）华北科技学院毕业设计（论文）第31页共65页上式成为真空中的泊松方程。在0的区域，上式简化为02（263）称为真空中的拉普拉斯方程。按照同样的方法可以导出线性，各向同性，均匀介质中的泊松方程与拉普拉斯方程。将式TTEE21代入介质中的高斯定律中可得1ED当介质为线性，各向同性和均匀时，介电常数为一常数，上式简化为FD2即F2（264）式（264）称为线性，各同向性，均匀介质中的泊松方程，其形式与真空中的泊松方程完全相同。上面就是我们推导出的电位所满足的微方程。28静电场的边值问题281边值问题的分类根据问题所给的边值条件不同，边值问题可以分为以下三类第一类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位值，又称为狄里郝力问题；第二类边值问题是指所给定的边界条件为整个边界上的电位法向导数值，又称为纽曼问题；第三类边值问题是指所给定的边界条件部分为点位值，部分为电位法向导数值，又称为混合边值问题。我们讨论以第一类边值问题为主。有限元法在计算电磁学中的应用第32页共65页282静电场中解的唯一性定理唯一性定理是说明泊松方程或拉普拉斯方程的解在什么条件下是唯一的。此定理的表述非常简单满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。也就是说，若要保证的问题的唯一正确解，必须满足两个条件。第一，要满足方程2或02，这是必要条件；第二，在整个边界上满足所给定的边界条件。所谓边值条件包含了边值问题给出的三种情况。解的唯一性定理证明用的是反证法，即假定在表面为S的空间V内由两组不同的解和，它们都满足同一个边界条件及方程，即有2和2取两解之差，在V内一定满足拉普拉斯方程022引用公式格林第一定理SVDSDV2令式中的，得DVDVVV222DSNS（265）式中S为包围体积V的表面，N为S面的外法线单位矢量。在边界S面上，对于第一类边值问题，由于两个解和都满足同样的边值条件，所以由0SSS，代入式（265）可得02DVV因为被积函数2一定为正值，因此要使积分为零，必须有0，即常数我们在引入电位函数的时候就指出，电位的绝对值没有意义，因为和C代表的是华北科技学院毕业设计（论文）第3页共65页同一电场，所以和实际上是一个解，亦即解是唯一的。在边界面S上，对于第二类边值问题有NN即0N。所以根据式（265）仍然有02DVV同理，有C（常数），和代表的是同一电场，所以解也是唯一的。同理，对于第三类边值问题，在一部分边界1S面上由0，而在另一部分边界S1S面上有0NNN，所以由式（265）仍然可以得出02DVV同理，有C（常数），所以解也是唯一的。唯一性定理得证，说明满足泊松方程和拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解式唯一的。解的唯一性定理在求解静电场问题中具有重要的理论意义和实际价值。定理的成立意味着我们可以采用多种求解方法，包括某些特殊简便的方法，甚至是直接观察的方法。只要能找到一个既满足泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足给定的任何一类边值条件的解，那么此解必定式这个问题的唯一的正确的解，无需再做进一步的证明，如果因为方法不同而造成解的不同，那也只是形式上不同而已。有限元法在计算电磁学中的应用第34页共65页3有限单元法31泛函及泛函的变分我们通常所说的“函数”关系是指一个变量（因变量）对另一个或多个变量（自变量）的依赖关系，而泛函是函数概念的推广，它是指一个变量（因变量）对一个或多个函数的依赖关系，可以表示为VV【YX】其中YX是自变量，它是一个函数（属于满足一定条件的函数集合YX）；V是因变量，它是一个实数。泛函的定义域是满足一定条件的函数集合R。例如积分DXDYUFYUXUUV222（31）是一个泛函，因为取任何一个函数UUX,Y，就有一个积分值V（U）与之对应。若LYX为一泛函，当它具有下列性质时成为线性泛函（1）LCYXCLYX,其中C是常数；（2）2121XYLXYLXYXYL例如DXDXDYXQYXPXYLXX10（32）是一线性泛函。泛函VYX的自变量YX的增量（或称变分）是指函数YX与其附近的另一个函数1XY之间的差（YX和1XY均属于满足一定条件的函数集合YX），记为XY，即XY1XYXY（33）当泛函的自变量取得增量XY时，泛函也获得相应增量VVYXYVYX（34）华北科技学院毕业设计（论文）第35页共65页在满足一定条件的函数集合YX中，仅有一个函数Y0XY使泛函VYX取得极值，该函数成为极值函数。泛函的变分问题实质上就是寻求泛函的极值函数问题。32与边值问题等价的变分问题321与二维边值问题等价的变分问题同一个物理问题有不同的数学提法，为了便于理解各类边值问题及其等价的变分问题，我们先来讨论静电学中比较简单的二维泊松方程问题。在边界为L的平面域D中（见下图）的电荷密度为L，介电常数为，电位在边界L上满足齐次第一类边值条件，即边值问题为LND0L图31二维泊松方程的定解域22222YXA（35）和0L其中A为算子，A2，下面来求与边值问题式35等价的变分问题。为此，做相应的泛函FPFP,2,AF（36）有限元法在计算电磁学中的应用第36页共65页其中属于函数集合0M，0M中的所有函数在域D中连续可微，且在域D的边界L上满足齐次第一类边值条件，FP,A是A与的内积，定义域为D的两个实函数与的内积定义为DDDFP,（37）所以边值问题式96确定的A与的内积为DDAD,22（324）将式子VW代入上式，展开后求得1F（W）22（325）因为F是一固定的函数，而W式选取