线性代数—向量与矩阵习题附答案

1、.向量与矩阵习题2-1设，求：（1）；（2）解（1） .解（2） .2-2设，,（1）将化为单位向量；（2）向量是否正交.解（1） ,.解（2） 由于,所以向量正交.2-3计算：（1）；（2）.解（1） .解（2） .2-4计算下列乘积：（1）解 .（2）解 .（3）.解 .（4）.解 .（5）.解 2-5已知，,求和解 .2-6如果，证明当且仅当时成立证 必要性. 已知,且,有 ,即 ,化简得 .充分性. 由得,又 ,代入得,化简得 .证毕.2-7设，其中是阶单位矩阵，是维单位列向量证明对任意一个维列向量，都有证 因,故对任意一个维列向量有,从而有 故有，证毕.2-8对于任意的方阵，证明：（

2、1）是对称矩阵，是反对称矩阵；（2）可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和证（1） 由,所以是对称矩阵；,所以是反对称矩阵.证（2） .2-9证明：如果都是阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是与是可交换的证 必要性. 因，且,有,所以与是可交换的.充分性. 由，及，得，所以是对称矩阵.2-10设是一个阶对称矩阵，是一个反对称矩阵，证明是一个反对称矩阵证 由，得，所以是一个反对称矩阵2-11设是个线性无关的向量，其中全不为零证明中任意个向量线性无关证 从向量组中任取个向量，设有一组常数使得 （*）当时，线性无关，结论成立；当时，将代入（*）式得整理得,由于是个线性无关的向量，所以，由于全不

3、为零，所以，则向量组线性无关，故中任意个向量线性无关 2-12设向量组线性相关，向量组线性无关，（1）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例（2）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例解（1） 能由线性表示. 因线性相关，必有一组不全为零的常数，使得，下面只要证明即可. 若，则不全为0，于是有，即线性相关；又由线性无关，所以其部分组必线性无关，得出矛盾，从而各，即能由线性表示.解（2） 不能由线性表示. 如， ，显然，线性相关，线性无关，但是不能由线性表示.2-13求下列矩阵的秩：（1）.解 ，所以矩阵的轶为2.（2）解 ，所以矩阵的轶为4.2-14判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求

4、出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：（1）；解 用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩3，所以向量组线性无关.（2）解 用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩2，所以向量组线性相关，其中是其极大无关组，.2-15利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解 ,因此 .（2）解 ,因此 .2-16求解矩阵方程：（1）解 记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.构造,所以 .（2）.解 记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.,因此 ，从而有.2-17已知，,试用初等行变换求解 依据可得所以 .2-18用

5、分块法求： （1）.解 ；（2）解 .2-19用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）. 解 ,因则.（2）.解 ,因 ，所以.2-20把下列向量组正交化：（1），.解 用施密特正交化方法得，则是正交向量组（2），解 用施密特正交化方法得，则是正交向量组2-21已知，（1）求与的夹角；（2）求；（3）求一个与等价的标准正交向量组解 （1）因为，所以.（2）因，所以 .（3）先将向量组正交化，则是正交向量组.再将单位化，则即为所求2-22*判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？(1)次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算；(2)阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘

6、运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算解 （1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性.（2）是.（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性.（4）否，加法运算不满足封闭性.2-23*在维线性空间中，分量满足下列条件的全体向量能否构成的子空间？(1)；(2)解（1） 设，且满足；又，满足，而满足故此条件下能构成的子空间.解（2） 设，且满足，而 ，有，故此条件下不能构成的子空间.2-24*假设是线性空间中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成的子空间这个子空间叫做由生成的子空间，记做证 设有两组系数构

7、成的两个线性组合，分别为，且,其中是线性空间的非空子集；（i）；（ii）是任意数，有，故构成的子空间.2-25*设和是线性空间的两组向量，证明生成子空间和相等的充分必要条件是和等价证 必要性.已知，则必有是的子空间，可由线性表示，同时是的子空间，从而可由线性表示，故和等价.充分性.已知和等价，则可由线性表示，有是的子空间，同时可由线性表示，从而是的子空间， 故和相等.2-26*试证在中，由，生成的子空间与由，生成的子空间相等证 记，的两个生成子空间和,由于且，所以向量组和等价，故生成子空间和相等.2-27*在中，求向量在基下的坐标解 构造矩阵，故向量在基下的坐标为2-28*设是线性空间的子空间

8、，证明，若的维数等于的维数，则=证明 由是线性空间的子空间且的维数等于，则存在个线性无关的向量是的一组基，故；又由是线性空间的子空间，则是的一组基，故，所以=2-29*设、是线性空间的两个子空间，证明的非空子集=构成的子空间这个子空间叫做与的和子空间，记做+证 由的构成可知，它是线性空间的非空子集，下证构成的子空间:设有，满足，则，其中，所以；又任取数，有故构成的子空间2-30判断下列向量组的线性相关性：（1）；（2）；（3）解（1） 设有一组常数使得 ，即 ，得方程组 ，据克莱姆法则知该方程组只有零解 ，故线性无关解（2） 法一（依内容进度）：显然，即有一组不全为零的常数，使成立，所以线性相

9、关解（2） 法二：设有一组常数使得 ，即 ，得方程组 ， 因 ，故方程组有非零解，所以线性相关解（3） 法一（依内容进度）：显然它们各自前3个分量构成的向量组线性无关（本题的（1），由本章定理7知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），线性无关.解（3） 法二：设有一组常数使得，得方程组 ，该方程组只有零解 ，故线性无关2-31求下列向量组的秩，并判断其线性相关性：（1）；（2）；（3）解（1） 用所给向量组构造矩阵 ，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩是2，所以向量组线性相关.解（2） 用所给向量组构造矩阵,对矩阵A施行行初等变换：,矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩

10、是2，向量组线性相关.解（3） 用所给向量组构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：， 矩阵B的秩是3，故矩阵A的秩是3，向量组线性无关.2-32利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）. 解 因,故存在，计算代数余子式得，从而得,所以（2）解 因,故存在，计算代数余子式得，从而得,所以（3）. 解 因,故存在，计算代数余子式得，从而得,所以（4）.解 因,故存在，计算代数余子式得，从而得,所以2-33（1）若，证明可逆，并求；（2）若，证明可逆，并求.证（1） 由，即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为.证（2） 由，即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为.2-34设矩阵满足关系式，且，求矩阵.

11、解 由关系式，整理得，再由矩阵的分配律得，即 ，又由，则有,求其逆矩阵得，故矩阵.2-35将下列矩阵化为行最简形矩阵：（1）. 解 .（2）.解 .补充题B2-1如果，则称阶矩阵为幂等阵设是幂等阵，证明：（1）如果也是幂等阵，则；（2）如果是可交换的，则是幂等阵证（1） 若是幂等阵，则必满足,展开得，又由是幂等阵，即，则上式简化得，证毕.证（2） 已知，且是可交换的，即，则有,故是幂等阵.B2-2证明：主对角线元素全为1的上三角形矩阵的乘积，仍是主对角线元素为1的上三角形矩阵证 把主对角线元素全为1的上三角形矩阵一般形式展开得其中，矩阵为主对角线元素全为0的上三角形矩阵.任取两个主对角线元素全

12、为1的上三角形矩阵，分别记作，其中为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，则，由矩阵乘法定义，可知为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，再由矩阵加法定义，得仍为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，故有是主对角线元素全为1的上三角形矩阵，证毕.B2-3设是可逆矩阵证明：如果是可交换的，则也是可交换的证 已知是可交换的，即满足；又由是可逆矩阵，则有,所以是可交换的.B2-4设为阶矩阵，且可逆证明：对矩阵施行初等行变换，当把矩阵变为单位矩阵时，即变为证 由初等变换的性质，对矩阵施行初等行变换，相当于在矩阵的左边乘上相应的初等矩阵，即存在初等矩阵，使得题目叙述 的运算过程即为：,则有,即，从而,即对矩阵施行初

13、等行变换把矩阵变为单位矩阵时，即变为 B2-5设维向量组线性无关，和均正交，证明线性相关证 设有一组数使得 则由 ，得，因与均正交，上式简化为，从而有（1）若时，则必线性相关；（2）若时，由可得，即线性无关，由定理8推论3知n+1个n维向量和线性相关，再由定理4知，可由唯一线性表示，记 任取，由正交性，代入式展开化简得即，所以式化简为，得线性相关，证毕.B2-6（1）设，求的逆矩阵解 设，则有，即，由条件，有可逆，从而，又， 所以 .（2）设，求的逆矩阵解 记，由条件，上式矩阵可进一步化简得所以所求逆矩阵为,其中.B2-7如果向量可由向量组线性表示，证明：表示法是惟一的充分必要条件是线性无关证

14、 必要性因向量可由向量组线性表示，且表示法惟一，则存在惟一一组数，使得 假设线性相关，则存在一组不全为零的数使得,不妨设则有 将代入可得的新的线性表示式，这与线性表示式惟一矛盾，故线性无关充分性已知向量可由向量组线性表示，且线性无关，假设向量的线性表示式不惟一，存在两组不同的数与使得 ，及，两式相减得，此时由系数不全为零，得线性相关，矛盾，故向量的线性表示式惟一B2-8证明：任意个维向量必线性相关证 设维向量组，构成矩阵，则矩阵的秩，即向量组的秩小于向量个数，必线性相关B2-9证明：对于任意实数，向量组,线性相关证 由向量组构成矩阵，由的秩为2，则向量组的秩为2,小于向量个数3，故对任意实数，向量组必线性相关B2-10设是任意的4维向量，若可由向量线性表示，则线性相关证 由，则向量组的秩为2，又由向量的任意性，则向量组秩不超过3，线性相关；又由可由向量线性表示，则向量组的秩不超过向量组的秩，所以向量组的秩不超过3，线性相关B2-11设均为维向量，试证：线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示证 由维向量组线性无关，则它是维向量空间的一组基，则中的任一维向量都可由它们线性表示B2-12设均为维向量，若维线性无关的向量组可由它们线性表示，证明：线性无关证 由均为维向量，则其秩不超过；又由维线性无关的向量组可由它们线性表示，所以向量组的秩不低于；因此，