用对偶单纯形法求解线性规划问题

1、.例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x s.t. -2 x1 + 3x6 3 x1 - 6 x4 Xj0（j=1,2）解： 将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x s.t. 2 x1 - 3x+ x3 = -6 -3 x1 + 6 x+ x4-4 Xj0（j=1,2，3,4）其中，x3 ，x4 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表Cj-6-3-40CBXBbX1X2X3X4迭代0次0X4-62-3100X5-4-36010-5-300CBXBbX1X2X3X4迭代1次-3X42-2/31-1/300

2、X3-1610216-70-10在表4-17中,b=-160,而y0,故该问题无可行解.注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.(1) 设原问题(p)为 Min z=CX s.t. 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. 其对偶线性规划（D）为 Max z=bTY s

3、.t. 用对偶单纯形法求解（LP），得最优基B和最优单纯形表T（B）。对于（LP）来说，当j=n+i时，有Pj=-ei，cj=0从而，在最优单纯形表T（B）中，对于检验数，有（n+1，n+2n+m）=（cn+1，cn+2，cn+m）-CBB-1（Pn+1,Pn+2,Pn+m）=- CBB-1 (-I)于是，Y*=（n+1，n+2n+m）T 。可见，在（LP）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。同时，在最优单纯形表T（B）中，由于剩余变量对应的系数所以 B-1 =（-y n+1，-y n+2-yn+m） 例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x

4、1+8x s.t. x1 + 2x20 3 x1 + 2x50 Xj0（j=1,2）解： 将问题转化为 Max z =-6x1-8x s.t. -x1 2x + x3=20 -3 x1 - 2x+ x4 =50 Xj0（j=1,2，3,4）用对偶单纯形法求解如表 表4-18 例4-8单纯形表Cj-6-800CBXBbX1X2X3X4迭代0次-8X45/201-3/41/4-6X515101/2-1/2-1100031在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。 对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。例4-9：求解线性规划问题： Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3 S.t. x1 + 2x2 + x3 3 2x1 - x2 + x3 4 x1 , x2 , x3 0 标准化：Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3 s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3 -2x1+x2-3x3+x5= -4 x1,x2,x3,x4,x