5-3-3一元二次方程根与系数的关系.讲义学生版

1、一元二次方程根与系数的关系中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求一元二次 方程了解一元二次方程的概 念，会将一元二次方程化 为一般形式，并指岀各项 系数；了解一元二次方程 的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所 含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待 定系数的值一元二次 方程的解 法理解配方法，会用直接开 平方法、配方法、公式法、 因式分解法解简单的数字 系数的一元二次方程，理 解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程 的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系 数的一元二次方程根的情况及由方 程根的情况确定方程中待定系数的 取值范围；会用配方法对代

2、数式做 简单的变形；会应用一元二次方程 解决简单的实际问题目刚匸 知识点睛、韦达定理2be如果ax bx e = 0(a =0)的两根是Xi，X2，则xiX2，X1X2.(隐含的条件：厶;0)aa2特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设人,X2是方程X px 0的两个根，则人 X2 - -P ,X1 x2 =q .二、韦达定理的逆定理以两个数 人,X2为根的一元二次方程(二次项系数为1 )是X2 -(Xi X2)X X1X2 =0 .一般地，如果有两个数x1 ,x2满足X1x= -b ,XtX2，那么X1,x2必定是ax2 bx e = 0(a0)的aa两个根.三、韦达定理与根的符号关系

3、在厶二b2 -4ac 0的条件下，我们有如下结论：当c ：0时，方程的两根必一正一负.若b 0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 -卫:0 ,aaa则此方程的正根小于负根的绝对值.当c0时，方程的两根同正或同负若_b.0，则此方程的两根均为正根；若 _b：0，则此方程的aaa两根均为负根.更一般的结论是：若xi， X2是ax2 +bx+c =0(a工0)的两根(其中Xi x?)，且m为实数，当也0时，一般地： (x1- m)(x2- m)：0：=x1m，x2 : m (xi_m)(X2- m). 0 且(-m)(X2 -m) 0 ：二为.m，xm (冷一m)(x2-m).0 且(xi-m)

4、(x? -m)：； xi: m，x2 ：m特殊地：当m =0时，上述就转化为 ax bx弋=0心=0)有两异根、两正根、两负根的条件.其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根 ab，则必有一根a-b ( a , b为有理数).若ac ：0 ,则方程ax2 bx c = 0(a =0)必有实数根.若ac .0,方程ax bx弋=0心=0)不一定有实数根.若 a b c = 0，贝U ax2 亠 bx 亠 c = 0(a =0)必有一根 x =1 .若 a - b c = 0，则 ax bx c = 0(a = 0)必有一根 x = -1 .四、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定

5、方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元 二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的厶.一些考试中，往往利用这一点设置陷阱.例题精讲一、已知一元二次方程的一根求另一根【例1】 已知关于x的方程x2，kx-2=0的一个解与方程_ =3解相同.x 1 求k的值；求方程x2，kx-2=0的另一个解.【巩固】若方程x -4x亠c=0的一个根为2亠.,3，则方程的另一个根为、确定一元二次方程中字

6、母参数的值或取值范围【例10】已知方程2x2 mx+3=0的两根的平方和为 5,贝y m=【巩固】已知关于 x的方程x2 -mx - 2m -1 =0的两个实数根的平方和为 23,求m的值【巩固】已知关于x的方程x2 2x *1 -k2 =0的两根平方差等于2，求k的值.【例2】 已知为，乂2为方程x px q =0的两根，且Xi X2 =6 ,为X2 =20，求p,q的值.【巩固】已知关于x的方程x2 2(m 2)x m2 -5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积 大16，求m的值.【巩固】设为、x2是方程x2 -2 k 1 x k2 0的两个不同的实根，且x 1 x2 1

7、=8，则k的值是.1 1【巩固】已知关于x的方程x2(2k-3)x - k2 -3=0有两个实数根x1,x2，且为 x?- 一，求k值.【巩固】已知0X2是方程4ax24ax a，4 = 0的两实根，是否能适当选取a的值，使得(x,2xj)(X22xJ的值等于54【例3】已知关于y的方程y2 -ay a - 2 =0，分别写出下列情形中 方程有两个正实数根；方程两根异号.a所满足的条件:【例4】 已知关于x的方程x2 2mx m2 9=0只有一个正根，求m的取值范围.【巩固】已知关于 x的方程x2 2mx m2 -9=0至少有一个正根，求m的取值范围.【例11】已知关于x的方程x2 -11x

8、a 30 =0的两根都大于5,求a的取值范围.【巩固】已知关于 x的方程X2 4x_2m8=0的一个根大于 1另一个根小于 1求m的取值范围.【巩固】关于x的方程x2-2mx3m=0的两根为也满足（为-X2）2=16，如果关于x的另一个方程 x2 -2mx 6m -9 =0的两实根都在,x?之间，求m的值.【例12实数k为何值时，关于x的一元二次方程x2 _（2k -3）x - （2k -4） =0 .有两个正根？两根异号，且正根的绝对值较大？一根大于3，一根小于3?【巩固已知Xi、X2是一元二次方程 4kx2 -4kx - k 7=0的两个实数根.是否存在实数k ,使（2xi -X2）（xi

9、乞為=- 3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 求使X X2 -2的值为整数的实数 k的整数值.X2 Xi【例13】已知xi,X2( xi: x )是方程x2(m-1)x n = 0的两个实数根，yi, y是方程y2 (n 1)y 6m = 0的两实数根，且 x y1 =2 , y2 x2 =2，求m, n的值.【巩固】已知关于 x的方程4x2 -8nx-3n =2和x2 - n 3 x - 2n2 2 = 0 ,是否存在这样的 n值，使第一个 方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在,请说明理由.【巩固】已知方程 x2 ax _b

10、=0的根是a和c ,方程x2 cx d =0的根是b和d .其中，a、b、c、d为不 同实数，求a、b、c、d的值.【例14】关于x的二次方程x25x二m21有实根二和：，且| ： 0 6，确定m的取值范围.【例15】已知m , n是有理数，并且方程 x +mx+ n =0有一个根是v-2，那么m+n=x 亠 ay 2 za的取值范【例16】若实数a使得对于每一个实数 z，关于x、y的方程组第:总有实数解,|xy =2z 3z 1 围是.三、求与一元二次方程两根有关的代数式的值是方程x2 5x 0的两根，求【例17】已知二匚、是方程x22x5=0的两个实数根，：2亠加亠2的值为【巩固】已知:【

11、例18】已知方程2x2 _3x_5=0的两根为 为,x2，求： X|2 X22 ； Xi3 - X23 Xi5 - X2【巩固】Xi、X2是方程2X2 3X-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值: Xi2 - X22 Xi X2 Xi2 - 3x?2 -3x2【例I9】关于x的方程2x2kx-4=i0的一个根是一2，则方程的另一根是 ; k =【例20】如果a , b都是质数，且a2 -i3a m , b2 -i3b 5=0，求-的值. a b【例21】如果实数a,b满足a2-13a-14=0, b2 -13b -14 =0，则-的值为多少?a b【例22】如果实数a,b分别满足a22a

12、 =2 ,b222，求11的值a b【例 23】已知 2o(2 +2口 =1 , 2 B2 +2 B =1，求 - P| 的值.bXiX2 ：a【例24】阅读材料：设一元二次方程ax2 5x7=03=0）的两根是Xi、X2，则根与系数关系为:X1X2 =-.已知 p2 _ p _1 =0 , 1 _q _q2 =0，且 pq =1，求凹-的值.aq【例25】根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：21511已知2m -5m -0 , -2=0且m = n，求的值.n nm n【例 26】若 ab =1，且有 5a22001a9=0 及 9b22001b5=0，则-, a - =bbst +

13、4 s +1【例27】设实数s,t分别满足19s2 99s 0 , t2 *9919=0并且st=1，求 的值.Q/-）【例28】设方程（1998x） 1997 1999x _1 =0的 大根为a ,方程x _1998x 1990 = 0的小根为b ,则a -b =.【例29】设Xi、X2是方程3x2 -5x -6=0的两根，则代数式2x12x?-1的值是，代数式人 x2x2x1的值是.【例30】已知二，是一元二次方程x2，xT=0的两个根，求2. 5 ：,3的值.【巩固】已知 m是不等式组 2mT的整数解，:-.1是关于x的方程x2 -mx-m = 0的两个实根，求:3m 0a3 +P3的值

14、；a4 +30的值.四、根据一兀二次方程的两根构造一兀二次方程【例31】设x? px+q=O的两实数根为口、E，那么0(3、骨为两根的一元二次方程是 【巩固】已知方程 x2 -9x 8 0，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个 根为原方程两根差的平方.,_p + q(p +1 )=5【例32】已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实根为p、q，且 P22，试求这个一元p q +pq =6次方程.【巩固】已知关于x的方程4x2 - 4bx 7b = 0有两个相等的实数根，y、 y2是关于y的方程 y2 - 2b y *4=0的两个根，求以.齐，.耳 为根、二次项系数

15、为 2 一元二次方程.五、根与系数关系的其他应用【例 33】已知 a b c , a b c =1 , a2 b2 c3 .求证：_2 ： b c ：. 32【巩固】已知方程 ax2 4x b =0 (a : 0)的两实根为Xi、他，方程ax23x 0的两实根为用、：.若a、b均为负整数，且1，求a、b的值； 若 .；： - ：2 , xi ：X2，求证：-2 :：X2.【例34】已知a, b为正整数，关于x的方程x已知关于x的方程x2 -6x，c=0的一个根是另一个根的平方，求c的值. _2ax b =0的两个实数根为Xi,他,关于y的方程 y2 2ay b =0的两个实数根为 , y，且满

16、足冷y -x? y =2008 .求b的最小值.【例 35】已知 2007(a -b) 2007(b -c) (c a) =0(a =b),(a b)课后作业2.1. 已知关于x的方程x2 -13x k =0的两根:、-满足条件:=1，求k的值.2 23. 方程x 2(m 1)x m 4 = 0的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么22X 34. 已知Xi, X2是一元二次方程 4x _(3m_5)x_6m =0的两个实数根，且| ，贝U m= x225.已知关于x的方程t2 -1 X2 - 2t -1 x 1 = 0的两根倒数之和大于 0 ,求t的取值范围.6.已知二次方程kx

17、2 (2k 3)x +k 10 =0的两根都是负数，则k的取值范围是 7. 已知Xi、X2是关于x的一元二次方程4x2 4(m _1)x m2 =0的两个非零实数根， 问：人与x?能否同 号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由.2& 关于x的二次方程 mx 2(m -1)x -4 =0(m严0)的两根一个比1大，另一个比1小，贝U m的取值范 围是.9. 已知方程x23x-5=0的两根为Xi、x?，则Xi2 x?2 =10.已知Xi, X2是方程X2 -3x 仁0的两个实数根，则 丄丄二XiX22 2 211. 已知Xi, X2是方程x 3x7=0的两个实数根，则 XiX2 =22入2入1(Xi -2)(X2 -2) =, X1为 X2 X2,-X1X2X1 X2 二2 2,X1-X2=11 X2X1X1X2X1X212.已知x、y均为实数，且满足22432234 上xy x y =17 , x y xy 66 .求 x x y x y x