微专题25椭圆中与面积有关的定点

1、微专题 25椭圆中与面积有关的定点、定值问题狭义的面积问题多指三角形的面积，广义的面积还包括二次量由于二次量的计算量大，过程繁琐 ，常常会使学生陷入会而不对的绝境解决问题的关键是聚焦运算目标，利用整体代换、设而不求等思想方法，有效减少运算量，优化解题流程 .2例题： 如图 ，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x4 y2 1，点 A，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点 ， P 为椭圆位于第三象限内一点求证：四边形 AMNB 的面积为定值， AP与y 轴交于点M，BP与x 轴交于点N，2变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C： x y2 1，点 A， B 分别是椭圆的右4顶点和上顶点 ，

2、设 P 是椭圆 C 上一点 ，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点N.求证： ANBM 为定值x22变式 2 如图 ，已知椭圆 2 y 1，过椭圆的上顶点A 作一条与两轴均不平行的直线l交椭圆于另一点 P，设点 P 关于 x 轴的对称点为Q，若直线 AP， AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m， n，求证： mn 为常数 ，并求出此常数x22串讲 1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆4 y 1，过原点 O 的两条射线 l 1和 l 2 分别与椭圆交于A 和 B，记得到的 AOB 的面积为 S.1(1)设 A(x 1， y1 )， B(x 2，y2) ，求

3、证： S2|x1 y2 x2y1 |；1(2)设 l 1 与 l 2 的斜率之积为4，求面积 S 的值串讲2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22x4 y3 1，点A ， B分别是椭圆的左、右顶点 ，点 P 为椭圆上位于第一象限内的一点，直线 PA 与 y 轴交于点M ，直线PB与y 轴交于点 N ，若 MOA 与 NOB 的面积之和为6，求点 P 的坐标22(2018 无锡 1 月期末改编 )已知椭圆 E：xy22，F ，F分2b22a 1(a b 0)的离心率为1别为左、右焦点 ， A， B 分别为左、右顶点， D 为上顶点 ，原点 O 到直线 BD 的距离为63 .设点 P 在第一象限

4、 ，且 PB x 轴，连接 PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积 ，求直线 PA 的方程(2018 江苏卷 )如图 ，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 过点3，1，焦点 F1(3，20)， F2(3， 0)，圆 O 的直径为 F1F2.(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点P.若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点若 OAB 的面积为 276，求直线 l 的方程2答案： (1)x y2 1， x2 y2 3； (2)

5、(2， 1)， y5x 3 2.4解析： (1)因为椭圆 C 的焦点为 F1(3，0) ，F2( 3，0)，可设椭圆 C 的方程为x2y22 2ab1(a b 0)1312 1，22a 4，又点3，2 在椭圆 C 上，所以a4b，解得222b 1，a b 3，x22因此 ，椭圆 C 的方程为 4 y 1.2分因为圆 O 的直径为 F1F2，所以其方程为x2 y2 3.(2) 设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0， y0 )(x0 0， y0 0) ，22x0则 x0 y0 3，所以直线l 的方程为y y0(x x0)y0，即 y x0x 3 .5 分 y0 y02x24y 1，消去 y，得

6、(4x02 y02)x 2 24x 0x由x03y y0x y0，36 4y02 0.(*) ，因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 ( 24x 0)2 4(4x 02 y02)(36 4y02) 48y02(x02 2) 0.7分因为 x0，y002， y02， 1).9分 0，所以 x 1.因此，点 P 的坐标为 (2612642因为三角形OAB 的面积为7.所以2ABOP7，从而AB 7.设 A(x 1， y1)，24x 0 48y02（ x02 2）B(x 2， y2 )，由 (*) 得 x1， 222，11 分2（ 4x0 y0 ）222x48y0 （ x0 2）所以 AB2 (x2210.因为 x22 3， x ) (y y )2 y121200y0（ 4x02 y02） 2216（ x02 2）3242所以 AB21）2 49，即