§84双曲线的简单几何性质解析几何题怎样求范围

1、解析几何题怎样求范围 在解析几何中，范围问题既是重点又是难点由于范围问题能反映学生的思维能力，因此也一直是高考 命题的热点问题下面介绍七种求范围的常用方法 一、利用不等式的性质求范围 例1( 1997年全国高考题)已知圆满足：截y轴所得的弦长为2;被x轴分成两段圆弧，其弧长 的比为3: 1，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l:x 2y=0的距离最小的圆的方程. 解 设圆心为P (a,b),半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为 b, a,由题设知圆P截x轴所得 的弦长为 2r，故r2=2b2. 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1，从而有2b2 a2=i. 又点P (a,b)

2、到直线x 2y=0的距离为 d 卜 了气 5d2 a 2b2 a2 4b2 4ab a2 4b2 2(a2 b2) 2b2 a21 5 当且仅当a=b时，d取最小值 了，又由 2b2 a2=1 解得 a=1,b=1，或 a= 1,b= 1,由 r2=2b2 得：r=J2. 所求圆的方程为(x 1) 2+(y 1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 二、利用判别式求范围 例2 (1996年全国高考题)已知11、|2是过点P (2 , 0)的两条互相垂直的直线，且11、12与双曲 线y2 x2=1各有两个交点，分别为 A1、B1和A2、B2. (1 )求丨1的斜率k1的取值范围. (2)若

3、ABi| T5|A2B2，求IE的方程.(解略) y k1(x V2) 解 (1)由题意可设11、|2的斜率分别为k1、k2 (k1,k2工0),由 22消去y 得: y x 1 (k12 1)x2 2、2 2k12 1 0 若k： 1 0，则方程组只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾. 若 k； 1 0，即 k11 , 由(2.2k；)2 4(k12 1)(2k； 1) 4(3k； 1) 0 得: k1 同理可得k2 由 k1 k21得 k2 ki ki 1,且丄 ki 身,即 ki 1, ki 3 ki .3,且 ki1. ki (3, 1) 1, f)(f,1) 33 (1

4、, 3). 、利用函数的单调性求范围 例3 （ 1 9 9 0年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x轴上，离心率 e工，已知点 2 P（0, 3）到这个椭圆上的点的最远距离是 的点的坐标. .7 ,求这个椭圆的方程, 并求出椭圆上到点 P的距离等于.7 2 解设椭圆的方程为仔 a b 0), e .3 b .1 e2 2b. x2 4b2 2 爲 1.设椭圆上的点（x,y） b2 到P的距离为 3 222 (y J2 4b2 4y2 y2 3y 4 4 3(y i)2 4b2 3. 则当 y b 时，dmax 3 2, .7 b 则当 2 1时d2 max 2 4b2 3, (7)2

5、 4b2 3, 1,a 所求椭圆方程为 1,所求点为（. 3 i) 四、利用题设条件求范围 例5 （ 2 0 0 0年全国高考题） 已知梯形 ABCD 中，AB 2CD , 点E分有向线段 AC所成的比为入，双曲线过 C、D、E三点, 且以A、 2 3 B为焦点，当时，求双曲线离心率 3 4 解 以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系， 则CD丄y轴，因为双曲线经过 C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称, ci 设A （-c,0） , C（ ,h）,E（x0,y0），其中c AB为双曲线的半焦距，h为梯形的高，由定比分点 22 e的取值范围. 坐标公

6、式得: Xo (2)c 2( 1) yo 设双曲线的方程为 2 X 2 a 2 y b2 1，则e cc ,由点c、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e 代 aa 2 入双曲线方程得e 4 h2 b2 1 e2 I)2 _)2 1)b2 由得 h2 2 将代入，整理得 (44)12 4 3 e22 2 32,33 3 4， 3e2 2 4 解得.7 e 10 . 分析 直线I与双曲线C的左、右两支交于 A、E两点，所以直线I与双 曲线C的方程联立；消y得x的一元二次方程应有异号的两实根， 根据以上条 件可得含离心率e的不等式. 解 设F2( c,0 );双曲线C的斜率大于零的渐近线方程为y bx

7、 . a a 则I的方程为y (x c) b y 2 X 2 a a(x c) b 2 y_ b2 消y后整理得 (b4 a4)x2 2a4cx a2(a2c2 b4) /1与双曲线C有两个交点，b4 a4 0 设 A(Xa,a), B(Xb, Yb),则 Xa Xb 2224 a (a c b ) 4,4 a b A、E两点分别在双曲线的左、右两支上, Xa Xb 0 4、 a (a c b )22 即 即 440, b a，即 c a a b 即 e22故e 、2 双曲线C的离心率 e的取值范围是（,2, 练习题 2 1设P是椭圆笃 a 1(a b 0）上一点且/ FiPF2=90。，其中Fi、F 2是椭圆的两个 焦点，求椭圆的离心率的