几种典型带电体的场强和电势公式

1、名师推荐精心整理学习必备几种电荷分布所产生的场强和电势1均匀分布的球面电荷（球面半径为 R,带电量为q）电场强度矢量:E(r)=q4兀 0 r E(r)=0。,（球面外，即rR）（球面内，即r R）1 q U(r)= q电势分布为： R）u（r ）=73 电势分布为：0xR,即在柱面外） 电场强度矢量2兀r2I-IE（r） =0 。（r R，即在柱面内）U(r)=2 1 nS ,电势分布为：20 rI U(r)=亠 I n昔 （r A R即柱体外）（r R。若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。（即 U（R）=O ）。那么，其余各处的电势表达式为:U(r )=0/ LAU (r )=-0r R（

2、即在圆柱面外）R电场强度矢量:-P -Efr E(r)=r2sr0 r R （圆柱体内）（圆柱体外）电势:Pr2U(r)=-4齢、PR2PR RU (r ) = +In 亠 r4坯2呂0设圆柱体轴线处为零电势参考点。即6、均匀分布的带电圆环（带电量为电场强度和电势电场强度矢量:- 1E(x)=矢量。讨论：（a）当0r R（圆柱体内）其中假（圆柱体外）U (r = 0 )= 0。q ;圆环的半径为R。）在其轴线上x处的x。其中x0为轴线方向的单位（X2 + R2 PxR或XT处时Ep（X）三一_2。此时带电圆4兀先X环可视为点电荷进行处理。(b)当 xR 或 XT 0 时 Ep( 0) = 0

3、。即,带电圆环在其圆心处的电场强度为零。U仗匸史。其中电势的零参考点位于无穷远处。5 %（X2 + R2电势:5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为 P、半径为Ro）带电圆环在其圆心处的电势为:U(x)7、均匀分布的带电直线(其中，线电荷密度入，直线长为I )d的P点处：电场强度矢量：Ep (dIi =4兀 0 d(l + d )“1 V一 li O4兀呂0 (dI + d丿(1)在直线的延长线上，与直线的端点距离为Up(d )=(2)在直线的中垂线上, 电场强度矢量为:E；(d)=与直线的距离为 d的Q点处:21+ d2S d Jl2 +4d2电势:UQ(d )=In4兀012丿.Ji

4、pd22 Yl2 丿In Z二匚。-I +Jl2 +4d2(3)在直线外的空间中任意点处:电场强度矢量:E(r)=Exi +Eyj 。rEx =(Sin日2 Sin )4兀_AEF(Cos日 1 Cos日2 )或者改写为另一种表示式：即：Ep(r,z)=Err0 +Ezk。其中：4兀So（z）F+（z）L 2 Y 22+2+（乙冷）2 （罔店+（z+y+r2+（z+2）2Ez =4兀ScLV1 1EzI）2电势：Up=丄,nZV时?4兀名0（4）若带电直线为无限长时,那么,Jr2+（zT2与无限长带电直线的距离为d的P点处:电场强度矢量：瓦（小令d电势：Up小煮哙或Up （孟;吩。其中假设认（

5、r0）为电势的零参考点。（5）半无限长带电直线在其端点处:（端点与带电直线的垂直距离为d）电场强度矢量： E = Exi +Ey j。其中Ex 。4兀 0d8、电偶极子P的电场强度和电势（1）在电偶极子的延长线上x处:其中（X 丨）电场强度矢量：E（小计1 2P4兀先电势：U（x） = 1 4兀% x或 U（r）=1 P（2）在电偶极子的中垂线上y处：其中电场强度矢量：E（y）=-4兀电势：旳）=孟$+弓（3）在空间中任意点r处：其中（r 电场强度矢量：（采用平面极坐标系）（丫 l）r24兀Er F锂甞齐4兀名0 V其大小为E = NJ3Cos2日+1 ，4 0r方向为W = arctg勺-=

6、tgEr丄tgCtg。其中W为E与之间的夹角。 Er丿I2丿电势：U(r)= 1 PCos日1 Pr4兀So4；!3呂0 r电场强度矢量的另一种表达式为:3 匚 pe +3?”Pe )?式=-?二r0为矢径r方向的单位矢量。上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E矢量分解在电偶极矩pe和矢径r的方向上。可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。 若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）：因为各物理量之间的关系为：r2=X2 + y2 ，Cos日Jx2 + y2所以电势的表达式为:PxU (r )=4兀 5 (x2 + y2 y32而电场强度的表达式为:E = Exi +Eyj 。

7、其中:ExcU1P(2x2 - y2ex4沢 % (x2 +y2 养，EycU3Pxy4沢名0(X2 +y2)52其大小为:1P Jdx2 + y24o (x2+y2)2若采用三维笛卡尔坐标系（即三维直角坐标系）则有如下关系式:r2 =x2 +y+ z2 ， CosT = z rJx2 + y2 + z2那么，电势的表达式为:1U(r)=Pz4兀 (X2 + y2+z2 P而电场强度的表达式为:E二Exi +Eyj+ Ezk其中:cuPEx 一=3x zf5ox4兀 0 (x2 +y2 +z2 尸；Ey4兀 (xyz2 52名师推荐精心整理学习必备匚 _克 P (2z2-x2-y2)Z乱 4 兀名0(X2 +y2 tz2)529、带电圆盘在其轴线上距离圆心为 X点处：电场强度矢量:E7(x)=旦 1 tp 2( jxgf 丿对上式结果进行讨论:4 兀 SoX(a) 当 X R 或 XT 处时 Ep (X)三q_ i 或 Ep(r)三q勺r0 4兀 0此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。(b)当XR或XT。时，则瓦(x)煤二即此时带电圆盘可视为无限大带电平板进行处理。电势:Up(X) =(Jr2 +x2 -X2Eo带电圆盘在其圆心处附近