(完整版)概率论与数理统计试题库

1、概率论与数理统计试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。正确打“V” ，错误打“X” )对任意事件 A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B)() 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A() 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _ 样本方差S： = (Xi X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有

2、一个发生。三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X21 01311 1111P56 515302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量 X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差X表示在六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).x00.511.52(x)0.5000.6910.8410.9330.9772.530.9940.999七、(15分)设X1 ,X2,L ,Xn是来自几何

3、分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L ,0 p 1 ,的样本，试求未知参数 p的极大似然估计概率论与数理统计试题（1）评分标准 X;（2） X;“；（5） Xo解(1) ABC(2) ABU AC U BC或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ；(4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC每小题4分；解 设A 三段可构成三角形又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya,

4、 Oxy a，不等式构成平面域S.AaA发生 0 x , 02不等式确定S的子域A , 所以a ay , x y a2 210A的面积 1S的面积 415则分分分六解X “P(14b(k;100,0.20),EX=100 X 0.2=20,DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-5分分30 2014 20、X 30)()()V16J1610(2.5)( 1.5)=0.994+0.93310.927.n15分七解nx nL(X1, L ,xn；p)p(1 p)xi 1 pn(1 p)i1-5分10 分四解Y的分布列为Y01 4917 111P 530530Y的取值正确得2分，分布列对一组得

5、2分；五解EXx 2 凶 dx0,（因为被积函数为奇函数）2DXEX22 x1|x| 1e dxx2e xdx202 xx e02xe xdx04 分2 xex00 exdx 2.In L n In pd In L ndp p(Xin )l n(1p),i 1Xi n0,10 分解似然方程nn Xini 1得p的极大似然估计15 分概率论与数理统计期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分)1. 设事件 代B仅发生一个的概率为0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B至少有一个不发生的概率为.2. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) .2

6、3. 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为fY(y) .的指数分布，P(X 1) e 2，则4.设随机变量 X,Y相互独立，且均服从参数为5., Pmin( X ,Y)1 = 设总体X的概率密度为(1)x ,0 x 1,f (x)0,其它1.X1 ,X2, ,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为 解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X1)P(X 0)

7、 P(X1) ee , P(X 2)e2由P(X1)4P(X 2)知ee2 2e即2 210解得1，故P(X3)1 1 e .63设丫的分布函数为Fy (y), X的分布函数为Fx (x)，密度为fx (x)则Fy(v) P(Y y) P(X2 y) P( .y X ,y) FxG.y) Fx( ,y) 因为 X U (0, 2)，所以 Fx( ,y) 0,即 FY(y) FxG. y)J(y) Fy(y)1 _2丁x(J)0 y 4,另解 在(0,2)上函数y所以2x严格单调，反函数为h(y)其它.5fY(y)Afx(7?)诙4孑0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(XPmin(

8、X ,Y)1111) ePmin( X,Y)4 e1P(X 1)P(Y1)5.似然函数为L(X1 ,L ,Xn；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X)解似然方程得ln Ln ln(1)ln xiln xii 10的极大似然估计为1.ln xin i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C为三个事件，且 A, B相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC与BC也独立.(B) 若P(C) 1,则AUC与B也独立.(C) 若P(C) 0,则AUC与B也独立.(D )若C B，则A与C也独立()2设随机变量 XN(0,1), X的分布函数为(x)，贝U P(|

9、X| 2)的值为(A)21(2) .( B)2 (2)1 .(C) 2(2).( D)12 (2).()3设随机变量 X和Y不相关，则下列结论中正确的是(A) X 与 Y 独立.(B) D(X Y) DX DY .(C) D(X Y) DX DY .(D) D(XY) DXDY .()4设离散型随机变量 X和Y的联合概率分布为(C) X1是 的相合(一致)估计量(D) Xi不是的估计量.()解：1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以(A ), (B), (C)都是正确的，只能选(事实上由图可见A与C不独立.(X,Y)(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)

10、 (2,3)P111169183若X,Y独立，则7的值为2112(A)-,(A)J99991151(C),(D), . ()6618185 设总体X的数学期望为,X1,X2丄,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是(A) Xi是的无偏估计量(B) Xi是 的极大似然估计量5 EX1，所以X1是的无偏估计，应选(A)2)应选(A)2. X N(0,1)所以 P(| X | 2)1P(| X | 2)1 P( 2 X1 (2) ( 2) 1 2 (2) 1 21 (2)123P(X 2, Y 2)111111、/169183(-)(-3911233211丄92918故应选(A).3由不相关的等价

11、条件知应选(B)4若X,Y独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A 任取一产品，经检验认为是合格品B任取一产品确是合格品则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A)0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站

12、的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的， 并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数， 求X的分布列、分 布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k 2 k 3 3 kk 0,1,2,3.p(x k) cf(5)k(5)3kX012即P275436125125125X的分布函数为0 ,x0,27125 ,0x1,F(x)811x2,1251172x3,1251 ,x3.2 6EX3 -5 5DXc 2 3183 -5 525五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125(x,y)|x0, y 0, x y 1

13、上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y)2, (x, y) D0,其它.fx(X)2 2x,0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式 fZ(z)f (x, z x)dx其中 f(x,z x)2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当 z 0 或 z 1 时 fz (z) 0z的分布函数为zz0 z 1 时 fz (z)2 q dx 2x0 2z故Z的概率密度为fz(z)2z, 0 z 1,0,其它.0,z00,z0,fZzzfZ(y)dy0 2ydy,0z 12z ,0z 1,1,1 ,z1

14、.z1或利用分布函数法0 ,z0,Fz(z) P(Z z) P(X Yz)2dxdy,0z 1D11 ,z1.0 ,z0,2z ,0z1,1, z 1.fz (z)Fz2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域 D （ x, y） |1 x2 y2 2的 概率；（2）命中点到目标中心距离 Z X Y2的数学期望.D(1)PX,Y) D f(x,y)dxdyDx28 dxdy8rdrd(2) EZ E( X Y )r22 _e 822yr2e8x21 1e e ;2y8 d

15、xdy441 2-8re 8 rdrd1e 8 r2dr8 004 0r2re 丁r2eTdr 002冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm） XN（ ,2），今抽取容量为16的的置信样本，测得样本均值 X 10,样本方差s2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H。：0.1 （显著性水平为0.05）.（附注）阮5（16） 1.746,阮5（15） 1.753, t.025（15）2.132,2 2 20.05 (16)26.296(15)24.996(15)27.488.解:（ 1）的置信度为1下的置信区间为(Xt /2(n1)t /2(nX 1

16、0, s 0.4, n 16,0.05, t0.025(15)2.132所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）2 2 2（2）H0 :0.1的拒绝域为（n 1）.因为215S0.1415 1.624.996224，0.05(15)24.99620.05 (15)，所以接受H。.概率论与数理统计期末试题(3) 与解答、填空题(每小题 3分，共15 分)(1) 设事件 A与B相互独立，事件 B与C互不相容，事件 A与C互不相容，且P(A) P(B) 0.5，P(C) 0.2，则事件 A、B、C中仅C发生或仅C不发生的 概率为.(2) 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有

17、 3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 .2x 0x1(3) 设随机变量 X的概率密度为f(x) 亠现对X进行四次独立重复观0,其它，察，用Y表示观察值不大于 0.5的次数，则EY2 .(4) 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为(X ,Y)(1, 0)(1,1)(2,0)(2,1)P0.40.2ab若 EXY 0.8，则 Cov(X,Y) (5)设 X1,X2,L ,Xa仃是总体N( ,4)的样本，S2是样本方差，若 P(S2 a)0.01，则2(注：0.01(17)33.4J2 20.005(17)35.7,0.01(16)32.02

18、,0.005(16)34.2)解：(1)P(ABCABC)P(ABC) P(ABC)因为 A与C不相容，B与C不相容，所以A C,B C，故ABc c同理 ABC AB.P(ABC ABC) P(C) P(AB) 0.2 0.5 0.5 0.45 .(2)设A 四个球是同一颜色的B1四个球都是白球，B2四个球都是黑球则 A B1B2.所求概率为P(B2 | A)P(AB2)P(B2)P(A)P(BJ P(B2)c2 d 3c2 c； 100P(B2)31001所以 P(B2|A).2(3)Y B(4, p),其中PP(X 0.5)0.502xdx2 x20-41133EY4 -1, DY 44

19、444EY2DY21(EY)2-15EX 0.6 2 0.4 1.4, EY 0.5故cov(X,Y)EXY 1EXEY0.8 0.70.1.(5)P(S2 a)16S2P 44 a0.01即20.01(16)4a，亦即4a32a 8、单项选择题(每小题 3分，共15 分)(1 )设 A、B、C为三个事件，P(AB) 0 且 P(C | AB) 1，则有(A) P(C)P(A) P(B)1.(B) P(C) P(AU B).(C) P(C)P(A) P(B)1.( D) P(C) P(AUB).()(2)设随机变量X的概率密度为1(X 2)2f(x)142e , X(4) (X,Y)的分布为这

20、是因为得0.22b0.8且Y aX b N(0,1)，则在下列各组数中应取(A)a 1/2, b 1.(B)a .2/2, b 迈置信度为1 的置信区间为(B) (X2 -U1X(C) a 1/2, b 1.(D)a .2/2, b 、2.()(3)设随机变量 X与Y相互独立，其概率分布分别为X01Y0 1P0.40.6P0.40.6则有(A)P(XY)0.(B)P(XY) 0.5.(C)P(XY)0.52.(D)P(XY) 1.对任意随机变量X，若EX存在，则EE(EX)等于3(A)0.( B)X.( C) EX.( D)(EX )3.()(5)设X1,X2丄,Xn为正态总体N( ,4)的一

21、个样本，x表示样本均值，则的2U /2).- n(C)(x(D)(X2 _ 歸, U2 _J*由 P(C |AB)P(C) P(AB)应选C.(1)2、n).u /2 2n)(1 知 P(ABC) P(AB)，故 P(C) P(AB) P(A)P(B) P(AUB) P(A)P(B) 1X ( 2) 2 1 e2(、.2)2即XN( 2,2）故当a12,b应选B.(3)P(XY)P(X0.4应选C.(4)EE(EX)EX应选C.(5)因为方差已知,所以(XU /2、nX u应选D.(2)0,Y 0) P(X 1,0.4的置信区间为/n)2 _.2 时 Y aX2f(x) e(X 2) 240.

22、6 0.6 0.52三、（8分）装有 10件某产品（其中一等品 5 箱子中丢失一件产品，但不知是几等品， 旦一举品，求丢失的也是一等品的概率。从箱中任取2件都是丢失i等号疋 等解：设ABi则 P（A）P(B1 )P(A|B1 )1 C2 a C522 c； 10 c；所求概率为P(B1 | A)b N(0,Y 1)1)3件，三等品 2件）的件，二等品今从箱中任取2件产品，结果都等品i 1, 2, 3.P(B2)P(A|B2)5 C|9P )P(A|BP(A)四、（10分）设随机变量 X的概率密度为f(x)ax1, 0P(B3)P(A| Bs)x 2,其它.求（1）常数a ；（ 2）X的分布函数

23、F （x） ；（ 3） P（1 X 3）.02a 22解：(1) 1f(x)dx (ax 1)dx (xx)0 2a 2021a 2f (x, y)ex,0 y x,0 , 其它求（1）边缘概率密度 fx（x）, fY（y）;(2) P(X Y 1);(2) X的分布函数为0 ,x0,xxuF(x)f(u)du0(1 )du,0、20x 21 ,x2.0 ,x 0,2 xx,0x2,41 ,x 2.32x1(3) P(1 x 3)1f (x)dx1 (1)dx24五、（12分）设（X,Y）的概率密度为(3) Z X Y的概率密度fz(z).解：(1) fx (x)f (x, y)dy0, x0

24、0 ,x0,x0 e xdy, x0.xe x,x0.0 ,y0f (x, y)dxxe dx,yy0.0 , y 0, e y, y 0.1 e xdx dyy(2) P(X Y 1) f (x, y)dxdyx y 112(e y ey e 1)dy(3) fz (z) f (x, z x)dxf (x, z x)e x, x 0, x z 2x,0 ,其它.所以zxfz(Z)fz(Z)fz(Z)dx0,0.六、（10分）YU0,1且 X 与 Y 独立，求 E |X Y| ；(1 )设 XU0,1,XY N(0, 2)，所以X Y2E|XY|2-（2）因X,Y相互独立，所以ZZ X Y2

25、伍 m1）七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总体的样本f(x；)X1,X2丄0x1,其它0),Xn,求未知参数的矩估计和极大似然估计解：先求矩估计1 EX1x dx0的矩估计为$再求极大似然估计L(x 丄,Xn；1Xin(x.L Xn)1ln L nln1)nIn xii 1Ini 1x 0所以的极大似然估计为In xi概率论与数理统计期末试题4) 与解答-、填空题(每小题 3分，共(1)设 P(A) 0.5, P(B)15分)0.6 , P(B | A) 0.8，则A, B至少发生一个的概率为(2)(3)EX26，则 P(X 1) .1设随机变量X的概率密度函数为f (x)4(X 1)

26、,0 X 2,今对X进行8次0,其他.设X服从泊松分布，若(5)独立观测，以丫表示观测值大于1的观测次数，则 DY .1元件的寿命服从参数为 的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够100正常工作100小时以上的概率为.设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(,16Xi234.在置信度0.95下，i 1t.025 (15)2.1315)2)，今随机地测量 16个零16件，得i(t.05(15)Xi的置信区间为1.7531,解:(1) 0.8(2)P(AU B)X P( ), 6P(X 1)11P(B|A)普1 P(A)P(A) P(B)2EX DX (P(B) P(AB)得0.5P

27、(AB) 0.2(3)(4)求概率为(5)P(X 1)122,e 2e 1(P(AB)2(EX)P(X3e2.1.120.2故0.9.2.0)P(X 1)Y B(8, p)，其中 p设第i件元件的寿命为P(Y 100)P(X1的置信度(X0.5,s2P(X1)(x 1)dx4Xi，则 Xi100, X25100)5/2(n1E(五)，i1,2,3,4,5 .系统的寿命为丫，所100丄兀15e 1 1P(X1下的置信区间为S 1).7X t162 2Xi 16X 2,/2(n咚)15 i 1100)5e .S 1.4142, n 16to25(15)2.1315.所以的置信区间为(0.2535,

28、 1.2535)、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入()中，每小题3分，共15分)(1) A, B, C是任意事件，在下列各式中，不成立的是(A) (A B)UB AU B.(B) (AUB) A B.(C) (AUB) AB AB U AB .(D) (AU B)C (A C)U(B C).()(2) 设X1 , X2是随机变量，其分布函数分别为F1 (x), F2 (x)，为使F(x) aF(x) b(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值3 ,2(A) a, b55 *13(C) a, b22(3)设随机变量X的分布函数为中应取(A) Fx (5y3

29、).2 2(B) a , b .331 3(D)a , b .()2 2Fx(x)，则丫 3 5X的分布函数为FY(y)(B)(C) Fx(D)(4)设随机变量X1 ,X2的概率分布为3.3 y1Fx().5101111i 1, 2.4245Fx(y)Xi(A) 0.(B)4 .(C)2 .(D)1.()(5 )设随机变量X U0, 6,Y1B(12,)4且X,Y相互独立，根据切比雪夫不等式有P(X3Y X3)(A)0.25.(B)_5(C)0.75.(D)_5()1212解：(1)(A)：成立，(B):(AUB)ABAB应选(B)(2) F()1 ab.应选(C)(3) Fy (y)P(Yy

30、)P(35Xy) P(x(3y)/5)yX)3 y1P(-1 Fx()应选(D)55X1 x2且满足P(X1X20)1，则 X1 ,X2的相关系数为1 1(4) (XX2)的分布为0141412140EX10, EX20, EX1X20 ,所以 cov(X1兀）0，于是X1X20.应选（A）(5) P(X3 Y X 3)P(|YX | 3)921E(YX) EY EX0D(Y X) DYDX3 -44由切比雪夫不等式21T 5P（|Y X | 3）14应选（D）912三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为 的泊松分布， 超市的每一个人购买 A种商品的概率为 p，若顾客购买商品是相互

31、独立的， 求一天中恰有k个顾客购买 A种商品的概率。解：设B 一天中恰有k个顾客购买 A种商品 k 0, 1, LCn一天中有n个顾客进入超市n k, k 1, L而进入四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参则 P（B）P（CnB）P（Cn）P（B|Cn）n kn knek k zCnP (1n kp)n k n!k(p ) enk(1n kp)k!n k (nk)!pk 0,1, Lk!数 之值）为72分，96以上的人占考生总数的 2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y的分布列.EY 和 DY .(2)0.977

32、,(1)0.8413)84 72 解:( 1)YB(100, p)，其中 p P(60 X 84)()(聖上)2 (週)196 7224由0.023P(X96)1( )1()24口 24亠12得()0.977，即2，故1所以P 2(1) 10.6826 .故 Y 的分布列为 P(Y k) C爲(O.6826)k(O.3174)100 k(2) EY 100 0.6826 68.26, DY68.26 0.3174五、(10分)设(X,Y)在由直线x 1, x e2,y 0及曲线y21.6657.1-所围成的区域xX与Y是否独立fY(y)，并说明2其它.0 ,求边缘密度fx(X)和 求 P(X

33、Y 2).e2上服从均匀分布,(1)(2)D,丄其它.2x ,0 ,fY(y)f(x, y)dxe2 11 2dX1 dx,1 2y 1,其它1 ye 21 , 2-(e 1),21 12y 2其它(2)因 f(x, y) fx(x) fy(y)，所以X ,Y不独立.(3) P(X Y 2)1 P(X Y 2)f(x,y)dxdyx y 21 1140.75.(0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区六、(8分)二维随机变量(X,Y)在以(1,0),fz (z)，则y, y)dy当z1, (x, y) D,0,其它.当1 或 z 1 时 fZ(Z)0z 1dy0z 1时fz所以Z的密度为z

34、1y, |z| 1,0 ,其它.fz(z)解2：分布函数法，设 Z的分布函数为Fz(z)，则Fz(z)P(Z z) P(X Y z)f(x,y)dxdy0 ,z 1故Z的密度为七、(9分)f(x)机样本dxdy,Di1 ,fzFz已知分子运动的速度(X)24x20 ,(Z 1)241 ,|z| 1,其它.X具有概率密度0,0,X1 ,X20.(1)求未知参数的矩估计和极大似然估计;无偏估计。解：(1)先求矩估计1 EX4x3(-)23 e dx2x2(d2(X)2xedx再求极大似然估计L(X1,L ,Xn；4x23nn跖XL Xn)2ln L 3nln ln(n24n)2ln(X1L Xn)

35、ln Ld3n 23i得的极大似然估计(2 )对矩估计2Xi 03nz 1,1 z 1,z 1.丄，xn为X的简单随(2)验证所求得的矩估计是否为12i1-X21 nI X2Xii 11E 卩 EX222 厂sT-所以矩估计X是的无偏估计.2八、（5分）一工人负责n台同样机床的维修，这 n台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为1丄，且相互独立，若 Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走n的路程，求EZ.解：设从左到右的顺序将机床编号为1, 2, L , nX为已经修完的机器编号，丫表示将要去修的机床号码，则1P(X i),n1P(Y

36、 j) -, i,j 1,2,L ,nn1P(X i, Y j) P(X i)P(Y j) nZ |i j |a于是n nEZ|i j|aP(X i, Y j)i 1 j 1in(i j) (j i)j 1j i 13n概率论与数理统计试题（5）判断题（每小题3分，本题共15分。正确打，错误打“X” ）,必有 P(A-B)=P(A)-P(B) ,贝U AU B=A U AB U B2 2 22),则 X Y N(0,! -2 )、(10 分)设 P(A)0, P(B)0 ,证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩X （百分制）成绩（即参数

37、之值）为72分，96分以上的占考生总数的近似服从正态分布，平均2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下1.52.5（x）0.50.8410.933五、（15分） 设（X,Y）的概率密度为0.9770.9940.999f(x,y) ey)x 0,其他.Y 0,设A、B是Q中的随机事件设A、B是Q中的随机事件样本均值X =丄X i是母体均值EX的一致估计n i 1 若X服从二项分布 b（k;n,p）,则EX=p X N( , ；) , Y N(计算（10分）（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率问X,Y

38、是否独立?六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为k 1P（X k） （1 p） p, 0 p 1, k 1, 2, L求EX与DX七、（15分）设总体 X服从指数分布(X )f(x；)0 ,其他.试利用样本Xi,X2丄,Xn ,求参数 的极大似然估计概率论与数理统计试题(X； V；(1)设 A5)评分标准P(A) X; V;(5) Xo他们的生日都不相同，则电365(2)设 BP(B)至少有两个人的生日在同一个月，则C2C1 p2C2C2 c3p2 c 1412 114124厂21212441 .;96P(B)1 P(B)P：124419610三证 若A、B互不相容，则AB，于是 P

39、(AB) 0 P(A)P(B) 0所以 A、B不相互独立.5分若A、B相互独立，则P(AB) P(A)P(B) 0,于是AB ,即A、B不是互不相容的5分解 0.023 P(X 96)967224(空上)1刍浮)0.977,242,嗟 1.所求概率为P(60 X 84)(8472)(沦)岸)岸)12分=2 ( 1) -1=2X 0.841-1=0.68215解边际密度为x 0,fx(X)f (x, y)dye xe ydy, x 0;0,-5 分0.fY(y)0.10因为 f (x, y)fx(x) fY(y)，所以 X,Y 独立.15六 解1 EXk(11P)P kqk 1(xk)1-8分q

40、其中q由函数的幕级数展开有11 x 所以EX1r_x因为EX2kk pqk 1所以DX1p (1 x)212 分x( xk)k 1x(1 x)216分EX2 (EX)2解 L(X1 ,L ,Xn；(x )A2 .Pnx ne i120 分x , i 1,2,L , n.In L nnXii 1d ln Ld由极大似然估计的定义,的极大似然估计为 $人1)15 分(0.05)-正态分布表如下概率论与数理统计试题(6)一、判断题(本题共15分，每小题3分。正确打“V” ，错误打“X” )设A、B是Q中的随机事件，则A-BA() 对任意事件 A与B，则有P(AU B)=P(A)+P(B)()若X服从二项分布 b(k;n,p),则EX=npq()X N (,2 ),Xi , X 2，Xn是X的样本，则N(,2 )()X为随机变量，则 DX=Cov (X , X) ()二、(10分)一袋中装有 m枚正品硬币，n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋 中任取一枚，已知将它投掷 r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？三、(15分)在平面上画出等距离a(a 0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长丨(1 a)的针，求针与任一平行线相交的概率四、(15分) 从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是