史上最全的数列通项公式的求法13种

1、最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。 而作为给出数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项 公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 利用等差数列或等比数列的定义求通项 若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an S 1求解.Sn Smn 2(注意：求完后一定要考虑合并通项 )例2.已知数列an的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n,n 1 求数列a.的通项公式.已知数列an的前n项和Sn满足Sn n2 n 1，求数列an的

2、通项公式. 已知等比数列an的首项a11，公比0 q 1，设数列bn的通项为bnan 1an 2，求数列 bn的通项公式。解析：由题意，bn 1 an 2 an 3，又a.是等比数列，公比为qbn 1bnq，故数列bn是等比数列，b1 a2 a3 ag agq(q 1)，an 1an 2二bnq(q 1) qn1 qn(q 1)三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想 出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明四、累加(乘)法对于形如an1 anf(n)型或形如amf(n)an型的数列，我们可以根据递推公式，写

3、出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式 例4.若在数列an中，印 3， a* 1 an n，求通项an。例5. 在数列an中，a1 1， an 1 2nan (n N )，求通项an。五、取倒(对)数法a、an 1 pa；这种类型一般是等式 两边取对数后转化为 1 pa. q，再利用待定系数法求解11b、数列有形如f (an,an 1,anan 1) 0的关系，可在等式两边同乘以 ,先求出一,再求得an.anan 1anc、 an 1f(n)ang(n)an h(n)解法：这种类型一般是等式 两边取倒数后换元转化为an 1pan q。例 6.设数列an满

4、足 a1 2, an 1 an (n N),求 an-an 3例7设正项数列an满足ai 1 , an 2a21 (n2).求数列a.的通项公式.解：两边取对数得：log；n 1 2log；n1 , log；n 1 2(log ；n 1 1)，设 * log；n 1 , 则bn 2bn 1bn是以2为公比的等比数列，b1 log； 1 1.bn 1 2n1 2n1 , log；n 1 2n 1 , log；n 2n 1 1 ,/ an 221 1变式：1、 已知数列 an满足：a1 =，且 an = 3na“T( n 2, n N )22anT -|+ n 1求数列 an的通项公式；2、 若数

5、列的递推公式为a1 3,1 2(n )，则求这个数列的通项公式。an 1an3、 已知数列an满足a1 1,n 2时，an 1 an 2a“佃，求通项公式。4、已知数列 an满足：an口,a1 1，求数列 an的通项公式3 an 115、若数列 an中,a1=1,an2anan 2n N，求通项a n六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算七、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列a n +k的形式求解。一般地，形如a“1=pan+q(p工1,pq工0)型的递推式均可通过待定系数法对常数 q分解法：设an 1 +k=p (a“+k)与原式比较系数 可得pk k=q,即k=J，从

6、而得等比数列an+k。p 11例9、数列a.满足a1=1, an=-an 1+1 (n 2),求数列an的通项公式。2说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列 an 2，从而达到解决问题 的目的。练习、1数列&满足a1=1, 3an 1 an 7 0 ,求数列a“的通项公式。2、已知数列an满足a1 1，且an 1 3务2，求a. 2、递推式为am pan qn1 (p、q为常数)时，可同除qn 1，得 卫显1，令bn *q q qq从而化归为an 1 pan q (p、q为常数)型.、例 10.已知数列 an 满足 a1 1 , an 3n 2a. 1 (n 2)，求 an 1解

7、：将an 3n 2am两边同除3n，得显13n2 2bn 1 令 bn t (bn 13 32 bn 3(bn 1 3)，数列3设bn才，则bn 1t 3 条件可化成2为公比的等比数列.3bn 3an bn3n 3n( 33(|)n1 3)3、形如 an 1 pan an b (p 1、0，a2a n 1亍t)bn82 n 1-(；)因 bn33n 1 n 2an 320)色13nbnbn33是以b|an2 an 13尹1t3a338为首项,解法：这种类型一般利用 待定系数法构造等比数列，即令an1 x(n1)y P(an xn y)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为an xny是公比

8、为p的等比数列。例 11:设数列 an : a1 4,an 3an 1 2n 1, (n2)，求 an.解：令 an 1 x(n 1) y3(anxn y)化简得：an 13an 2xn2y2x 2所以2y x1解得y所以an 1(n 1) 3(an n)又因为a11an从而可得3n5，所以数列n 5 3n 1,所以 ann是以5为首项，3为公比的等比数列。n 15 3 - n4、形女口 an 1 pan解法：这种an 1 x(n 1)22an bn c(p 10,a 0)类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令2y(n 1) c卩何 xn yn c)，与已知递推式比较，解出 x,y,z.从而

9、转化为an xnyn c是公比为p的等比数列。例12:设数列an : a14,an 3ax 2n21,( n 2)，求 an.八：不动点法，形如an 1pan qran h解法：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于n N，都有an 1pa(其中p、q、ran hr、h均为常数，且ph qr,r 0-)，那么，可作特征方程xrpxrxq，当特征方程有且仅hX2时，贝U旦是等比an X有一根Xo时，贝U是等差数列；当特征方程有两个相异的根X14 Xo数列。3,求a.的通项公式.a 4例15:已知数列a.满足性质：对于n N,ani,且ai2an 3九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换

10、和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数 列具有规律性。1 例16已知数列 an满足an 1 一 (1 4an , 1 24an)，a1 1，求数列 an的通项公式 16 * 1解：令 bn .1 24a.，则 a.(bn 1)v24故an 1124(b：1 1)，代入 an 11(1 4an. 124an )得16丄(V 1241)1 4吕江1)1624bn即 4b； 1(bn 3)2因为bn124an 0，故 bn 1,1 24an 10则 2bn 1bn3，即 bn 1- bn232，可化为bn 113-(bn 3)，2所以bn 3是以b 3 ,1 24s 3 .1 24 1 3 2为首

11、项，以1为公比的等比数列，因此 bn 3 2(2)n 1111(才2，则 bn (-)n 2 3，即.,1 24an(-)n 2 3，得222|(V (2)n3 421。3评注：本题解题的关键是通过将,1 24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化1 3bm -0 3形式，从而可知数列bn 3为等比数列，进而求出数列bn 3的通项公式，2 2最后再求出数列an的通项公式。例18.已知数列an满足a1 2，an1 上，求an1解析：设矽2 cos3，1 anan 1 y-，a2 cos ,a3 cos -2，an cos -622 32n 1 3总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差

12、(或等比)数列，从而利用等 差(或等比)数列的通项公式求其通项。十、双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例19.已知数列an中，a11 ;数列bn 中，b10。当 n 2 时,1 an(2an 1 bn31解：因 an bn(2an131 ) , bnbn 1 )(an 131(an 132bn 1)，求 an,bn.2bn 1) an所以an bn an 1 bn 1an 2bn 2? a2 b2a1b11即 an bn 1(1)1又因为 an bn -(2an 133(an所以an bn(1)n1.即 anbn由(1)、(2)得:an11bn 1

13、 ) (an1 2bn1)：(an1 bn 1 )33bn1)(J)2an 2 5 2)(，佝 D)331 n 1U)31 1、n.11 (；)， bn12 32(2)扩卜一、周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。2an,(0 an例20:若数列a满足an 12)2anan，若a11)6，则a20的值为变式：(2005,湖南，文，5)已知数列an满足a10, anan3一(n1)，则 a20 =A. 0B.C. 13D.2十二、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.例 21.已知 f (x) (x 1)4,g(x) r (x 1)3, (r 0,1),数列 an满足 a2,an1 (n N )有条件(anan 1)g(n 1)f (an 1)0,求 an(n 2).解：由得:(an an1) r (an 1 F(an1 1)40即(an1 1)3r(an a)(an 11)0 对 n N ,an 1,故r(an a. J (a. 11)0合并同类项得:anr 1 an r1,再由待定系数法得：r 1an 1(an 11).rr 1 n 1 an1 () r十三、循环法数列有形如f(