分式运算技巧汇编整合版

1、分式运算技巧分式运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分 .但对某些较复杂的题 目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分，要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧 .一、逐步通分法1 1 1例1 计算丄1 x 1 x 1 x分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大.注意到前后分母之间存在着平方差关系，可逐步通分达到目的.224解：原式=_=_1 x 1 x 1 x评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计 算.依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。二、整体通分法2例2计算a 1a 1分

2、析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那 么计算起来就可以简便一些.a2 a211a 1 a 1若把整个多项式看作分母为 1的分式，再通分相2解：原式=丄(a (a 0a 1评注：此题是一个分式与多项式的和, 加，使得问题的解法更简便.三、分裂整数法例 3.计算：2Z_5x 1 x 2 x 4分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分.x 11 x 2 1 x 4 1 x 3 1x1x 2x 4x 3111 1(1)(1)(1)(1 )x 1x2x 4x 31111x1 x2x 4x3x2 (x1)x3 (x4)(x1)(x2)(x4)(

3、x3)11(x1)(x2)(x3)(x4)2（X3)(x4) (X 1)(X:2)（X1)(X2)(X3)(X4)X27x12 X2 3x2（X1)(X2)(X3)(X4)10X10（X1)(X2)(X3)(X4)评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时， 分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。般要先利用分裂整数法对四、裂项相消法5+ 555例 4.计算：X + X X +3X42 艺 +:5 + S 贸 *7戈+12=1f1解：原式盟（掘+ 1）（掘“）（址+ 2）仗+2）（十仪十3）（北十4）LUr ?7三 W 齐r k(刁氐 K4 4 盟 + 4 -X K依

4、 + 4)4xCx + 4说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式a a+1 a(a+ 0 各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用裂项相消法。五.活用乘法公式例 4.计算：7T）m）（d原式=仗-申収+典P + 士）（ J+士 x，+占*十占躺-1）七 W）-赛站-JT说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。六.见繁化简法例6.计算：Jx 2x分析分式加减时， 化为公分母的形式X 2x2 x 63x 2如果分母不同要先分解因式,4x 3再找到公分母，把每个分式的分母

5、都解：原式2(x1)(x 2)(x 1)(x 3)(x 2) (x 3)(x 1)2x 22(x214x 3)1x 1(x2 3x 2) (x2 5x 6)(x 1)(x 2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 3)评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分， 可使运算简便。在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。七、挖掘隐含条件，巧妙求值例7若x290，则2X 5x 6x 3解： x290 x但考虑到分式的分母不为0,故 x=3所以，原式屮说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关 键。八、巧用特值法

6、求值法。例8已知4 I 6，则2x 3y 4z =3z解：此题可直接令x=4, y=5, z=6，代入得:原式1718说明:根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。九、巧设参数(辅助未知数)求值例9 已知实数X、y满足x:y=1:2解：设-y k，则x k , y2k，故原式3k 2kk 2k说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数(辅助未知数)求解是一种常用的方十、整体代入丄=5，求3x 5xy 3y的值. yx 3xy y分析：将1 丄=5变形，得x-y=-5xy,再将原式变形为 3(xy-)5xy ,把x-y=-5xy x y(x y) 3xy代入，即可求出其值.1

7、1解：因为一 一 =5，所以 x-y=-5xy.X y5xy 3xy所以原式=3(x y) 5xy =3 ( 5xy) 5xy= 10xy=5(x y) 3xy 5xy 3xy 8xy 4说明：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值, 可避免由局部运算所带来的麻烦.卜一、倒数法1a2例11、已知a+ =5.则2一aa a 12分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出.如果将的分子、分a4 a214母颠倒过来，即求a2 1a2=a2+1 + X的值，再进一步求原式的值就简单很多.a21解：因为a+-=5,a(a+丄)2=25,a所以a2=23.所以42.a a

8、12a=a2+1 +2=24, a2所以2a 2a a_ = !_1 241说明：利用x和丄互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式 x求值问题思路自然，解题过程简洁.十二、主元法2 2 2x y z例 12 已知 xyz 丰 0,且 3x 4y z=0,2x + y 8z=0,求的值.xy yz 2zx解：将z看作已知数，把 3x 4y z=0与2x + y 8z=0联立, 得 3x 4y z=0,2x + y 8z=0.解得 x=3z,(3z)2(2z)2 z2y=2z.所以，原式=gg=14z2 1.(3z) (2z) (2 z) z 2z (3z) 14z说明：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为主元, 另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化.十三、特殊值法1a例13 已知abe=1,则ab a分析：由已知条件无法求出后代入求值.解：