电磁学第8章-电势s

1、第8章电势electric potential 8.1静电场的保守性和环路定理 8.2电势差和电势 8.3电势叠加原理8.4电势梯度 8.5静电势能 &6电荷系的静电能 &7静电场的能量电场的性质由电场强度和电势描述电场强度E是矢量，给电荷以力电势U是标量，给电荷以能量W=qU力学中的保守力保守性(conservative)就是守恒性 由动能定理AEk+AEp=A(Ek+Ep) = 0总能量的变化为0,也就是能量守恒8-1静电场的保守性静电场力做功与路径无关审场力是保守力1点电荷的场中移动点电荷，电场力做的功库仑力做功与万有引力做功考虑质点系中的两个质点g和之间的库仑力:极坐标系Idfrd6e

2、ep （）X位引力亠鱼肚4%勺 r坐标系的单位向量极坐标系:（丿位向量tr = re r移 dr = drer + rd Oe6径向分量+切向分量元功dA =戸d=(丄-理0J(d电+ rd俛4昭r=二 1El=i qw ”沿着引力的垂直方向 4兀 r2 移动*引力不做功A = Jo4昭结论：库仑力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质 点初、终态的相对位置。2.多个点电荷组成的带电体的电场 也有相同的性质：做功与路径无关rQ rQ rQ = Edl =二（厶+丘2+ +）/pEd+pE2dlipEjdl =A(PfQ)/.静电场的保守性任何静电场，电场强度的曲线积分只取决于起始和终末 位置

3、，而与路径无关。静电场的环路定理(Circuital theorem of electrostatic field)静电场的保守性还可表述为: IIIII議器场牒瞬器曲线积分等于零。(%片-dl =0E- dl = 0曾翱黝意义就在于“方便无论质点的轨迹多么复杂，不管过程如何，只要初末位置确定，保守力的功就可以轻松得出A保=-AEpQo静电力将电荷从电场中P点 移动到0点的过程中，静电场 力做正功时，电势能减少。-(WQ-Wp) = APQ=F-dl点电荷为例A =竝 4昭( )一(6rp_Jo(1_1) = a 4 rQ rp若定义Po为电势能零点，则P点的电势能为%=0 - Wp =WPP

4、 =wp -Wpo = qQp Edlw =- = Q(Ppp 4处0 Fp引入电势2电势：场点P的电势定义为：定义：将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势为零的点 的过程中，静电力所做的功，即 u =加=竖I 卩咖q |当电荷只分布在有限区域时，零点通常选在无穷远处。000Up=Upg=Up-Ug=pEd在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选取无关。正电荷的受力方向就是电场的方向, 电场总是从电势高处指向电势低处。3、电势差rQ = UP-UQ=pE-dl定义：两点间的电势差为将单位正电荷从电场 中P点移动到0点的过程中，静电力所做的功电势差和电势的单位相同，在国际单

5、位制中，电势的单 位为：焦耳/库仑(记作C),也称为伏特(Volt,V),即 1V=1J/C当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移 动的过程中电场力所做的功： pE dl - q(Up - Uq)匀强电场的电势差UPQ = UP-UQQ =rQ =J E dlEdx = Edo9 r4码厂rooU产Up-U严占山=00 qUoo=0的场，电势为正，离电荷越远，电势越低。正点电荷周围负点电荷周围的场,电势为负,离电荷越远，电势越高。4、点电荷电势的计算 点电荷产生的电场中的电势分布。用场强分布和电势的定义直接积分。E =乞标量加法求电势oo Edl =E2 +) dl 二工W)Up)

6、= Ej dl =JpQi4码U(p) =工?2QiI微积分求电势电荷体密度为Qe的带电体产生的电势：U(P)二v 4 亦(/对有限大小的 带电体电荷面密度为Oe的带电体产生的电势:C7(P) =ScredS4亦厂电荷线密度为He的带电体产生的电势:C/(P) =例：CQ是以。点为圆心，以人为半径的半圆弧，在A 点有一电荷为+q的点电荷，0点有一电荷为一Q的点 电荷.线段AB=OB=OD=R.现将一正电荷q从B点沿 半圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所作的功为E - dl = q (U p t/g)UB=- + - = 0uq I q4 兀筑R tiSqR4亦6亦0人ABD=q0(UB-UD)

7、= Qq+q4 -qA B O D解：因此，当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动的过程中电场力所做的功：Apq =， 一例一根均匀带电的直线（非导体），长为L, 带电荷量Q ,求延长线上距离端点为d的点P的电势,如图所示。匸1 片 ddx的位置为x,I_XI1研究对象是P点的电场，把带电体放入坐标系dq = 2dxdq位置为x,距离O点为了把带电体分割为多个点 2=e电荷，引入线电荷密度l例11求均匀带电圆环上的电场强度分布。已知带电量为0。dU =4亦0( x2 +7?2（2）若另有一正点电荷Q,质量为m ，从0点以初速度V。沿x轴正方向被释 放，求该点电荷的最终速度。Aoo-

8、12 12F dr mv mvn2 2 A = -ZEP例88计算电偶极子的电场中任一点P的电势 5号W急I 当rl可做如下近似：厂 ZZZZ 厂COS&+ 2r_ = r + COS&2 二 q rj+q叮2 4恥)/ 2 I 2 小 4tt(F 0 ( Y - cos 0)0_4Pe-r = ql-r = qlcos0IcosO十 根据高斯定理得到电场分布， 积分求电势例81求均匀带电球面的电场中的电势分布 设球面半径为人，总带电量为。解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。它具有与场源同心的球对称性。故选同心球面为高斯面。场 强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。rR高斯面内电荷为

9、Q我皿我MSdS = E47rr2Q，:.E= Q ?r rR当rR高斯面内电荷为/. E = 0 rRrRC/(r)=Edr + C -Q-2dr = J厂JR 40r40R均匀带电球面是个等势体。在球面处场强不连续，而电势是连续的。A例8.5两个均匀带电球面的电场和电势分布电场叠加和电势叠加设总例求均匀带电球体，产生场的电势分布。电量均为g,球的半径为人q 入4亦o2qr 八 4亦店3 r解：均匀带电球体，由Guass定理求得：ooE = U(rR)= Crdr =一Jr = Jr 4兀丫Jr 4兀勺厂4”勺厂U(r u AJr 4兀勺7?尺4兀勺厂Jr 4兀耳7?3= q尺2 | 久=4

10、兀勺7?3247TqR 4兀勺7?1 2 2RE f例8.2求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。度已知场强为：e=方向垂直于带电直线。27C YPoEdl若仍然选取无穷远为电势童点，则由积分可知，各点电势将 为无限大、失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直线 为乙的卩0点为电势零点，则距带电直线为厂的点的电势:U =厂 EM + f0 E - df = 0 +PoPJ pJ p=-dr =In 乞2兀巒2兀鱼r-Inr + C电势零点不能谥隔出，当电荷分布扩展到无穷远时，选在无穷远处。Up= (pdT =重点总结标量加法求电势根据点电荷电势，微分电荷，积 分求电势根据高斯定理得到电场分布

11、，积 分求电势根据电势差，能够得到电场的功 和电势能变化8-4电势梯度1. 等势面等势面一电势相等的点所组成的曲面。引入等势面也是为了形象地描述静电场的电势分布。虚线等势面 实线电场线实例S)孤立点电荷)对等量异号点电荷等势面与电场线的关系：等势面与电场线处处正交;等势面密的地方，场强数值大；反之，场强小。例11求均匀带电圆环上的电场强度分布。已知带电量为0。dU =4亦0( x2 +7?2通过微分，可以很容易从电势得到电场E = Ex一dUdx45静电势能1.点电荷在已知场中的静电势能即电势能为其中厶为势能零点。电势是属于静电场E的，而电势能属于已知电场E和点电荷所共有。电势的物理意义可以理

12、解为：静电场中单位 正电荷所具有的电势能，即U=W/qQO&6电荷系的静电能将各个电荷从无穷远移到彼此邻近的位置而形成电荷系， 外力克服静电场力所做的功，称为这个电荷系的静电相互作用对连续分布的带电体，分割它为诸多呦，对任意一个呦而言，其他所有部分电荷在呦处产生的电势为S则静电能为a一个均匀带电球面（半径为R总电量为Q ）的 静电能为卩2 JQ 4亦0尺EtcSqRb两个点电荷，电量为q和一q,相距1,静电能为w=b工+（如丄4亦 J42?0/例：在半径为人带电球体内，挖去以。为中心, 半径为的球中的电荷。0,至球心0的距离为a +Rj R,带电部分电荷体密度为。 求。点的场强和电位 解：整个

13、体系可以看成是一个 以0为球心人为半径，电荷体 密度为Q的均匀带电球和另一 个以0为球心为半径均匀带 负电，电荷体密度为护 的带 电球所构成。根据场强和电势的叠加原理可求解。以0为心做一半径为a的高斯面，由高斯定理均匀带电大球在0处的场强为:2434 勿 Ex = 7ia pe均匀带负电的小球在。处的场强为零。& 耳=0E = Ex + E2 = 方向沿0 0,的连线方向。用厶2角标分别表示大、小球。 产生的场强：亦晋 nR耳（厂2）=r24亦0厂2厂2*1oo叠加原理给出：U（O）=U1（O） + U2（O1） 均匀带电大球在0点产生的电位是： u g）=J； 叭=仙 +S(O) = -(3

14、R22)6&o均匀带电小球在点产生的电位是： u2（0）=匸風亦=匸总%d% +所以在0点产生的总电位是:U(0)=S(Q) + U2(Oi)(37?22)_37?訂6)小结：一、基本概念(两个重要物理量)1、电场强度E(1) 引入：从力的观点研究电场的性质而引入的。(2) 定义：匚电场强度单位正检验电荷在电场中所受的力，即左=(3) 物理意义：E是电場的力的属性，是电场固有的 力的性质。场中某点E的大小和方向完全由电场本身 决定，和引进的检验电荷的大小、正负均无关，检验电 荷只不过是检验和量度电场的工具而已。(4) 电场强度E和电场力F是两个不同的物理量。(5) 关于E的计算1、点电荷场强E

15、 = r4码厂2、点电荷系的场强E壬心工耳i=lj3、电荷连续分布的带电体的场强dq4?0r24、利用高斯定理求场强伴左亦=丄工g窃s内5、利用电场电势关系求场强E = -n dnh是等势面法线方向的单位矢，从低电位到高电位例真空中一半径为7?的均匀带电球面带有电荷0(00)今在球面上挖去 非常小块的面积AS(连同电荷)，如图所示，假设不影响其他处原来的电荷分布，则挖去AS后球心处电场强度的大小E=,其方向为O点电势是多少?2、电势U(1)引入：为从能量的观点研究电场的性质而引入的。(2)定义:电势将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势为零的点的过程中，静电力所做的功，即UpEdr= = Qo

16、Go零电势参考点的选择：通常无穷远处、地、机壳例对有限带电体，如一均匀带电球体，比较a、b、c三点的电势广 oo 匕=0 Ua=Edl(o- a 1 r4=0 ua ub ucub（5）关于U的计算1、点电荷的电势 2、点电荷系的电势U=Y-i=i 4;珈3、电荷连续分布的带电体的电势UJ J 4?0r4、由电势的定义（场强的线积分）求电势poo 一U= E5Jp注意：1）分段积分：从P8中间经各区域场强规律不同，分段积分2）注意选择积分路径：电场力作功与路径无关，选择方便计算的3、等势面性质：1）和电场线处处垂直2）场强由高电势指向低电势3）沿等势面移动电荷，电场力不作功4、电场和电势的关系左和U都是描写电场性质的物理量，两者必有联系微分关系积分关系二、三条基本规律1、库仑定律“是研究静电场性质的基础适用条件：