附录1误差与数据处理讲解

1、误差与数据处理误差及其分类物理实验都必须进行一定的测量。而测量又可以分为直接测量和间接测量。直 接测量就是利用一定测量仪器，直接测出某一物理量。例如对长度、时间等物理量 的测量。所谓间接测量就是某物理量只能根据可直接测量的其它物理量的数值通过 一定函数关系计算出来。不论是直接测量还是间接测量，最终目的都是要获得物理 量的真值。然而进行测量时，都必须使用一定的仪器，通过一定的方法，在一定的 条件下由某一观测者去完成。由于仪器、方法、环境和观测者等都必然存在某种不 理想情况，所以在大多数情况下，测量到的结果并非真值。这种测量结果与真值之 间 的偏离 ，就是 误差 。某 一物理量的 误差 定义为该量

2、的 给出值 x（ 测量值 ，标称 值或 近似值 ）与真 值 X 之 差，即x X （ 1）由于测量中误差是不可避免的，而真值又是测不出的，所以测量的目的是：尽 量消除误差之后求出在该条件下被测量的最可信赖值，以及对这一值的精确程度给 予正确的估计。误差理论就是根据这一需要发展起来的。只有掌握和正确运用误差 处理方法，才能确定接近真值的测量结果，并判断此结果的可靠性。误差理论还可 以帮助我们正确地组织实验和测量，合理地设计仪器、选用仪器和选定测量方法， 使测量的误差减至最小，获得最好的结果。由此可见，了解误差的性质，误差的出 现规律，掌握误差处理方法，对实验工作者有非常重要的意义，这是实验工作者

3、必 须具备的知识。按照误差的最基本的性质和特点。可以把误差分为三类：（一）系统误差：在一定条件下（指仪器、方法、环境和观测者一定，对同一 量进行多次测定时，若测量误差的符号与数值总是保持不变，或者遵循一定的规律 变化，称此种误差为系统误差。其中不变的误差又称为恒差或定值误差。变化的系 统误差则称为系统变差或变值系统误差。变值系统误差按其变化规律又可分为累进 性的，周期性的以及按复杂规律变化的几种。系统误差又可以根据其产生的原因分为：（ 1）仪 器（或 工具 ）误差 。这 是 由于测 量所用的仪 器（ 或 工具，量 具）等本身 不完善而产生的误差。（ 2 ）装 置 误 差 。这 是 由 于 测

4、量 设 备 和 电 路 的 安 装 、布 置 、调 整 不 得 当 而 产 生 的 误差。（ 3 ）人 身 误 差 。这 是 由 于 测 量 人 员 的 感 觉 器 官 和 运 动 器 官 不 完 善 而 产 生 的 误 差 。 这类误差往往因人而异，并与个人当时的生理和心理状况密切相关。（ 4 ）外 界 误 差 。外 界 误 差 也 称 为 环 境 误 差 。这 是 由 于 外 界 环 境（ 如 温 度 、湿 度 。 电磁场等等）的影响而产生的误差。（ 5 ）方 法 误 差 ：方 法 误 差 也 称 为 理 论 误 差 ，这 是 由 于 测 量 方 法 本 身 所 形 成 的 误 差，或者是

5、由于测量所依据的理论本身不完善等原因而导致的误差。有 时，可能由于对被测之量定义不明确而形成的一种理论误差。上述分类并不很严谨。一个具体的误差往往可以归入这一类，也可以归到另一 类。重要的是：一般地说，应尽可能设法预见到各种系统误差的具体来源，并且极 力设法消除其影响；其次是设法确定或估计出未能消除的系统误差之值。关于系统 误差的处理，一般是属于技术上的问题。（二）随机误差或偶然误差：当在同一条件下对同一物理进行多次测定时，在 极力消除或改正一切明显的系统误差之后，每次测量结果仍存在一定的误差，各测 定值似乎杂乱地分散在一定范围内，而不存在任何确定的规律性。各测定值误差的 符号及数值都是变化不

6、定的。称这样的误差为随机误差。和系统误差相反，随机误 差的出现，从表面上看是毫无规律的，似乎是纯属偶然的，故随机误差亦称为偶然 误差。但事物的产生总有其原因，随机误差的产生取决于测定过程中一系列随机因 素的影响。所谓随机因素是指实验者不能加以严格控制的因素，如温度、湿度、空 气振动等的瞬间变化，以及测定时偶然性的读数误差等。在任何一次测量中，随机误差都是不可避免的。而且在同一条件下重复进行的 各 次 测 量 中（ 即 所 谓 一 列 等 精 度 测 量 ），随 机 误 差 的 出 现 或 大 或 小 ，或 正 或 负 ，各 有 其特性而不相类同。但是，分析这一列测定值可以发现，在这列测量值中出

7、现的随 机误差，就其总体来说，都具有一定的统计规律性。利用概率论的一些理论和统计 学的一些方法，可以确定随机误差对测量结果的影响，并通过对测量数据的适当处 理，尽可能地消除这种影响。使我们对测定结果的可靠性作出一定的估计。随机误差有正有负，有大有小，在多次测定中能低消一部分。因此测定次数对减少随机误 差有利。总之，随机误差的处理主要是利用多次测量依靠概率统计方法进行的。这里，我们介绍一下测量的准确度和精密度的概念：在具体测量中如果数值小 的随机误差出现的机会较多，而数值大的随机误差出现的可能甚少，那么测量结果 就是相当精密的。测量的精密度是随机误差弥散程度的表征。测量的精密度高，也 就表明测量

8、的重复性好，随机误差小。在一个测量中，如果系统误差很小，那么测 量结果就是相当准确的。测量的准确度由系统误差来表征。在一组测量中，尽管精 密度很高，但准确度不一定很高；反之，若准确度好，则精密度也不一定高。如果 随机误差小，系统误差也小，即既精密又准确，就称为精确。所以精确度(有时简 称精度)是把两者都包括进去了。(三) 过失误差：由于不正确的操作仪器，观察记录，读错数据，记错数据等 错 误 ，会 使 测 定 结 果 明 显 地 被 歪 曲 。这 种 由 错 误 引 起 的 误 差 ，称 为 过 失 误 差 或 粗 差 。随机误差的正态分布对 于 随 机 误 差 所 作 的 概 率 统 计 处

9、 理 ，是 在 完 全 排 除 了 系 统 误 差 的 前 提 下 进 行 的 ， 即在认为系统误差不存在，或已经改正、或小得可以忽略不计的情况下进行的。在 这前提下，从大量的实际统计中，可以总结出一个结论：随机误差的出现是遵循正 态分布的。从理论上说，这正是概率论的中心极限定理的一个必然结果。设 在一定条件 下对某 一物理量 X 进行各 自独立 的大量测量。即 进行 一列 n 次等 精 度测 量 。则 误 差 在 和 +d范 围 内的 概率，当 然 正 比 于范 围 d 的 大小 ，同 时也 与有关，故概率可写为：(2)dP =f( )d f( )称 为概率分布 密度，它的函数形成可由下列正

10、态分布函数表示：f( )3)正 态 分 布 也 称 高 斯 分 布 ， 函 数 f( ) 的 图 解 曲 线 称 为 正 态 分 布 曲 线 或 高 斯 曲 线 ， 如 图 I-1 所示。 测量值 x 出 现在x a, xb内的概 率亦 即误差之值 出现在 区间 a, b 内的概率为XbPx a x xb=f (x)dx=Pa b b= a f( )d即 图 I-1 中 阴 影 部 分 的 面 积 。显然f （ ）d 1（ 4 ）因 为-x和- 都是必然 事件 。由 图 I-1 不 难 看 出 ， 正 态 分 布 总 结 了 随 机 误 差 的 下 列 四 个 特 性 ：（ 1 ） 绝 对 值

11、 相 等 的 正 误 差 和 负 误 差 其 出 现 的 概 率 相 同 ， 即 所 谓 对 称 性 。（ 2 ）绝 对 值 小 的 误 差 出 现 的 概 率 大 ，而 绝 对 值 大 的 误 差 出 现 的 概 率 小 ，即 所 谓 单峰性。（ 3 ）绝 对 值 很 大 的 误 差 出 现 的 概 率 近 于 零 。误 差 值 有 一 事 实 上 的 实 际 极 限 ，即 所谓有界性。（ 4）从 特性（ 1）可 以 推论出 ：当 n 时 ， n 0，亦 即，由 于正负 误差的 互相抵消，一列等精度测量中各个误差的代数和有趋于零的趋势，即所 谓抵偿性。它是随机误差最本质的统计特性。换句话说，

12、凡具有抵偿性 的误差，都可以按随机误差处理。上述四个特性，有时也称为随机误差的四个公理。式（3）中，h 对一定 测量条件为 一常数 ，称为精密度 常数。不同 h 值的 三条正 态 分 布 曲 线 ， 如 图 I-2 所 示 。 由 图 可 见 ， 当 h 值 越 大 时 ， f（ ） 的 最 大 值 越 大 ， 曲 线衰 减 得 越 快 ，即 曲 线 越 尖 锐 ，小 误 差 出 现 的 概 率 大 ，而 大 误 差 出 现 的 概 率 小 ； 反 之 ， h 越 小 ，则 曲 线 越 平 坦 ，这 时 大 误 差 出 现 的 概 率 和 小 误 差 出 现 的 概 率 相 差 不 多 。可

13、见 h 可 作为测 量精密 度的 一种算 法，故 称之为 精密 度常数 。测量精密度的估计对一组等精度的测量值（称为测量列）的精密的表示，可有下列几种方法：一）标准误差（均方误差或均方根误差）在 一组等精度 的测量 中，其 随机误 差分别 为1， 2， ， n。 误差同 时出现在 1 1+d ， 2 2 +d ， ， n n+d 区 间 内 的 概 率 为 ：h exp h2i2 d 1d 2 d n5）如 果参数 h 可 有不同 的选择，那么 使概率 最大的值便 是最佳 值。对 上式 求极值可得：P h n 1 1 h n( ) en 2h(i2 )e h i 0i1nn 2h2i2i1h2

14、1我们取 1 作为测量列的精密度标志，称之为标准误差（均方 误差），以 表 h2示，则6）1 因为 h不能从测定数据中求出，往往将 h代入（3）式得：22f（ ） 1 e 2（7）2这是概率密度又一种表示形式。（ 二 ） 概 率 误 差 （ 或 然 误 差 、 可 几 误 差 ）：如果测量的误差落在区间内的概率与落在区间之外的概率相等时，就称为概率误差。它不能直接计算，是根据它和标准误差的关系求出的，即0.6745 23三）平均误差各测定值误差的绝对值的平均值，即i1它与的关系为：4 =0.7978 58）9）这 关系常 用来 通过 的计算 值求出 值，以简 化计算 。从理论上讲，三种误差对表

15、示同一测量列的精密度效果是相同的，只不过是概 率大小的问题，但实际上在有限测量次数的情况下，三种表示却有不同。标准误差 对数据中存在的较大误差比较敏感。我国和世界上很多国家都在科学报告中采用标 准误差。应当指出，上述几种误差均为对同一组测量中各测定值的可靠程度的估计，而 不是对测量结果（平均值）的可靠程度的估计。为了加以区别，称上述的误差为测 量列的标准误差、概率误差、平均误差。对测量结果（平均值）的可靠程度的估计， 是用残差来表示误差公式的，这在第（五）部分介绍。根据正态分布函数的关系，可计算误差落在区间内的概率：2P 1 e 2 2 d2以 t 代换 变量， 得：P t 2 e 2dt （

16、10）0此式称为概率积分。将不同的 t 值代入上式，使可得变量 t落在不同范围的概率值。 一般可根据 t 值查表得到 P值。当时 ， t=1 ， 查 得 误 差 落 在区 间 的 概 率 为P 0.683当 0.7979 时， t 0.7979， 查 得P 0.575即 在 一 系 列 观 测 中 ，误 差 值 处 于之 间 的 数 目 占 误 差 总 数 目（ 即 观 测 数 n ）的 68.3% ；落 在区 间 内 的 数 目 占 总 误 差 数 目 的 57.5%同 理 ， 当 =3 ， t=3 时 ， 得P 33 0.997即 误 差 落 在 3 区 间 内 的 概 率 为 99.7%

17、 。 故 一 般 可 认 为 误 差 超 过 3 是 几 乎 不 可 能 的 ，因此 把 3 称为 极限误 差，或最大误差。 一般在 技术报告中 都使用 极限误 差。可 以证明 ，在 误差曲 线上， 标准误差 之 值是曲线拐 点的横 座标； 平均误差 是纵座标一侧曲线下所包面积的重心的横座标；概率误差则是将此面积分为两等 分 的 横 座 标 。 如 图 （ I-3 ） 所 示 。四、最小二乘原理与算术平均值在等精度条件下对真值为 X 的物理量进行了 n 次独立测量，测定值为 x1，x2，xn。 假设 系统误 差已消 除， 不存在 过失误 差。 其随机 误差分别为 1， 2， n，误 差同时 出

18、现在 11+d，2 2+d，nd区 间内的 概率为(xi X )2P ()n e2 2 d 1d 2 d n2如果 X 为最佳值，则概率 P应该为最大，也就是n2Q(x i X) 2 mini111)为极小。对上式求极值，则得2(x 1-X)+ 2(x 2-X) + +2(x n-X)=0nxii1n可 见 X 的最佳 值就 是算术平均值 x。因最佳值 并不是 真值， 故用 X 值 示。又 将各测定值 和算术 平均值的差称 为残值 ，用 符 号 v 表示，则（ 11）式 可写 成：n(v12 v22v 2n) mini112)因此上述的结论又可说：等精度 n 次直接测量后的最佳值，是使残差平方

19、和为最小 时求出的数值，这就是最小二乘原理。下 面将会证明 平均值 的标准差为 ，也就 是比测量列的标准 误差 小 n倍。 n这是容易理解的，因为算术平均是等精度测量的最佳值，对它的可靠性估计当然要 优于任一个测定值了。五、用残差表示误差公式由 于实际上不 能进行 无限多次测量 ，于是 也就不能绝 对精确 地得 到真值 X，因 而 也就不 知道误 差 。我们 所知道 的仅仅 是在 有限几 次等精度测量 中所求得的 X 的 算术平均值 x，以及每次测量中的残差 vn之值。因此要从一系列测量值求出各种误 差必须把这些误差公式变为实际可用的公式。既然算术平均值是一组等精度测量的 最 佳值， 我们可

20、以用 残差 vn来表 示各误 差公 式。设 真值为 X 的物理量 等精 度测量 值为 x1，x2，xn； 误差为 1=x 1-X ， 2=x 2-X ， , n=x n-X 对上述各式相加得： 1+ 2+ + n =x 1+ x 2+xn -nXnnixii 1 i1 X nn即nix X i 1 （13） n又，各残差分别为 v1=x1-x， v2=x2-x， ，vn=xn-x。将 （ 13 ） 式 代 入 上 面 各 式 中 ， 并 注 意 到 i =x i -X ， 得 ：njj1v ii（i=1, 2, ,n）n对上式两边平方得：22jj 222jj 2v i i 2 i ( ) nn

21、两 边对 i 求和：n2 vi i1ni2i12( i )( n j ) n(j )2i 1 n因 为 在 测 量 中 正 负 误 差 机 会 相 等 ，所 以2i 2展 开后 1 2, 1 3, 为正为 负的数目 相等， 彼此相 消 （n ），(j2 )j22i2。所以上式可写为nvi2i1ni2i1i2i22 iinnn2vii1ni2n i 1n114)根据标准误差的定义2i2i ，所以 由式（ 14） 得： nvi2n115)16)17)由于、中有vi2 项，计算较繁，所以常用下面近似式代替。vi1.2533 i 1n(n 1)nvi5 i 14 n(n 1)nvii110式 （ 15

22、 ） 即 为 测 量 次 数 有 限 时 ， 标 准 误 差 的 表 达 式 。 根 据 概 率 误 差 、 平 均 误 差 与 标 准 误 差 的 关 系 式 （ 8 ） 和 （ 9 ）， 可 得0.6745vi 2n10.7978vin1六、间接测量的误差一）误差传递的一般公式设 有 含 m 个 独 立 变 量 的 函 数 y=f（x 1,x 2, ,x m） 。 显 然 y 由 直 接 观 察 量 x1,x2, ,xm所决 定。 令x1,x2, ,xm 分别代表测量 x1,x2,xm时 的误差， y 则代表 由x1,x2, ,xm引起 的 y 的 相应 误差， 则得y+ y =f(x 1

23、+ x1,x2+ x2, ,xm+ xm)对上式右端按泰勒级数展开，得f (x1x1,x2x2,xm xm) f (x1,x2,xm)2 xm2 ( xm)f f f 1 2f2x1x2 xm 2 ( x1)2x1x2x m2 x122f2 x1 x 2 fx1 x 2略 去 含 xi的高次项得fffyx1x2xmx1x2xm或yfx1fx2f x myx1yx2yxm y由 于误差x1,x2,xm是一 个微小 量，18a)18b )可 以 以 dx1,dx 2, ,dx m 代 替 之 ，并考虑最大的误差，因此将各项绝对值相加得：fff x1f x 2x1x 2 2(dy)maxfxmxm(

24、19a)(dy)1f x1x1xf2 x2xfm xm( y )max f(x1,x2, ,xm)(19b )(dy)max max yd ln f (x1,x 2,xm)19c )式 （ 18 ）（ 19 ） 就 是 误 差 传 递 的 一 般 公 式由此可见：函数的绝对误差等于这函数的全微分；函数的相对误差等于这函数11的自然对数的全微分。二)标准误差的误差传递的一般公式假 设对 x1,x2, ,xm 作了 n 次测量 。它 们的误 差为：x1x2xm第一次测量 x11 x21 xm1第二次测量 x12 x22 xm1第 n 次测量 x1n x2n xmn于是可得：y1ffx11x 21x

25、1x 2fx m1两边平方得：2 f 2 2 f 2 2 f 2 2 (y1)2()2 (x11)2()2 (x 21)2()2 (x m1)2x1x 2 x m2( f )( f ) x11 x21 x1 x2同理可得(yi )2( f)2(x1i )2( f)2(x2i )2( f)2(xmi)2x1 x 2 x mff2( )( ) x1i x 2i x1 x 2其 中 ， i=1 ， 2， n 。n2在 求和 ( yi)2 中， 按照随机误差 正态分 布定律，正 负误差 数目相 等， 非平方 i1n项 对消。 即当 n 很 大时(n时 )， 各交叉项 xki xli (其中 k,l=1

26、,2, ,m) i1趋 于 0。因 而得n n n n( yi)2 ( f )2 ( x1i )2 ( f )2 ( x2i )2( f )2 ( xmi)2i 1 x1 i 1x 2 i 1 xm i 112两 边除以 n 即 得标准 误差2 ( xf )2 12 ( xf )2 22x1 x 2( f )2 2m xm(20)( xf1)2 12 ( xf2)2 22( f )2 2m xm(20a)( lxnf )2 2mxm相对误差为：lnf 2 2 lnf 2 2 y ( lxn1f )2 12 ( lxn2f )2 22因 为 =0.6745 , =0.7979 ， 所 以 对 式

27、 ( 20 ) 两 边 分 别 同 时 乖 以 0.6745 0.7979 即得概率 误差 或平均 误差：2 f 2 2 f 2 22 ( )2 12 ( )2 22 x1 x 2( xf1)2 12 ( f )2 22x2( f ) 2 2m xm21)2 ( f )2 12x1( xf ) 2 22 x2f)2( f ) 2 12 ( f )2 22( f )2 2m m（ 22 ）x1 x 2xm（三）算术平均值标准误差计算公式算术平均值是根据一组等精度测量值求出的平均值x1x2x1 x2x nxn因 为 x为每 一次 测量值 xi 的 函数， 按（20）式 得132 ( f )2 12

28、 ( f )2 22x1 x 2( xf )2 2n xn上式中 代表算术平均值 x的标准误差。i为各次测量值的标准误差。因为是等 精度测 量，所 以 1=2=n=；而 f 1，所以 有 x i n2 1 2 2 1 2 22 ( )2 12 ( )2 22nn(1)2n用 残差表 示：n 2 vi2 i1 n(n 1)同理可得：n22n23)用 残差表 示：0.6745n2vii1n(n 1)24)25)则可得间接测量的算术平均vi2用 残差表 示：0.7979 ni(n1 1)现在我们再回到式（20）。在式（20）两侧除以 n，值 的标准 误差： 即x112(f)22(f)2m(20a )

29、14fxm)22 ( f )2 12 ( f )2 22( f )2 2mx1x2xm21a 2 ( f )2 12x1( f ) 2 22( f )2 m2x 2 x22a 对 式 (20a )、（ 21a ）、（ 22a ） 两边 各 除以 y（其 中 y=f（x1,x 2, xm)， 则2 ( f )2 12 ( f )2 22 x1x 2其 中 1， 2，m为各直接测量 量的平 均值的标准 误差。 同理我 们可 得得 到 各 相 对 误 差 的 关 系 式 。 以 式 （20a ） 为 例 ：22f 2 x1 2 1 f 2 x 2 2 2) 2 ( ) ( ) 2y x1 x 2 y

30、 x 2x1x12x 22 f 2 x m 2 m ( ) ( ) 2 yxmxm( xf1)2(xy1)2E12 ( xf2)2(xy2)2E22( xfm)2(xym)2E2m式 中 E1、E2、 Em分别 为各直接测量 值的相 对误差。会愈来愈小，但实际上增由 （ 23 ） 式 可 知 ， 当 增 加 测 量 次 数 （ 增 大 n ） 时 ，加 测 量 次 数 的 效 果 是 有 限 的 ， 从 图 （ I-4）可以看出，当n较少时， 随 n 增加而减小 得 很 快 ， 到 n=5 时 开 始 变 慢 。 当 n10时， 的减 少实际 上已不 很明 显。因 此通常规 定 在 一 般 测

31、 量 中 n=1020 已 足 够 。图 I-4（四）误差传递公式应用举例1用于确定误差分配及测量仪器选择15例 如 ， 已 知 一 圆 柱 体 的 半 径 R=10 毫 米 ， 高 H=50 毫 米 ， 要 求 按 公 式V= R2H 求得 的体积 的相对 误差 不大于 ，问 R 和 H 应 使用什么计 量器具 进行测 量？2 V= R2H( VH)2(VH)2EH 2 H V H由 误 差 传 递 公 式 中 相 对 误 差 表 示 式 （ 20b ） 可 得个 方 程 式 （ 26 ），2E2R ( VH)2(VH)2E26)其中V 2 RHRVR2H因 为 可 取足够 位数， 可不参

32、加误 差分配。对于 ER 与 EH 的误差 分配 ，由于 两个未因此没有固定解。为此令2H即人为规定各部分误差对总误差的影响都相同。这一规定称为“误差等作用原理因 此 ，（ 26 ） 式 中 用 后 者 代 替 前 者 得EV0.01VR( VR)(VR)ER把 R 、 V= R H 以 及 V 2 RH 代 入 上 式 ， 得 RER0.01220.0035因 为 ERR ， 所以 R 的标 准误差 为R R 0.0035R=0.035mm(3 R) 20.021R0.035mm同 样用后者代 替前者 可得 H 的极限误差16(3 H )0.01H 0.35mm由 量 具 说 明 书 查 得

33、 0 25mm 的 二 级 千 分 尺 主 值 极 限 误 差 为 0.012mm ；分 度 值 为 0.1mm 的 卡 尺 主 值 极 限 误 差 为 0.15mm 。所 以 测 量 R 时 可 用 规 格 为 0 25mm 的 二 级千分尺；测量 H 时可选用分度值为 0.1mm 的卡尺进行测量。将总误差分给各部，就可对直接测量的仪器的精度进行选择。但有时某一直接 测量仪器达不到精度要求，这时可对误差的分配作适当的调整，适当放宽对该量测 量精度的要求。七、非等精度测量（一）权的概念：如果对某一物理量进行几种不同条件的观测，由于采用的测量方法、测量次数 等的不同，得到了可靠程度不相同的结果。

34、此时不能简单地把它们的算术平均值取 为最佳值，而必须参考到测量精度的影响。在综合各个结果的时候，应该使精度高 的观测值有较多的贡献，精度差的，贡献小些。为了表征观测结果质量的好坏，并 定出它们对广义平均值的贡献大小量的表示，我们引入“权”的概念。标准误差是测量精密度的标志，因此通常就用标准误差来确定权。定义权为标 准误差平方成反比的值。例如对同一量进行不同精度的观测，各个结果的标准误差 为 1 ， 2， , m， 则 按 照 定 义 ， 各 个 权 值 为 ：P1P2Pm式中 k 为比例系数，其数值可以任意选取，但为了计算方便，一般是选的 k 值使权 值为整数。由于 k 为任意值，故权的值都只

35、有相对意义。（二）广义算术平均值及其标准误差对 某一量 进行 一系列 非等精 度测 量，测 量结果 分别为 x1,x2,xm，而 相应的权 分别为 P1， P2， ， Pm。则 可根据 最小二 乘原 理证明 这一系 列测 量的广 义算术 平均值 x就是某量的最佳值。其值为17xPx1P1 x 2P2x mPmP1 P2Pmxi Pii1mPii127)根据计算，广义算术平均值的标准误差为：mvi2Pii1 m (m 1) Pi i128)其中 vi 为各测量值的残差，m 为测量次数或组数。八、系统误差的限制与消除系统误差的出现是有规律的，而且在大多数情况下，系统误差是可以通过技术 途径来消除或

36、使之大为减弱。系统误差与随机误差不同，它不能依靠概率统计方法 来消除或减弱。对于系统误差的处理，一般地说，是属于测量技术上的问题。对待 系统误差，不可能像随机误差那样得出一些普遍的处理方法，而只能针对每一具体 情 况 采 取 不 同 的 措 施 。因 此 ，处 理 是 否 得 当 ，就 在 很 大 程 度 上 取 决 于 观 测 者 的 经 验 、 学识和技巧。所以，可以说系统误差虽然是有规律的，但实际处理起来则往往比随 机误差困难很多。为了找出消除和限制系统误差的方法，必须了解它在实验中产生的原因，出现 的规律，然后对症下药去排除影响它的各种因素。一般可分别在实验前、实验过程 和实验结果的处

37、理中加以消除。（一）消除系统误差的根源： 消除系统误差产生的原因，使它在实验过程中不再出现，是避免系统误差影响 结 果 的 有 效 方 法 。例 如 某 一 系 统 误 差 的 出 现 是 由 于 仪 器 使 用 不 当 或 仪 器 本 身 有 问 题 ， 这就应该把仪器调节好，并按规定使用条件去使用，这样系统误差就可以避免。又 如，系统误差是来源于实验者的操作不善和读数时的不良习惯，这就必须对实验者 进 行 必 要 的 训 练 ，改 进 操 作 和 读 数 方 法 。这 样 由 此 引 进 的 系 统 误 差 也 就 可 以 避 免 了 。（二）用适当的实验方法限制系统误差： 系统误差产生的

38、原因如果在事前不能消除，它必然要在实验过程中出现。如果18能知道它出现的规律，我们就可以采用适当的实验方法，使系统误差在实验结果中 不再出现。这里我们介绍几种方法：（ 1 ） 固 定 误 差 限 制 法 ： 对 测 量 中 固 定 不 变 的 误 差 ， 其 限 制 有 以 下 几 种 ： 代 替法 ：在一 定的 测量条 件下， 选择 一个大 小适 当的标 准量（ 通常 是可调 的 标 准 器 ），使 它 在 测 量 中 代 替 被 测 之 量 ，但 不 引 起 检 测 仪 器 示 值 的 改 变 ，这 样 就 可 以肯定被测的未知量即等于这个标准量。仪器的状态及其示值都是相同的，所以仪 器的

39、精确度对测量结果基本上没有影响。从而消除了测量结果中的仪器误差。测量 结果的误差仅取决于标准器的误差。 例：用电桥测 电阻 Rx 值 图（ I5）得 到RxR1RR3229)30)2、3。若 利 用它们 的标称事 实上，R1、R2 和 R3 都有 一定的误差 ，设 分 别为 1、值 来计算 Rx， 则 Rx亦有 误差 X，即Rxx (R11) (R33)x 11 (R 22)为了消除上述误差，我们利用一个可变标 准 电阻来 代替 Rx， 使电桥 在 R1，R2 和 R3 都维 持不变情况下再次获得平衡，设标准电阻的标 称 值 为 RS， 误 差 为 S， 即 实 际 值为 RS+ S。 于是根

40、据电桥的平衡条件得（R 3 3）RSS（R11） 33（ 31）SS 11 （R22 ）比 较 （ 30 ）（ 31 ） 两 式 ， 可 知Rx+ x= R S+S这 样就消 除了 误差 1、 2和3对测量 结果的 影 响 。 测 量 结 果 的 误 差 x 仅 取 决 于 标 准 器 的 误 差 S。 异 号法 ：使误差出现 两次， 两次 符号相 反，取 其平均 值以消除系 统误差 。 例如 图（ I6）所 示 ，若 被 测电 动势 的回路 内有温 差电 动势0存 在，用 电 位差计 测量时 ，测 出的数 值 E1 实际 为两电动势之差，即19E 1= E - 0若 反向 后， 再用电 位差

41、计 测量， 测量 值 E2 应为 两电动 势之和，即：E 1= E + 0若将两次测量结果进行平均，则E1 E 2 E 0 E 0E22这样，由温差电动势引入的系统误差就被消除了。 交 换 法 ：在 一 个 测 量 系 统 中 ，对 某 条 件 进 行 交 换 ，分 别 拿 这 两 个 结 果 互 相 对 照 ，往 往 可 以 检 查出是否存在某种系统误差。通过适当数据处理， 通 常 取 两 次 测 量 结 果 的 几 何 平 均 或 算 术 平 均 ，即 可 消除系统误差。也可以求出系统误差的数值，然后对测量结果进行改正。这就是交 换法或对照法。例用一 个等臂 的比 值 R1/R2=1 的

42、电桥和 一个可变标准 电阻 RS 来测量 未知电阻 Rx， 先采取 图 I7（a）的 安排， 当电桥 平衡 时，有Rx R1 Rs（32）x R2 s然 后，交 换 Rx 与 RS，其 余均保 持不变 ，如 图 I7（ b）。当 电桥 仍然保持平衡时，就图 I 720两式相对照可得R1 R21R2 R1即比例臂的比值确为而无误差，若第二次测量时电桥表现失衡，即表明比例臂有误差R11134)这 时可调 节标 准电阻 ，使电 桥恢复 平衡 。设此 时标准 电阻 的阻值 为 Rs，于是R2Rx R2 RS （35） R1（ 35）式 与（32）式 相比， 不难求 得1R xRSRS 2（RS R S

43、）（36）上 式中不 出现 R1/R2，即 消除了 R1/R2 的误差 ，而仅 含有标 准器 的误差 。由式 （36） 和 （ 32 ） 还 可 以 得 到37)R1RSR2从而解出系统误差数值RSRS R SS 1 S S（ 38 ）RS2R S（ 2 ） 线 性 误 差 限 制 法 对 称 观 测 法 （ 或 交 叉 读 数 法 ） 若有随时间线性变化的系统误差，可将观测程序对某时刻对称地再作一次，即 测 量程度 如图所 示 I8（ a），即 可达到有效地 消除 线性系统误差 的 目的。 其原理 可 从 图 I 8（ b） 中 看 出 。21t二次的测量系统误差平均和两次测量的系统误差平均

44、应相等。对称观测是一种 很好的测量方法，它可以有力地消除随时间变化的系统误差。同时，当测量系统呈现某种对称性时，我们也可以相应地进行两次互相对称的测量，从两次测量求得最终结果，使测量的精确度提高。例：在 LC 回路谐 振点（频率）的测 定中，我 们知道 图 I-9 的 LC 的回 路谐 振曲线可以表 示为II0(39)谐 振点 A 一般是 根据电 表的最 大示值 I/I 0=1来 判 断 。由 于 人 的 视 觉 以 及 电 表 灵 敏 度 的 影 响 ，难以 判别 电 流 的 微小 差 异 （例 如 图 中 B1、 A、B2 各点 电流相 差I/I 0 2%时，即 不易 区分），从 而导致谐

45、 振 点 的 判 别 误 差 。当 谐 振 甚 小 时 ，式似简化为：I012 2 21 Q2 (2)21 2 2 21 Q2 ( )211239 ）可 近20另一方面，因为II0I0II01II22于是有40)41)10 3 。为提高测量的精确度，一般采用对称观测法（或交叉读数法）在谐振曲线左右两 边 斜 率 最 大 处（即半 功率点 I/I o=1/2 ）附 近，电 流示值相同的点D1 和 D2上 读取两个频率1和1取平均 值 （ 12）作为最终测量 结果 。当 I I021 时， 由式（ 39）2可求得21 Q0 (1 1 4Q2 )21 Q0 (1 1 4Q2)1 0 (1 1 4Q2

46、 )2Q于是0 21Q 1 4Q20 1 1 2 0(14Q8Q2 )读数误差为12 1.25 10 508Q 2比 上述的 10-3降 低了 约二个 数量级 。（ 3 ） 周 期 性 系 统 误 差 限 制 法 半 周 期 偶 数 观 测 法 对周期性误差，可以每经半个周期进行偶数次观测即可有效消除之。这就是半 周期偶数观测法。周期误差可表示为：23asin2Tt其 中，t 为 决定周期性误 差的量 (如时间、 角度等 )， T 为误 差变化 周期。t=t 0 时 ，asint=t 0+T/2= 时 ，asin这就是说，测得一个数后，相隔半个周期再测量一个数，只要所测次数为偶数，取 其 平

47、均 值 ， 就 可 以 消 除 其 周 期 性 误 差 。 例 如 度 盘 偏 心 误 差 ， 就 是 采 用 相 距 180o 的 一 对或几对游标的读数，以消除误差。(三)从对实验结果的处理中加以消除：如果系统误差在事前和实验过程中没 有得到消除，那就应当在结果计算中引入修正值或修正计算公式。例：用天平测某物体的质量时，由于未考虑空气浮力而出现的误差，可以进行 修正。设 空气密度为 ，被 测物密度为 d，砝码 密度为， 天平平 衡时 砝码的 质量为 m0，也就 是被 测物质 的测量值。另 外， 如果设物体真 实质量 为 m，天平 两臂长 为 e， 则天平平衡时的真实情况应为下式：g)emm

48、0(mg g)e (m0gdm(1 ) m0 (1 ) d( )d(d ) m 01mm01d这 里 对 计 算 公 式 引 入 了 一 个 修 正 常 数 ()d 。(d )24九、实验数据的加工整理（一）测量结果的数字整理： 测量结果的数字整理的目的是从测量所得的原始数据中，求出被测之量的“最 佳 ” 估 值 ， 并 估 算 出 其 精 密 度 ， 即 进 行 “ 误 差 分 析 ”。测量结果的数字加工整理，可按下列步骤来进行。（ 1 ） 确 定 被 测 量 的 值 及 测 量 列 的 精 密 度 ： 对 一 系 列 等 精 度 的 测 量 结 果 xi（ 其 中 已 尽 可 能 地 消

49、除 了 系 统 误 差 ），按 测 量 先后次序列出，算出它们的算术平均值。nxii1xn 在每个 xi旁 列出相 应的 残差 vi及 vi2值，然 后算出 测量列的标 准误差 （均方根误差）vi1.2533 vin(n 1)5vi4 n(n 1)（ 2 ） 检 验 及 剔 除 粗 大 误 差 ： 鉴别粗大误差的准则常用的有两种：拉依达准则当服从正态分布，误 差落在3内的概率为 99.7% 。误 差大 于 3的数据可认为 99.7% 是错误的。因此规定： vi 3 的数据应予以剔除。每次 剔除一个，其余数据重新计算平均值，求残差及标准误差，再一次检验是否仍有 vi 3的 数据， 直到 所有数

50、据全部 合格为 止。格 拉 布 斯 准 则 仍 先 求 出 平 均 值 x 、 残 差 及 测 量 列 的 标 准 误 差 。 根 据 测 量 次 数（n），从下 列表 格中查 出其 g0（n，）值。 凡残差 绝对值 vi ? g0（n，） 的 数 据 ， 认 为 是 错 误 的 而 被 剔 除 。 其 中 是 错 判 的 概 率 。 对 一 般 实 验 ， 取 0.05 ； 对 于 精 密 测 量 ， 取 0.01 。25g0(n， )表g (n, ) dg0(n, )n0.050.250.01g (n, ) dg0(n, )n0.050.250.0131.151.151.15152.412

51、.552.7141.461.481.49162.442.592.7551.671.711.75172.472.622.7961.821.891.94182.502.652.8271.942.072.11192.532.682.8582.032.132.22202.562.712.8892.112.212.32252.662.823.01102.182.292.41302.752.913.10112.232.362.48352.822.983.17122.292.412.55402.873.043.24132.332.462.61452.923.093.29142.372.512.66502.963.133.34( 3 ) 测 量 结 果 的 确 定对 于等精度直 接测量 ，在剔除了粗 差后， 算出算术平 均值 x。对 于等精 度间 接测量 ，通过 直接 测量所 给各 量的算 术平均 值 x1,x2,代入某函 数 关 系 y=f(x 1,x 2, ) ， 求 得 y 的 最 佳 值 。对于非等精度测量的算术平均值，应先确定权值，即