北京市东城区高三第二学期综合练习（一） 理科数学试题及答案

1、北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（一）数学理试题20144第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 已知集合，则（ ）ab或cd2 复数（ ）abcd3 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度4 设等差数列的前项和为，若，则（ ）a27b36c42 d635 在极坐标系中，点到直线的距离等于（ ）abcd26 如图，在中，是的中点，则（ ）a3b4c5d不能确定7 若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）a2bc

2、d8 已知符号函数则函数的零点个数为（ ）a1b2 c3d4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9 的二项展开式中常数项为_（用数字作答）10 如图，是圆的直径，延长至，使，且，是圆的切线，切点为，连接，则_，_11 设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则的概率为_12 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则时，的解析式为_，不等式的解集为_13 某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有_种（用数字作答）14 如图，在三棱锥中，平面平面，为中点，点分别为

3、线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为_三、解答题共6小题，共80分15 （本小题共13分）在中，（1）求角的值；（2）如果，求面积的最大值16、（本小题共13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望17、（本小题共1

4、4分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是中点，为上一点（1）求证：平面；（2）当为何值时，二面角为18、（本小题共13分）已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围19、（本小题共13分）已知椭圆过点和点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程20、（本小题共14分）已知集合，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为子集，记子集的个数为（1）当时，写出所有子集；（2）求；（3）记，求证：北京市东城区2014届高三第二学期综合练

5、习（一）数学参考答案（理科）一、选择题 1c2c3d4d 5a6b7c8b二、填空题 910； 1112； 132414三、解答题 15（共13分）解： 因为， 所以， 因为 所以 因为，所以，因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），所以，所以面积最大值为16 （共13分）解： 由直方图知，解得，因为甲班学习时间在区间的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人所以甲班学习时间在区间的人数为（人） 乙班学习时间在区间的人数为（人） 由知甲班学习时间在区间的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3，所以随机变量的分布列为：012317

6、（共14分）证明 因为平面，平面，所以，因为是矩形，所以因为，所以平面，因为平面，所以，因为，是中点，所以，因为 所以平面 解：因为平面，所以以为坐标原点，、所在直线为，轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则所以令，得，所以平面的法向量为所以所以所以当时，二面角为17 （共13分）解： 当时，定义域为，所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 因为对任意，直线的倾斜角都是钝角，所以对任意，直线的斜率小于0，即，即在区间上的最大值小于1，令当时，在上单调递减， ，显然成立，所以当时，二次函数的图象开口向下， 且， ， 故，在上单调递减， 故在上单调递减，显然成立，所以 当时，二次函数的图象开口向上，且，所以，当时， 当时，所以在区间内先递减再递增故在区间上的最大值只能是或所以 即 所以综上19(共13分)解：（）因为椭圆过点和点所以，由，得所以椭圆的方程为（）显然直线的斜率存在，且设直线的方程为由消去并整理得，由，设，中点为，得，由，知，所以，即化简得，满足所以因此直线的方程为（20）(共14