2021年高考全国甲卷数学（文科）试题及答案解析

1、2021年全国统一高考数学（文科）试卷（甲卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M=1,3，5，7，9，N=x|2x7，则MN=()A. 7,9B. 5,7，9C. 3,5，7，9D. 1,3，5，7，92. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其

2、家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3. 已知(1i)2z=3+2i，则z=()A. 132iB. 1+32iC. 32+iD. 32i4. 下列函数中是增函数的为()A. f(x)=xB. f(x)=(23)xC. f(x)=x2D. f(x)=3x5. 点(3,0)到双曲线x216y29=1的一条渐近线的距离为()A. 95B. 85C. 65D. 456. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为

3、()(10101.259)A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.67. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()A. B. C. D. 8. 在ABC中，已知B=120，AC=19，AB=2，则BC=()A. 1B. 2C. 5D. 39. 记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4，S4=6，则S6=()A. 7B. 8C. 9D. 1010. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.811. 若(0,2)，tan2=c

4、os2sin，则tan=()A. 1515B. 55C. 53D. 15312. 设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(x).若f(13)=13，则f(53)=()A. 53B. 13C. 13D. 53二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量a，b满足|a|=3，|ab|=5，ab=1，则|b|= _ 14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_ 15. 已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图像如图所示，则f(2)= _ 16. 已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=

5、|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818

6、. 记Sn为数列an的前n项和，已知an0，a2=3a1，且数列Sn是等差数列，证明：an是等差数列19. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，BFA1B1(1)求三棱锥FEBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE20. 设函数f(x)=a2x2+ax3lnx+1，其中a0(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围21. 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ.已知点M(2,0)，且M与l相切(1)求C，M的方程；(

7、2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M相切.判断直线A2A3与M的位置关系，并说明理由22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=22cos(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足AP=2AM，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点23. 已知函数f(x)=|x2|，g(x)=|2x+3|2x1|(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像；(2)若f(x+a)g(x)，求a的取值范围答案解析1.【答案】B【解析】解：因为N=x|2x7=

8、x|x72，M=1,3，5，7，9，所以MN=5,7，9故选：B直接根据交集的运算性质，求出MN即可本题考查了交集及其运算，属基础题2.【答案】C【解析】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)1=0.06=6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.023)1=0.1=10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为30.02+40.04+50.1+60.14+70.2+80.2+90.1+100.1+110.04+120.02+130.02+140.02=7.686.5万元，故选项C错误；对

9、于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)1=0.640.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确故选：C利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题3.【答案】B【解析】解：因为(1i)2z=3+2i，所以z=3+2i(1i)2=3+2i2i=(3+2i)i(2i)i=2+3i2=1+32i故选：B利用复数的乘法运算法则以及除

10、法的运算法则进行求解即可本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题4.【答案】D【解析】解：由一次函数性质可知f(x)=x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f(x)=(23)x在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f(x)=3x在R上单调递增，符合题意故选：D结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题5.【答案】A【解析】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x216y29=0，即3x4y=0，

11、结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x4y=0的距离，则点(3,0)到双曲先一条渐近线的距离d=909+16=95故选：A首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点(3,0)到一条渐近线的距离即可本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题6.【答案】C【解析】解：在L=5+lgV中，L=4.9，所以4.9=5+lgV，即lgV=0.1，解得V=100.1=1100.1=11010=11.2590.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8故选：C把L=4.9代入L=5+lgV中，直接求解即可本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题7.

12、【答案】D【解析】解：由题意，作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图，可得AEFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选：D作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧视图本题考查简单空间图形的三视图，属基础题8.【答案】D【解析】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19=a2+42a2cos120，即a2+2a15=0，解得a=3(a=5舍去)，所以BC=3故选：D设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度本题考查了余弦定理，考查了方程思想

13、，属基础题9.【答案】A【解析】解：Sn为等比数列an的前n项和，S2=4，S4=6，由等比数列的性质，可知S2，S4S2，S6S4成等比数列，4，2，S66成等比数列，22=4(S66)，解得S6=7故选：A由等比数列的性质得S2，S4S2，S6S4成等比数列，从而得到关于S6的方程，再求出S6本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题10.【答案】C【解析】解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：0

14、1011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，满足题意的概率为610=0.6，故选：C首先求得3个1和2个0随机排成一行的数量和2个0不相邻的数量，然后利用古典概型计算公式，求出2个0不相邻的概率本题主要考查古典概型计算公式，排列组合公式在古典概型计算中的应用，属于基础题11.【答案】A【解析】解：由tan2=cos2sin，得sin2cos2=cos2sin，即2sincos12sin2=cos2sin，(0,2)，cos0，则2sin(2sin)=12sin2，解得sin=14，则cos=1sin2=154，tan=sincos=14154=1515故选

15、：A把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sin，进一步求得cos，再由商的关系可得tan的值本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题12.【答案】C【解析】解：由题意得f(x)=f(x)，又f(1+x)=f(x)=f(x)，所以f(2+x)=f(x)，又f(13)=13，则f(53)=f(213)=f(13)=13故选：C由已知f(x)=f(x)及f(1+x)=f(x)进行转化得f(2+x)=f(x)，再结合f(13)=13从而可求本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题13.【答案】32【解析】解：由题意，可得(ab)2=

16、a22ab+b2=25，因为|a|=3，ab=1，所以921+b2=25，所以b2=18,|b|=b2=32故答案为：32由题意首先计算(ab)2，然后结合所给的条件，求出向量的模即可本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题14.【答案】39【解析】解：由圆锥的底面半径为6，其体积为30，设圆锥的高为h，则13(62)=30，解得=52，所以圆锥的母线长l=(52)2+62=132，所以圆锥的侧面积S=rl=6132=39故答案为：39由题意，设圆锥的高为h，根据圆锥的底面半径为6，其体积为30求出h，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可本题考查了圆锥的侧面积公式和圆

17、锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题15.【答案】3【解析】解：由图可知，f(x)的最小正周期T=43(13123)=，所以=2T=2，因为f(3)=0，所以由五点作图法可得23+=2，解得=6，所以f(x)=2cos(2x6)，所以f(2)=2cos(226)=2cos6=3故答案为：3根据图象可得f(x)的最小正周期，从而求得，然后利用五点作图法可求得，得到f(x)的解析式，再计算f(2)的值本题主要考查由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题16.【答案】8【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所

18、以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=|m+n|=2a=8，所以m2+2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2b2)=48，即m2+n2=48，所以mn=8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|PF2|=mn=8故答案为：8判断四边形PF1QF2为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题17.【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为15020

19、0=34；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为120200=35；(2)根据22列联表，可得K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(1508050120)227013020020010.2566.635所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异【解析】(1)根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；(2)根据22列联表，求出K2，再将K2的值与6.635比较，即可得出结论；本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题18.【答案】证明：设等差数列Sn的公差为d，由题意得S1=a1；S2=a1+a2=4

20、a1=2a1，则d=S2S1=2a1a1=a1，所以Sn=a1+(n1)a1=na1，所以Sn=n2a1；当n2时，有Sn1=(n1)2a1.由，得an=SnSn1=n2a1(n1)2a1=(2n1)a1，经检验，当n=1时也满足所以an=(2n1)a1，nN+，当n2时，anan1=(2n1)a1(2n3)a1=2a1，所以数列an是等差数列【解析】设等差数列Sn的公差为d，可用S1、S2求出d，得到Sn的通项公式，利用an=SnSn1可求出an的通项，从而证明an是等差数列本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题19.【答案】解：(1)在直三棱柱

21、ABCA1B1C1中，BB1A1B1，又BFA1B1，BB1BF=B，BB1，BF平面BCC1B1，A1B1平面BCC1B1，AB/A1B1，AB平面BCC1B1，ABAC，又AB=AC，故AC=22+22=22，CE=2=BE，而侧面AA1B1B为正方形，CF=12CC1=12AB=1，V=13SEBCCF=1312221=13，即三棱锥FEBC的体积为13；(2)证明：如图，取BC中点G，连接EG，B1G，设B1GBF=H，点E是AC的中点，点G时BC的中点，EG/AB，EG/AB/B1D，E、G、B1、D四点共面，由(1)可得AB平面BCC1B1，EG平面BCC1B1，BFEG，tanC

22、BF=CFBC=12,tanBB1G=BGBB1=12，且这两个角都是锐角，CBF=BB1G，BHB1=BGB1+CBF=BGB1+BB1G=90，BFB1G，又EGB1G=G，EG，B1G平面EGB1D，BF平面EGB1D，又DE平面EGB1D，BFDE【解析】(1)先证明AB平面BCC1B1，即可得到ABAC，再根据直角三角形的性质可知CE=2=BE，最后根据三棱锥的体积公式计算即可；(2)取BC中点G，连接EG，B1G，先证明EG/AB/B1D，从而得到E、G、B1、D四点共面，再由(1)及线面垂直的性质定理可得BFEG，通过角的正切值判断出CBF=BB1G，再通过角的代换可得，BFB1

23、G，再根据线面垂直的判定定理可得BF平面EGB1D，进而得证本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题20.【答案】解：(1)f(x)=2a2x+a3x=2a2x2+ax3x=(2ax+3)(ax1)x，因为a0，所以32a01a，所以在(0,1a)上，f(x)0，f(x)单调递增综上所述，f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+)上f(x)单调递增(2)由(1)可知，f(x)min=f(1a)=a2(1a)2+a1a3ln1a+1=3+3lna，因为y=f(x)的图像与x轴没有公共点，所以3+3lna0，所以a1e，所以a的取值范

24、围为(1e,+)【解析】(1)对f(x)求导得f(x)=(2ax+3)(ax1)x，分析f(x)的正负，即可得出f(x)的单调区间(2)由(1)可知，f(x)min=f(1a)，由y=f(x)的图像与x轴没有公共点，得3+3lna0，即可解出a的取值范围本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题21.【答案】解：(1)因为x=1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2=2px(p0)，令x=1，则y=2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1,2p),Q(1,2p)，因为OPOQ，故1+2p(2p)=0p=12，抛物线C的方程为：y2=x，因

25、为M与l相切，故其半径为1，故M：(x2)2+y2=1(2)设A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3).当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点时)，设直线A1A2方程为kxy=0，根据点M(2,0)到直线距离为1可得2k1+k2=1，解得k=33，联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3，此时直线A2A3与M的位置关系为相切，当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1x2x3，直线A1A2的方程为x(y1+y2)y+y1y2=0，此时有，|2+y1y2|1+(y1+y2)2=1，即(y121)y22+2y1y2+3y12=0，同理，由对称性可得，(y121

26、)y32+2y1y3+3y12=0，所以y2，y3是方程(y121)t2+2y1t+3y12=0的两根，依题意有，直线A2A3的方程为x(y2+y3)y+y2y3=0，令M到直线A2A3的距离为d，则有d2=(2+y2y3)21+(y2+y3)2=(2+3y12y121)21+(2y1y121)2=1，此时直线A2A3与M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与M相切【解析】(1)由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；(2)分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题22.【答案】解：