专题十五椭圆、双曲线、抛物线专题限时集训.doc

1、b 专题喂耐1 训 ( 十五 )基础演练夺知识1. 抛物线 y = 4x 2 的焦点坐标为 ()A. (1, 0) B. (0, 1)11C. (16,0) D. (0 ，祁2 22.双曲线号卷 =1 的顶点到其渐近线的距离为()A3O236 26A2B.3C2D.322223.若椭圆 a+ = 1(ab0)的离心率为1, 则双曲线孑一詁 =1 的渐近线方程为 ()A. y =x B . y= 3x4.顶点在原点 ,经过圆 x2 + y2 2x + 2 2y= 0 的圆心，且准线与x 轴垂直的抛物线方程为（. y2 = 2xA.y= 2x 2C.2 25.已知圆( x 2+ y2= 1 经过椭

2、圆詁 +詁 =1(ab0) 的一个顶点和一个焦点，则此椭圆C. y 2)= x D . y = 的离心率 e= _ .?提升训练强能力2X2 2y y为2椭圆 人上的任一点，分别为圆22= 1 和圆 (x 3)26.已知P=1M , N(x + 3)+ y+2516+ y 2= 4 上的点 , 则|PM| + |PN|的最小值为 ()A. 5B.7 C. 13 D. 157.直线 I: y= k(x一、 2) 与曲线 x2 y 2= 1(x0) 相交于 A , B两点，则直线I 的倾斜角的取值范围是 ()A.0, n) B.n n n3 n(74 ,y) U (y,2)nn n n3 nC.0

3、 , 刁 D.? ，T) U Q,8.已知点 A(m|PB|,则 m的最大值为 ( )A. 3 B. 2 C.3 D.21, 0), B(1 , 0)及抛物线y2 = 2x,若抛物线上一点P 满足 |PA|=2 29.已知椭圆E：字 +匕=1(ab0)的右焦点为过点F 的直线交椭圆E 于a bB 两点 . 若 AB的中点坐标为 (1, 1), 则椭圆 E 的方程为 ()2 2x y , A +i-= 1 A .45 十362 2C. x- + L = 1271810?过双曲线2 2c x y /B. 36+ 27= 12 2D. x- +L= 11892 2a2- b 2= 1(a0, b0)

4、的右顶点 A 作斜率为一 1 的直线 I ，该直线与双曲线f 1 f的两条渐近线的交点分别为B, C. 若 AB = 2BC, 则双曲线的离心率e=()A.2B.3C.5 D.,1011. 已知 F 是抛物线 y2= x 的焦点， A , B为抛物线上两点，且|AF|+ |BF| = 3,则线段AB的中点 M到 y 轴的距离为_ .2 212 . 已知椭圆 x2+ y2= 1(ab0) ，点 A , B 1, B 2, F依次为其左顶点、下顶点、上顶点a b和右焦点 . 若直线AB2 与直线 B1F 的交点恰好在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为13 . 已知椭圆 C: x 2 +器 =1(ab

5、0) 的离心率为尹 过其右焦点F 且与长轴垂直的直线被椭圆 C截得的弦长为2.(1) 求椭圆 C的方程；设 P 是椭圆 C 上的一个动点，直线l: y = 43x + 宁与椭圆 C交于 A , B两点，求厶PAB 的面积的最大值 .图 Z15-114 . 如图 Z15-2 所示，已知点M(a , 3)是抛物线 y2=4x 上一定点，直线 AM ,BM 的斜率互为相反数，且分别与抛物线另交于A , B 两个不同的点 .(1) 求点 M 到抛物线的准线的距离 ;(2) 求证：直线 AB 的斜率为定值 .图 Z15-2x2 y21315 .已知椭圆孑+ b = 1(ab0)的离心率为-,且经过点P(

6、1, -),过它的左、右焦点Fi,F2 分别作直线li与12, li 交椭圆于A , B两点，I2 交椭圆于C, D两点，且li丄12.(1) 求椭圆的标准方程；求四边形ACBD的面积 S 的取值范围 .图 Z15-3专题限时集训 （十五）基础演练1 11. D 解析抛物线 y = 4x 2 的标准方程为 x2 = ”y, 其焦点坐标为（ 0, 五） .2. B解析由已知，得双曲线的顶点坐标为（2, 0 ）,（ .2, 0）, 渐近线方程为y22 0|3= / 2x. 点（寸 2, 0 ）到渐近线y=2x 的距离 d= 纠 3寸1+2由双曲线的对称性得，2 223双曲线 冷7=1 的顶点到其渐

7、近线的距离为3x213. A 解析由椭圆 a2+詁=1（ab0）的离心率为 2，14,解得2苗 1 的渐近线方程为4 . B解析因为抛物线的准线与x 轴垂直，所以可设抛物线的方程为y2=丰0）. 由圆心（ 1， ,2 ）在抛物线上，得 2 = m ，故抛物线方程为 y2= 2x.mx（ m15.3解析因为圆（ x 2 ） 2+ y 2 = 1 与 x 轴的交点坐标为（ 1，0），（ 3， 0），所以 c= 1 ，a3=3，所以 e= a= 1a 3提升训练6. B 解析由题意知，椭圆的两个焦点F 1， F2 分别是两圆的圆心，且 |PF 1 汁|PF2| = 10 ，从而|PM| + |PN|

8、 的最小值为 |PF 1|+ |PF 2| 1 2 = 7.7. B 解析双曲线 x2 /= 1 的渐近线方程为y= ix. 若直线 I: y= k（x 2 ）与曲线 x2 y2=1（x0）相交于 A， B 两点，则 kv 1 或 k1，又直线 I 的斜率存在，所以直线I 的 倾斜角的取值范围是（亍，寺） u （寺， 34n） .2y22 |PA| 2（于 + 1）Jy2y4+4+ 8y28.C解析设 P&，y）.由题意可得， m = 為 /= y 4 , 4= 12|PB|（专 1）2+ y 2 y + 4?mW .3，当且仅当 y2= 2时，等号成立 .1 +0+11222.4y 4B（

9、X2, y2），则有 a1 +1，9.D 解析直线 AB的斜率 k = 3 = 2 ，设 A（X ，y），11x2+ y2= 1 ，两式相减得y1： y2?_眨 =0. 将中点坐标及斜率代入，得4 ”2= 0 ，又a babx1 X 2a 2bc= 3 ，可解得 a 2= 18 ，b2= 9. 故选 D.10.C 解析由已知易知直线 I: y = x + a、十 -a2与渐近线1 ： bx ay= 0 交于点 B（1a+ b2aba abT ab ab寸) ，直线 I 与渐近线 l2 ：bx +ay=0 交于点 C(百，百 ) ，又 A(a , 0)AB =( 寸，市 ),2 2T z 2a

10、b 2a b2) .BC = (r2,2Ta b a ,b1.1 ab a b22,22 Cr BA a4a-=石 C,=二 e= 5.b= 2a, 二 c, 二 e = -2= 5,B22a+ b a b ，a*5111.4解析易知抛物线的准线方程为x= 4 ，由抛物线的定义及梯形中位线的性质3315可得，点 M到抛物线准线的距离为3, 所以点 M到 y 轴的距离为 3才=4.1?1b c), 联立两式12. 解析根据题意可得，直线AB ：七 + ￥= 1, 直线 B F: y=(x2 a bc2ac2ac a 2解得 x =疾又因为直线 AB2 与直线 B1F 的交点恰好在椭圆的右准线上，

11、所以有仁=7， 整理得 a2 ac 2c 2 =0, 即 2e2+ e 1 = 0, 解得 e= 1或 e= *. 而椭圆的离心率0e0),则b= t,则詁+冬 =1.12 2又x=V3t时， y=1=,所以t=2,所以椭圆C的方程为16 +冷=1.2 2x - + y - = 1,164，26联立整理得 7x2+ 12x 52= 0, 解得 x = 2或 x = ,337y = 4x +2 ,所以 |AB| =1+(32610 194) 2|2( 7)|=7由于 |AB| 为定值，因此要使得 PAB的面积最大，必须使得点P 到直线 AB的距离最 大?平移直线1 与椭圆 C 相切，2 2丄+匕

12、 =116+4，设切线 1? y=+ m，联立 3y= 4x + m,整理得 7x2+ 2 3mx + 4m 16=0, 贝= 12m 4 X 易知 (4m 2 16) = 0，解得m = 7,2V切叮 3故厶 PAB 的面积的最大值为 1X 7 x线：1 2 + 7|10,3 + 20,77宀- 浙到直线 AB的距离最大 .V +(申) 214. 解： ( 1) ?点 M(a , 3) 是抛物线 y2= 4x 上一定点，29-3 = 4a, - - a = 4.?.? 抛物线 y2 = 4x 的准线方程为 x = 1,913?点M 到抛物线的准线的距离为9 ( 1)=节 .0?设直线 MA

13、的方程为 y 3 = k(x ”9 、证明：由题知，直线 MA , MB 的斜率存在且不为y 3 = k ( x，亠24124494 整理得 y -y+ 9= 0.T yA+ 3= 4,?yA = 4 3.- 4) ?联立y2= 4x,?AM , BM 的斜率互为相反数，直线94? MB 的方程为 y 3 = k(x ”，同理可得 yB = - 3,直线.-yB yAyB yA442? ?KAB22443,XB XAyB yAyB + yA弋3+ 4 34 72kk?直线AB 的斜率为定值 -.3c 1?=4c2，b2 = 3c 2.15 . 解：由 -=-,得 a= 2c, ?孑a 2将点

14、P 的坐标代入椭圆方程，得c2= 1,22故所求椭圆的标准方程为x+ y= 1.43, 另一条直线的斜率为0, 此时四边形(2)当直线 11 与 12 中有一条直线的斜率不存在时ACBD 的面积 S= 6.则 l2 的斜率为一 若直线 li 与 12 的斜率都存在，设li 的斜率为 k,k?直线 11 的方程为 y= k(x + 1).y = k (x+ 1),设 A(x 1,y”, B(x2, y2) , 联立22筒 + y 3=1 消去 y, 整理得 (4k 2+ 3)x 2+ 8k2x+ 4k2 12 = 0, 丄 =8k2= 4k 2 12?- X1+x2= 4k+,X1? x2 =,12也 2+1?|x 1X2| =VT ,? |AB| =.1 + k 2|x 1 X 2|= 代 / 農 ) . 2112( K+1)用 4 代替 k,可得 |CD|=12 3+ 4).