高考数学“新”题点评

1、高考数学“新”题点评 高考数学试题有36套之多,纵观这36套高考数学试题,继续坚持“有利于高校选拔人才,有利于中学素质教育”的原则,体现“稳中求进,稳中求新”的命题思想.重视高中数学基础知识和基本数学思想方法的考查,同时突出主干知识和数学能力的考查,传统题目居多,但也不乏新题,题目的设计对空间想象、分析推理等思维能力的要求较往年有所提高,同时对数学语言的阅读、理解、转化、表达能力要求仍然较高,继续以数学为载体,考查学生在数学概念迁移到不同情景下挖掘问题的能力. 在这36套高考试题中有不少立意新、题型新、解法新的题目，有的平凡之中见神奇，有的让人耳目一新，有的让人深感受数学的完美与严谨，这些“新

2、”题涉及到各个章节,在这里不能一一展示给大家,仅将立体几何中有代表性的几道“新”题推荐给大家,希望大家能从中得到一定的启示,对今后的教学设计有所帮助.题一:浙江(理14)正四面体abcd的棱长为1,棱ab平面,则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_. 本题题型新颖有趣,考查学生的空间想象能力,分析问题、解决问题的能力.本题要求学生有较强 图1的空间想象能力,想象出面积最大与最小时正四面体的位置,首先注意到ab在平面内的射影的长度保持不变,同时正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形为对角线互相垂直的四边形或等腰三角形.当cd平面时,其射影图形为对角线长为1的正方形,此

3、时射影图形的面积最大,s =11=;当cd平面时射影图形为等腰三角形,底边长为1,相应高为(对棱中点连线的长),此时射影图形的面积最小,s=1=.故射影构成的取值范围是,.abcda1b1c1d1 图2a1题二:安徽卷(理16)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图2，正方体的一个顶点a在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点a相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，p是正方体的其余四个顶点中的一个，则p到平面的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）. 本题题型新颖,切入点特别新颖,给人耳目一新的感觉,考查了平行六面体的体对角线相交于

4、一点且互相平分这一定理,只要学生思路清晰,也不难得到答案.首先由下面的面对角线互相平分及中位线定理得出答案,然后再逐步利用平行六面体体对角线相交于一点且互相平分及中位线定理得到答案当你得到答案时,你就能体会到数学的神奇与魅力.题三:陕西卷(理15)水平桌面上放有4个半径均为2r的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为r的小球,它和下面4个球恰好都相切, 则小球的球心到水平桌面的距离是 本题看上去较平凡,但切入点、思路新颖,考查学生的空间想象能力.解决本题需要学生将问题转化为:求由五个小球的球心构成的一个底面边长为 4r,侧棱长为3r的正四棱锥的高,画出图形易

5、得其高为r,从而得到小球的球心到水平桌面的距离3r.题四:江苏卷(9)两相同的正四棱锥组成如图3所示的几何体，可放进棱长为1的正方体内，使正四棱图3锥的底面abcd与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（a）1个（b）2个（c）3个（d）无穷多个 本题题型新颖, 立意好,考查学生的空间想象能力及分析、 a a1 d解决问题的能力.只要学生思路清晰,方向正确,就不难得到答案，解决方法是将问题转化为求在一个正方形四条边上各取 b1 d1一点,这四点构成的正方形的个数,结合图4,可以知道只要满足aa1=bb1=cc1=dd1, 四边形a1b1c1d1即为正方

6、形,显然这 b c1 c样的正方形有无数多个, 故选d. 图4图5题五:湖南卷(理9)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图5,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ( )a. b. c. d. 本题题型新颖,解法新颖,考查学生的空间想象能力及转化、化归思想的应用,本题解决的关键是明确图5中的截面三角形位于原正四面体的哪个位置,这要求学生 c 能较准确地画出正四面体及其外接球的直观图(如图6),然后快速准确地找到截面三角形所在位置(图6中abc),然后,取ab的中点d,连结cd,易知cdab进而可求得 a d bcd=,于是,sabc=abcd=2=, 故选

7、c. 图6题六:江西卷(文9)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 本题题型新颖,解法、思路灵活且新颖,考查学生的空间想象能力及及分析问题、解决问题的能力,解答时可以依据题意逐一考查,因为四条侧棱都相等,易知侧棱、侧棱在底面上的射影及高所构成直角三角形是全等的,故a正确; p对于c，可以结合从同一点出发的斜线段相等则其射影也相等,从而可知底面四边形必存在外接圆,c正确;对于d,可以想象该

8、“等腰四棱锥”的四条侧棱,可以看作是一个圆锥的四条 d c母线(如图7),易知在该“等腰四棱锥”的高上任一点到底面四边形各顶点的距离相等,故在高线po上必有一点到“等腰四 a o b 棱锥”的五个顶点的距离相等, 而 a、b、c、d可在底面圆 图7周上任意移动（但不互相重合) , 从而可知b不正确，故选b . 这些新题目让人赏心悦目,正是它们给高考试题添彩,2006年高考数学试题中还有好多新题,立体几何方面的还有不少,如山东卷(理12), 安徽卷(理9),四川卷(文9)等,而涉及到其它章节如集合、排列组合、解析几何等方面的也有很多,让我们一起关注这些新题,把握高考的脉搏,共同体会高考试题的魅力吧! 参考书目: 1 .中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(试验).人民教育出版社.2 .中学数学教学参考试题