卧式加油灌剩余油料体积的计算

1、卧式加油灌剩余油料体积的计算西安交通大学理学院王郑耀http:vangzhengyaoxiloocom2004-8-81问题的提出随着社会经济的发展，汽午逐渐普及，路边上加油站的数目也不断增加。一 般加油站都使用卧式油罐（如图I）存储油料。从图上可以看到，这种卧式油罐 是由一个圆柱（如图1，记长为L,半径为2R）和两个相同的球缺（如图1 , 球却半径截球缺的大圆的H径是2R,显然QR）焊接而成的。现在的一个问 题是，如何计并油罐小所剩油料的体枳。这个问题在加汕站管理中有很亜要的意 义。图1卧式油罐经典的方法是：通过长度测帚工具在油罐上部的开口处向下测帚:油罐中汕料 的垂克高度h （如图2）,然

2、后査表得到体积。本文现在所要做的lE是这个表格 的建立。现在问题的困难在:T，虽然我们可以测最得到参数R的值，但是不知 道油罐的其他网个参数，也就是图1 ,2中的r和L。图2体积的测最另外，大暈的汕料的休积随着温度的变化是明显的。为了消除温度的影响, 我们还得考虑油料的体积随温度变化的关系。一般的说，采用经验公式：#(1)V/=V：ox 1 + 0.000036(/-20)这样，我们可以将体积全部化为温度20度时的数据，然后进行计算。2 体积模型的形成木章在假设己知参数厂和厶的条件下，推导储油讎剩余油料高度为 li(0hjR2 - h2 - R2ArcTan 卡fiikihj 疋一 h22-R

3、2(6)ds 師= 2jR lfdh(3)(6)ds 師= 2jR lfdh(3)所以,Vh) = LS側j 二 LhyjR2 - h2 - LR ArcTanhy/R2-hh2-R2(5)(6)ds 師= 2jR lfdh(3)(6)ds 師= 2jR lfdh(3)(2)计算两端球缺部分所剩余油料的体积认由于左右是对称的，所以我们只需耍计算其中一个。(6)ds 師= 2jR lfdh(3)(6)ds 師= 2jR lfdh(3)图5球缺部分油料剩余体积的计算同前面一样的思路，先计算水平截面的面枳S灯(力，然后在垂K方向上对力积分：v2 = sh)dh0(6)下面求S水平(%):5#图6水半

4、截面的半彳仝如图7, S灯(/】)就是阴影部分的而积。#图7 水平截而的面积显然，rh Vr-/r s水平(h)= j 2ylr-s2ds= J 2/r2 -h2-s2ds (7) r-HlH计算得S$、r 0)= (H -h)yl2Hr-h2-H2 + 存r-H(8)从而h%(h) = JS和h/1=-h)j2Hr-If - H2 + 兀(尸+- 尸)ArcTanr-Hj2Hr-h2-H2)dlihr 鈕 2Hhj2Hr-lf-H2 2h*2Hr-h-H2+263H-3H2r+2r . 丁一ArcTan3ie-3hr2 . 丁ArcTan3ArcTan3y/2Hr-h2-H2 )r-H(9)

5、j2Hr-lr-H2 ) h(r-H)、rj2HF-h-H2 #丁是，得到了图3所示部分的体积计算公式y(/I)= V；(/i)+2V;(A)另外，参数H并不是独立的。事实上，如图8可以看出，它可以由I和R计 算得到。#利用勾股定理,(町+ R2 =(10)#则可以计算得到,#(11)H = r-4rr-R2将式（11）代入V（） = V） + 2匕（/】）得V(h) = Vl(h) + 2V2(h)=7rhr2 -也-+ hLjR - If - - hJr-RjR-h33+ LR2-yjr2 -Rz(2r2 + RArcTan+ liz -Mir2) ArcTan(12)yjR2-h2hj

6、m、皿-心PArcTan 37#(1) Rh2R的情况# QhRh5R(13)其中，匕表示储油罐的体积。根据圆柱体和球缺的体积计算公式,妒的L+竺警邑2(14)2(r-/r2-/?2) (3厂一厂+、/厂，一/?)= ttR2L+ 3= 7rR2L + -r-yJr2 - R2 j (2r + /r2 -/?2)于是,得到了卧式储油罐所剩油体积和油面高度的关系表达式V（/0o呻）含 有两个3参数：圆柱体半径R,圆柱体的长度L和球缺的半径r,并且r/?0o 其中参数R可以直接测量得到。当/? = 1.28 （米）,r = 2.14 （米），厶= 8.00 （米）的时侯（此时储油罐的储 油量最大值

7、按照（14式）计算为43. 4455立方米），储油罐中所储藏的游的体积 与汕面高度的曲线见图10o当/? = 1.20 （米），r = 2.00 （米），厶= 8.00 （米）的时侯（此时储油罐的储 油量最大值按照（14式）计算为38. 0677立方米），储油罐中所储藏的游的体积 与油面高度的曲线见图lloV（立方米）10015 0R=l. 28（米）r=2. 14 （米）L=8. 00 （米）200亠h （厘米）250图10 一组特定的参数取值下体枳与高度的关系曲线9#图11 一组特定的参数取值下体积与岛度的关系曲线#3利用最小二乘算法进行参数估计上一章我们得到了标准的储汕罐中所剩油体积的计

8、算公式。但是，现在的问 题是我们只能测最得到准确的参数/?,参数厶和广的值无法知道（当然，通过测 量储汕罐的外部可以得到这些参数的粗略的佔计值）。表达式V中隐含了 3个参数R/丄,所以以下记作VgRmL）。其中，参 数R是己知的。可以采取的办法是：现有的计最设备町以十分准确地量取100L （记为、I）的 汕，可以往要检测的空储油罐中注入100L油料,然后测量油面的高度,从而获 取-组特定的汕而高度和体积数据（/,M）;然后注入200L后测届汕而的岛度，获 得第二组数据（/mA/）,通过这样的方法一戌到装满格个储油罐为止，获取许 多组数据。以下假设由N （般來说，N都非常大）组数据（示例参见表1

9、 ,数 据描点所得的关系图参见图12）：（九,岭），（仏，冬），（几，2于是，现在的问题变成了:已知上述N组数据满足含有2个参数/*,厶的函数 表达式V（h）（见式13）,如何求参数r,L ?仃了这网个参数，则生成一个高度与 体积关系的表就是一个很简单的事情。这是一个标准的参数识别的问题。最小二乘算法是这类问题的一个非常好的 方法。因为上述N个数据满足表达式VgRmL），任意给定一组有意义的参数/上， 计算值和测暈值的总偏差是NF（r,L） = 2（V（/2r,L,/?）-v（.）2（显然，使得计算值和测诡值的总偏差尸（八厶）放小的参数几厶就是实际的参 数。于是变成下面的瑕优化问题(16)Fr

10、X)= Min F(r,L)rRyLQhVhVhVhV0.010.0160. 060.2380. 110. 5870. 161.0250.211. 5320. 262. 0980.312.7140. 363. 3760.414. 0770. 461.8130.515. 5820. 566. 380.617. 2010. 668. 0510. 718. 920. 769. 8080.8110.7130. 8611.6340.9112. 5680. 9613.5131.0114. 4691.0615. 1331.1116. 4041. 1617. 381.2118. 3591. 2619. 342

11、1. 3120. 3211. 3621.3061.4122. 2861. 1623. 2621. 5124.2331. 5625. 1981.6126. 1531.6627. 0991.7128.0331.7628. 9541.8129. 8591.8630. 7481.9131.6171. 9632. 4652.0133. 2892. 0634. 0882. 1134.8572. 1635. 5942.2136. 2962.2636. 9582.3137. 5762. 3638. 1432.4138. 6512.4639. 092.5139. 442表140F储油罐1 #油的一批数据将图10

12、, 11, 12画在同一个坐标系下（参见图13,其中图10对应图13中 深色线，图11对应图13中浅色的线），不难发现图11中曲线耍比图10更接近 数据点。实际上，每一组参数对应一条曲线，式（15）、（16）的物理含义就是耍 寻找与数据点虽接近的函数对应的参数114CV （立方米）so20ISO200250 h （厘米）图12所采集的数据描点h（厘米）图13将图10, 11, 12画在同一个座标系下(20)134最优化问题的SNTO算法第三章我们得到了一个最优化问题（16）。本章的主要目的是求解这个全局最 优化问题。从实际情况出发，参数匚L的范IH可以进一步限制。（1）丄的范(20)#(20)

13、#储汕罐圆柱体部分的外部的长度（厶,）是可以测量的（可以适当放大这个 数），显然内部的长度L要它小。另一方而，储油罐的厚度d并不是不可估计的。 对储油罐的厚度d做充分大的估计。丁是L外d 5 L 5 厶外（17）实际上，l的取值区间的长度就是d。（2）r的范围/的最小值就是R。对丁球缺有（10）式(18)(19)（r-H）2 + /?2 = r2化简得H2 + R22H是厂的I界不超过其中H外为外部测最得到的近似值心为外部测量的卧式储汕罐的离度 的一半。计算得到的/外的值适当放人。最后,Rrrr的取值区间的长度为/ = 卜一 R。在实际问题中参数厂，厶取值区间的长度d和/都不会很大。初步估计，

14、最 大为0.5米，也就是500毫米。实际问题屮我们只需要保留到小数点后第三位即可，也就是保留到毫米的 赫度。这样参数/和厶实际上分別最多只有500种选择，他们的组介最多只有 250000种。于是，有两种计算方法:(1)可以考虑逐一试验参数的组合以下分析这种算法的计算最。计算250000中参数情形的F(r,L)毎计算-次FJ丄),盂婆计算N (数据点的个数)次函数Vg“L,R)的值；还需耍一次乘法、一个减法：每计算一个函数值的计算量是：19次加减法、3次反正切、34乘除、2次开 方合计的计算最大约是：250000x21 = 525.0000N 次加减法250000/Vx 34 = 850,0000/V 次乘除法250000N x 2 = 50.0000N 次开方250000/V x 3 = 75,0000N 次反 iE切(20)15N的数目估计为200。则计算最是10, 5000, 0000次加减法、11, 6000, 0000 次乘除法、1, 0000, 0000次开方、1, 5000, 0000次反正切。这样计算鼠，在目前的计算机上运行在儿分钟内即可得到结果。(2) SNTO 算法还可以采用序贯数论算法.