数学建模论文基于多状态概率转移和排队论模型下的眼科病床安排

1、基于多状态概率转移和排队论模型下的眼科病床安排摘要本文针对现有医院眼科住院部的病床安排存在的问题，运用多状态概率转移和排队论理论以及权重因子建立了一个对医院病床有效利用的模型。本文运用运筹学中的排队论理论、马尔可夫随机过程和多状态概率转移理论，通过对该医院目前病床安排情况的研究，对床位安排综合考虑病床周转率、病人在医院的平均逗留时间等因素进行了优化设计，提出了科学有效的整改意见，为医院的病床安排工作和医院的整体经济效益提供了科学、量化的管理依据。首先，对问题一利用排队论模型，对医院现使用的fcfs模型进行了分析处理，从结果来看，当前模型存在病床使用超负荷、病人平均等待时间过长等不合理之处；其次

2、，在对问题一分析的基础上，综合考虑各类疾病平均住院天数最短、各类病人的平均等待时间及各类疾病就诊人数情况，给出了多因子加权评价模型，提出了解决问题二和问题四的相应方案；最后，对问题三和问题五，利用多状态概率转移模型，给出了病人大致入院时间区间，建立了使得所有病人在系统内平均逗留时间最短的病床比例分配模型。关键词: 多态概率转移模型 markov随机过程 排队论 最短路径优先算法 一、 问题的重述：医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前。某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而

3、且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住

4、院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、 问题的假设1. 假设每天来医院看病的人数是随机的，且不受一些外部因素的影响（如天气，节日等等）。

5、2. 假设顾客相继到达的时间间隔是随机的。3. 假设医院的眼科手术条件比较充分，即手术条件方面没有限制。4. 假设手术的治愈率很高，复发的情况非常之少，因此复发情况不予考虑。5. 假设除外伤外，其它眼科疾病的急症情况非常少，因此不予考虑。三、 符号的说明-急症病人（外伤病人）在单位时间内的平均到达量-非急症病人(白内障、青光眼、视网膜疾病病人)在单位时间内的平均到达量，费急症病人-平均服务率，为平均住院日-平均每日病床需求量， ，s-病区总病床数，b-普通病床数，则s-b为留作急症病床数-n张病床被占用 的稳态概率-n张病床被占用而有q个病人在排队等待的联合稳态概率 （n=b、b+1s） -服

6、务强度，-白内障病人从门诊到入院的平均等待时间-青光眼病人从门诊到入院的平均等待时间-视网膜疾病病人从门诊到入院的平均等待时间-内伤病人从门诊到入院的平均等待时间-病人的平均入院时间四、 问题的分析该医院的手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs（first come, first serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。我们希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。在现有编制病床数的条

7、件下，充分发挥医院为病人服务的能力，提高医院的社会效益和经济效益，因此，针对医院住院管理系统一般模型我们提出系统优化条件：急症病人益处应小于某一个标准，同时还要考虑不能是排队入院的非急症病人等待时间太长，这里用指标因子来衡量。等待因子=病人排队等待的期望时间/平均住院日，也即要求等待因子小于某一个标准，在模型中这个标准设为1。这是可以把医院住院管理系统的优化问题转化为某一病区在一个时期内，急症病人和非急症病人分别以到达率和来医院求治，在病区总病床数一定的前提下，安排留用多少张急症病床使得等待因子小于某一个指标，同时还有较高的病床使用率。五、 模型的建立与求解问题一针对医院原有模型我们提出两个指

8、标:忙期()和病人平均等待时间()，我们利用m/m/1模型排队模型提出-平均到达率，表示单位时间品均到达的病人数，-平均服务率，表示单位时间能被服务完的病人数(期望值)，而就表示一个病人的平均服务时间，我们还定义为服务强度，它是相同时间区间 内病人到达的期望值与能被服务的期望值之比，这个比是刻划服务效率和服务机构利用程度的重要标志。在排队论问题时，要求求出系统在任意时间的状态为n(系统中有几个病人数)的概率，他决定了系统运行的特征。病人住院时间(v)出现次数()1112431342054564474583293010421136122313241415158169173182到达的病人数(n)

9、出现次数() 324255677886911103115124133142152161通过计算知，又由m/m/1模型中，当，这是1系统中病人为零时的概率，也可以说时系统的空闲概率或不必等待概率。请注意，如果，则将是负值，这个值违背了概率的法则，这种情况表明，排队无止境地增长，系统处于非稳定状态。因此通过忙期这个指标我们知道，该医院原有模型一直处于过度饱和状态，服务强度过大，医院应对突发性事件能力就差。病人平均等待时间： 再由病人平均等待时间可以知道，病人平均等待时间过长，这必将造成病人满意度严重下降，从而影响医院声誉和效益。因此，综合上述两个指标我们可以初步得出结论：该医院原有模型fcfs不合

10、理，病人平均等待时间过长导致病人满意度下降和医院忙期过大，造成医院服务强度过大，而且远远大于医院能过的承载范围，不利于医院处理突发事件，基于上述两个指标，我们可以充分认为该模型不合理。问题二与问题四符号说明： -每天的空床数 -每天的预留床位数 -每天的出院人数 -每天到达的总人数 -四类病人每天到达的总人数（x=1、2、3、4） -四类病人住院的平均天数（x=1、2、3、4）-四类病人入院前平均等待时间-四类病人的等待天数(等待天数1天)-各类病人分配住院的人数各类疾病就诊人数对病床分配影响的权值因子为各类疾病平均住院天数对病床分配影响的权值因子为各类病人的平均等待时间对病床分配影响的权值因

11、子为我们对权值作如下规定：=0.3 =0.4 =0.3 为了提高医院病床的周转率，如果某类疾病病人的平均住院天数越短就越大，也就是说该类病人的优先级越高，故对做如下计算：定值(即与成反比) 且另外，为了缩短病人的等待时间，提高病人的满意度，考虑病人平均等待时间超过一定的阈值就给予较高的优先级，即给予的较高的定值 且 床位利用率=综合资料统计平均每天每类病人住院天数，根据病人入院时间可以预算出今后每天有多少病人出院，根据病人出院人数，我们先将优先级高的病人安排住院，而对于那些由于优先级较低而未安排住院的病人，我们给予一个并根据其以后排队次数进行累加，当期与优先级最高的病人达到相同的优先级是即可安

12、排住院，得到目标函数：。在问题四中，该住院部周六周日不安排手术，那么该医院的手术时间安排就需要做出如下相应的调整：1. 将白内障的手术时间定为周一和周五，那么考虑到白内障病人手术准备时间只需1、2天，为了资源的合理分配和充分利用，白内障病人需要在周一手术的只能在周六、日入院，需要在周五手术的白内障病人只能在周三、四入院，并在相应的手术准备时间后即进行手术。2. 因为其他疾病的手术一般不与白内障手术在同一天进行，故其他疾病的病人手术时间为周二、三、四，再根据其手术准备时间，可决定其入院时间只能在周六到周二。3. 病人的入院时间根据不同的疾病类型的平均住院天数确定相应的外部优先级，再根据同一类型病

13、人登记时间确定相应的内部优先级，然后根据最短平均住院时间优先和fcfs的算法模型进行调度，采用链表实现具体调度算法。假设其初始化状态为：当前剩余床位数为m张，每天预留一张床作为急症病人的救治，其他78张床作为每天平均开放床位数，并设目前已经住院的病人在n天内必须完全出院，每天出院人数分别为：，并且。 问题三与问题五（一） 医院住院管理系统的一般描述在医院，每天有许多病人随机地来请求医疗服务，其中有一部分病人需要住院治疗。如果把病人按其入院途径来分类，就有急诊入院病人和非急症入院病人(白内障、青光眼、视网膜疾病病人)之分，急诊病人要求医院能够及时优先收住入院治疗。当医院病床处于满荷时，通过增加病

14、床或转往他院，使急诊病人及时得到救治。而非急症病人(白内障、青光眼、视网膜疾病病人)则视医院当时病床的占用情况，按先到先服务的规则安排入院，如果医院无空床，则需要排队等待。如图：+-非急症病人到达流急症病人到达流住院系统优化指标：1、 病床使用率2、 急症病人溢出率3、 系统和稳定性+计划非急症病人到达流约入院时间病人登记预病人到达率出院病人率病人住院治疗溢出流急症病人决策控制注：其中急症病人为外伤病人；非急症病人包括白内障（单双眼）、青光眼、视网膜疾病病人。我们就题目所提供的数据，经计算得出如下数据：病人类型外伤视网膜疾病青光眼白内障白内障(双眼平均病人到达数1.0491802.786885

15、1.0327871.6393442.180328病人平均等待入院时间1.00000012.54455412.25641012.66666712.512195并作图如下：由于外伤属于急症，医院应该立即安排住院，根据上面数据统计显示，外伤病人平均每天到达人数为1人，所以医院应该至少预留一个空床安排病人。我们原模型的一些数据用计算机进行统计计算得出的一些评价该医院的数据指标如下：该医院病人从门诊到入院的平均等待时间=10.71602=外伤病人从门诊到入院的平均等待时间=1（天）=视网膜疾病病人从门诊到入院的平均等待时间=12.544554=青光眼病人从门诊到入院的平均等待时间=12.256410=白

16、内障病人从门诊到入院的平均等待时间=12.512195=病人的平均住院时间=9.467893=外伤病人的平均住院时间=7.036364=白内障病人的平均住院时间=7.694655=视网膜疾病病人的平均住院时间=12.544554=青光眼病人的平均住院时间=10.487179病人的等待因子=，由此我们可得到病人的平均等待因子由大到小以此为：白内障青光眼视网膜疾病外伤。并且从题中数据分析每天门诊的白内障病人数为总人数的46.59%，即占总人数的绝大部分。由问题一及上述描述我们得知原模型存在一些不合理之处，由此我们对题中模型进行改进并建立如下多状态概率转移优化模型：（二）针对医院住院管理系统一般模型

17、的多状态概率转移优化模型由于需要住院的病人和病人住院时间是随机的，因此，医院住院系统实际是一个以病床为基本服务单元的随机服务系统，根据文献【1】【2】，非急症病人流和急症病人流服从泊松分布，而且，两种病人的住院时间也大都服从指数分布。显然，这个随机服务系统可以用马尔科夫随机过程理论来建立系统多状态概率转移模型。1系统状态转移图及其概率转移方程因为一个病区病床总数是一定的，因此医院住院系统的状态也是有限的，分析医院不同条件下的病人出院情况，我们可以分别画出以下各种条件下的状态转移图，根据排队论中的生灭过程理论【4】，建立多状态概率转移方程。（1）当时（2）当时（3）当时（4）当时（5）当时（6）

18、当时（7）当时（8）当时（9）当时将上述方程整理得： (n=1,2, 、b-2) 1.1 (n=b-1) 1.2 (n=b, ) 1.3 (n=b, ) 1.4(n=b+1, b-1, ) 1.5 (n=b+1 s-1, ) 1.6 (n=s, ) 1.7(n=s,) 1.82 方程的解及其状态概率计算(1)有n张病床被占用的概率由等式1.11.8可得到以下各式或 (n=1, b-1) 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5这时可以通过以下递推等式计算： (n=b-2、b-3、 0) (n=b+1、b+2、 s) (2)系统有个病人排队的概率在医院住院系统中，病人排队的概率可由下列矩阵表示：其

19、中，为病人排队的最大长度。 实际上一个医院住院系统排队等待的病人不可能很多，即很大时，往往很小，可以忽略不计，这时：可以证明往往可以写成： 其中： 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5由3.13.5可以发现与无关。 3.6这时可以由以下等式计算得：首先计算 则由2、3得由3.13.5得由3、6得最后可得排队长度等于的概率：3 医院住院管理系统运行指标无排队的概率：有排队的概率：所有病床均被占用的概率：急症病人溢出率：住院系统内病人的期望数：排队等待病人的期望数：病人在系统内逗留时间的期望数：病人排队等待时间的期望数：病床使用率：病床周转次数：留作急症病床数：进一步对问题五进行分析，我们假定（

20、x=1、2、3、4）分别为外伤、白内障、视网膜疾病、青光眼病人病床安排比例，(x=1、2、3、4)分别为外伤、白内障、视网膜疾病、青光眼病人未被安排入院病人人数：（三）模型求解所有病床均被占用的概率：=85.64%日平均住院人数：=76排队等待病人的期望数：=1.65病人在系统内逗留时间的期望数：=17.42病人排队等待时间的期望数：=6.67病床使用率：=85%病床周转次数：=1.23（次/周）留作急症病床数：=2对问题三中数据进行动态统计分析，根据多状态概率转移模型，得出各类病人在门诊时被告知其大致入院时间区间为：因为有预留急症床位，所以急诊病人就诊时可立即告知入院时间，对问题五分析得出各

21、类病人占用病床的比例分别为：外伤：13.2%白内障为：39.2%视网膜疾病为：29.0%青光眼为：18.6%六、 模型评价与改进化本文中建立的模型中考虑为急症病人预留床位、各类疾病平均住院天数、各类病人的平均等待时间及各类疾病就诊人数等综合情况，使得使得我们的模型更具有推广性。由于现实生活中病人到达医院的随机性，不可能完全服从泊松分布，因此，对模型给出的满足泊松分布假设不可避免的会产生误差。本模型忽略非外伤病人的眼科疾病的急症情况，因此，不能完全准确的预测实际情况。同时该模型可进一步从医院的收益、医生的手术安排和医院机械设备等方面进行改进。七、 参考文献1 p.kolesar“a markov

22、ian model for hospital admission scheduling”management sci.vol.16 no.16 1970 b-3842 a.jones“length of stay in hospital”lancet 1(1964) 321-3223w.shonick “n improved siochastic model for occupancy retaled random variables in general acute hospital” opns.res.21, 952-965(1973)4 陆凤山(1984.) 排队论及其应用 湖南科学技术

23、出版社5 叶其孝大学生数学建模竞赛辅导教材(一) 湖南教育出版社附录/按平均住院天数最短类型病人优先级最高即最短作业优先算法安排病人入院，#include #include struct pro int sicktype;/病人病例类型 int count3;/每类病人排队人数 char arrivetime;/病人到达时间 char avertime;/每类病人平均住院时间 char outtime;/病人出院时间 int prop;/病人入院外部优先级，决定不同类型入院优先级 int pro1;/病人入院内部优先级，决定同一类型入院优先级 int numa;/a类病人编号 int numb

24、;/b类病人编号 int numc;/c类病人编号 struct pro *next;/枚举类型/public enum sicktypeqing(青光眼,0), shi(视网膜疾病,1),bai(白内障,2);/* 函数声明 */struct pro* creatlist();void insert(struct pro *head,struct pro *s); struct pro* searchbyat(struct pro *head,int at); void run(struct pro *head);void del(struct pro* p);int getcount(st

25、ruct pro *head,int time);int init();/初始化函数struct pro *a,*b,*c;/*a,*b,*c分别指向a、b、c类链表内最后结点的尾部int outnum20;/从当前日期开始，20天内每天病人出院人数int count3;int init()/将此前的病人人数统计下来int a,b,c;/int a78,b78,c78;printf(please input the numbers of a types sicks wating for curing:n);scanf(%d,&a);/s-numa=a;count1=a;/printf(plea

26、se remember your number a,a);printf(please input the numbers of a types sicks wating for curing:n);scanf(%d,&b);/s-numa=b;count2=b;/printf(please remember your number a,b);printf(please input the numbers of a types sicks wating for curing:n);scanf(%d,&c);/s-numa=c;count3=c;/printf(please remember yo

27、ur number a,c);return count1,count2,count3;/此前的病人按照入院编号及类型依次加入链表，后面的病人按照编号及类型追加或者插入。struct pro* creatlist() /创建链表，按照病人的编号及类型排列 struct pro* s; int i,max; max=count1+count2+count3; for(i=0;inext=null; a=head-next; b=head-next; c=head-next; for(i=0;isicktype); / printf(请输入运行时间:n); / scanf(%d,&(s-runtim

28、e); if(s-sicktype=0)/青光眼病例 s-avertime=10;/a、b、c类病人的平均住院时间 count1=count1+1; s-numa=s-numa+; printf(please remember your number a,s-numa); s-prop=1;/青光眼外部优先级最低为1 printf(请输入到达时间:n); scanf(%d,&(s-arrivetime); s-pro1=getdate()-s-arrivetime;/到达时间决定内部优先级，值越大优先级越高 s-next=null; insert(head,s); a=s-next; if(s

29、-sicktype=1)/视网膜病例 count2=count2+1; s-numb=s-numb+; printf(please remember your number b,s-numb); s-prop=2;/视网膜外部优先级为2 printf(请输入到达时间:n); scanf(%d,&(s-arrivetime); char pro1=getdate()-s-arrivetime;/到达时间决定内部优先级，值越大优先级越高 s-next=null; insert(head,s); b=s-next; if(s-sicktype=2)/白内障病例 count3=count3+1; s-

30、numc=s-numc+; printf(please remember your number c,s-numc); s-prop=3;/白内障外部优先级最高为3 printf(请输入到达时间:n); scanf(%d,&(s-arrivetime); char pro1=getdate()-arrivetime;/到达时间决定内部优先级，值越大优先级越高 s-next=null; insert(head,s); return head;void insert(struct pro *head,struct pro *s) /* 插入节点 */struct pro *p;switch(s-s

31、icktype)case 0: /青光眼*p=searchbyat(head,*a);s-next=p-next; p-next=s;s-arrivetime=getdate();a=s-next;count1=count1+1;s-numa+;printf(please remember your number a,s-numa);break;case 1: *p=searchbyat(head,*b);s-next=p-next; p-next=s;s-arrivetime=getdate();b=s-next;count2=count2+1;s-numb+;printf(please r

32、emember your number b,s-numb);break;case 2: *p=searchbyat(head,*c);s-next=p-next; p-next=s;s-arrivetime=getdate();c=s-next;count3=count3+1;s-numc+;printf(please remember your number c,s-numc);break;return;struct pro* searchbyat(struct pro *head,struct pro *m) /* 查找链表中对应类的最后一个节点，返回其前一个指针 */ struct pr

33、o *p,*q; p=head; q=head-next; while(q!=null&q-next!=m) p=q; q=q-next; return p;void del(struct pro* p) /* 删除p的下一个节点 */ struct pro *tmp; switch(p-sicktype) case 0: count1=count1-1;break; case 1: count2=count2-1;break; case 2: count3=count3-1;break; outnump-avertime-1+=1; tmp=p-next; p-next=tmp-next;

34、free(tmp); return;int getcount(struct pro *head,int time) /* 察看当前排队系统中病人数*/ int count=0; struct pro *p,*q; p=head; q=p-next; while(q!=null&q-arrivetimenext; return count;/按平均住院天数最短类型病人优先级最高即最短作业优先算法安排病人入院，/并计算其出院时间，计算在其出院日期出院总人数。void run(struct pro *head,int r)char time=getdate(),count;struct pro *s

35、,*t;r=r+outnum0;while(head-next!=null)count=getcount(head,time);if(count=0) /* 如果当前排队系统中没有病人，时间自增 */time=time+1;else if(count=1) /* 如果当前排队系统中只有一个病人，则必定是第一个节点 */t=head;s=t-next;if(r1)if(s=a)/安排这个病人入院，入院时间为当前时间printf(编号a:%dn,s-numa);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间:%

36、dn,time);printf(出院时间:%dn,s-outtime=time+s-avertime);printf(住院时间:%dn,time-s-arrivetime);printf(*n);del(t);if(s=b)printf(编号b:%dn,s-numb);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间:%dn,time);printf(出院时间:%dn,s-outtime=time+s-avertime);printf(住院时间:%dn,time-s-arrivetime);printf(*n

37、);del(t);if(s=c)printf(编号c:%dn,s-numc);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间:%dn,time);printf(出院时间:%dn,s-outtime=time+s-avertime);printf(住院时间:%dn,time-s-arrivetime);printf(*n);del(t);else /* 如果排队系统中的病人数=2，则在head后的count个节点中进行短作业优先调度 */if(count1=r)count=getcount(head,time

38、);while(count!=r)printf(编号a:%dn,s-numa);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间:%dn,time);printf(出院时间:%dn,s-outtime=time+s-avertime);printf(住院时间:%dn,time-s-arrivetime);printf(*n);del(s);if(count1r)while(s-next!=a)printf(编号a:%dn,s-numa);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时

39、间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间:%dn,time);printf(出院时间:%dn,s-outtime=time+s-avertime);printf(住院时间:%dn,time-s-arrivetime);printf(*n);del(s);count=getcount(head,time);while(count!=r-count1)printf(编号b:%dn,s-numb);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间:%dn,time);printf(出院时间:%

40、dn,s-outtime=time+s-avertime);printf(住院时间:%dn,time-s-arrivetime);printf(*n);del(s);if(count1+count2r)while(s-next!=a)printf(编号a:%dn,s-numa);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间:%dn,time);printf(出院时间:%dn,s-outtime=time+s-avertime);printf(住院时间:%dn,time-s-arrivetime);printf(*n);del(s);while(s-next!=b)printf(编号b:%dn,s-numb);printf(类型:%dn,s-sicktype);printf(门诊时间:%dn,s-arrivetime);printf(入院时间