第七章粒子在电磁场中运动

1、第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics第七章第七章 电磁场中粒子的运动电磁场中粒子的运动教学内容教学内容第1页1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量2 正常zeemanzeeman效应3 landau landau 能级第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量电磁场中荷电粒子的运动，两类动量考虑质量为, 荷电q的粒子在电磁场中的运动。在经典力学中, 其hamilton量为:第2页a为矢势， 为标势, p为正则动量。 理由如下：正则方程正则方程newton newton 方程方程lorentz lorentz 力力第

2、7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics证明：证明：第3页在有磁场的情况下，带电粒子的正则动量并不等于机械动量。第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics第4页第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics按照量子力学中的正则量子化程序，在坐标表象中，把正则动量换成算符，第5页则电磁场中荷电q的粒子的hamilton算符为schrdinger 方程为第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics第6页一般说来，p和a不对易但若利用库仑规范，第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics讨论讨论1. 定域的概

3、率守恒与流密度 取复共轭 （a, 为实，坐标表象中 ）第7页（1）（2）*（1） - （2）第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics第8页速度算符流密度算符第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics2. 2. 规范不变性规范不变性电磁场具有规范不变性，第9页e, b 均不变，其中 是时间和空间的任意函数。经典牛顿方程中，只出现e, b 因此是规范不变的。可以证明schrdinger方程在规范变换式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变换则schrdinger方程形式上不变。第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanicsschrdinge

4、r方程具有规范不变性。容易证明， j, 在规范变化下都不变。第10页经典力学中，矢势和标势进行规范变换后，场强不变。如果物理现象仅仅决定于场强而不决定于势，则这个规范不变性在量子理论中也必须成立。现在如果我们简单的将a,代入薛定谔方程，当然会得到一些破坏薛定鄂方程规范不变性的附加项。第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics为了消去这些项，只有让波函数也参与规范变换，但是由于*有确定的物理意义，因此它和场强一样不会由于变换而改变，唯一的可能是设第11页 是 r, t 的任意适当的函数。带入schrdinger方程第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics

5、第12页整理后可得第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics第13页令薛定鄂方程具有规范不变性第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics2 正常正常zeemanzeeman效应效应原子中的电子，可近似看成在一个中心平均场中运动，能级一般有简并。实验发现，如把原子置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常zeeman效应，光谱线的分裂反映原子的简并能级发生分裂，即能级简并被解除或部分解除。第14页在原子大小范围中，实验室里常用的磁场都可视为均匀磁场，记为b，不依赖于电子的坐标，于是，相应的矢势a可写为:不难验证第7章 电磁场中粒子的运动 qu

6、antum mechanics取磁场方向为z轴方向，则第15页为计算简单起见，考虑碱金属原子。每个原子中只有一个价电子，在原子核及内层满壳电子所产生的屏蔽coulomb场 v(r) 中运动. 价电子的hamilton量可以表示为:第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics在原子中，x2+y2a2(10-8cm)2, 通常实验室中磁场强度b105gs, 则有第16页外加均匀磁场中，原子系统球对称性被破坏，l不再为守恒量。但l2及lz仍为守恒量。能量本征函数仍然可以选为（h, l2, lz,）的共同本征函数，即最后一项可视为电子轨道磁矩 与外磁场相互作用。第7章 电磁场中粒子的

7、运动 quantum mechanics相应的能量本征值为第17页larmor 频率为屏蔽coulomb场v(r) 中粒子的能量本征值。屏蔽coulomb场与纯coulomb场有所不同，其能级与径向量子数和角动量l有关，简并度为2l+1 (球对称性).加上外磁场后，球对称性被破坏，能级简并度被全部解除，能量本征值和 均有关，原来的能级 分为2l+1条，分裂后的相邻能级间距为第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics光谱在外磁场中分裂的现象称为塞曼效应。钠原子光谱黄线在强磁场中分裂为三条。外磁场b愈强，则zeeman分裂愈大。第18页第7章 电磁场中粒子的运动 quantum

8、 mechanics3 landau landau 能级能级电子（质量为m, 电荷-e），均匀磁场b b中运动。矢势取为a a=1/2 b br r，取磁场方向为z轴方向，第19页hamilton量讨论电子在xy平面中的运动，z方向，自由运动，平面波解。第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanicsb的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用，而b2项则为反磁项。在zeeman效应中，由于电子局限在原子内部运动，在通常实验室所用磁场强度下，反磁项很小，常忽略不计。对自由粒子，或在极端环境下，如白矮星，中子星上， b2项就必须考虑。第20页larmor频率第7章 电磁场中粒子的

9、运动 quantum mechanicsh0的形式与二维各项同性谐振子形式上相同。电子能量本征态可取为对易守恒量完全集（h, lz）的共同本征态，即（采用极坐标）第21页代入能量本征方程，可求出径向方程:可解出能量本征值e（laudau 能级）:第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanicsf为合流超几何函数, n表示径向波函数的节点数.第22页相应的径向能量本征函数为对于二维各向同性谐振子, 能级简并度对于均匀磁场中的电子，hamilton量中出现了llz项，此时尽管能量本征函数的形式未变，但能量本征值为第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics所有m0的

10、态所对应的能量都相同，因而能级简并度为,对于较低的几条能级的简并度的分析如下: 第23页第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics能量可以看成是电子在外磁场中感应而产生的磁矩z与与外磁场的相互作用- z b, 第24页负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有反磁性。上述关于laudau能级的讨论不因规范选择而异，例如，对于landau选用过的规范相差一个规范变换：第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics电子在xy平面内运动的hamilton量为第25页此时, 的本征态可取为守恒量完全集（h, px）的共同本征态，即令回旋频率第7章 电磁场中粒子的运动 quantum mechanics上式描述的是一个一维谐振子，平衡点y0，能量本征值为第26页相应的能量本征函数为依赖于n, y0, 而y0依赖于px, 可以取（-，+）中的一切实数