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线性代数综合练习题（五）参考答案一、填空题1. ， 2. ， 3. 4. 3 ， 5. .二、选择题1. d 2. c 3. b 4. b 5. d三、计算题1. 解：， （1）当且时，此时方程组有惟一解. 当时，增广矩阵，显然系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为，此时方程组无解. 当时，增广矩阵 ，所以 ,令，得，此为时对应方程组的通解. （2）系数矩阵的秩小于3时，线性方程组有非零解，此时存在三阶矩阵，使得.由得或. 2. 解：（1）特征多项式的特征值为，. 当时，解方程组，得基础解系，于是得到对应的单位特征向量. 当时，解方程组，得基础解系，于是得到对应的单位特征向量. 令，此时. （2）先求，所以， 故 . 3. 解：（1）设对应于2的一个特征向量为，则与正交，即，其基础解系为，这是对应于2的两个线性无关的特征向量. （2）令，令，则. 所以， . 4. 解：， 所以，向量组线性相关，为最大无关组，并且 四、证明题1. 证：因为，所以可逆， 因而 ，即，所以与相似. 2. 证：为正定矩阵，则特征值全为正数. 设的全部特征值为，则，由于为正定矩阵，所以存在正交矩阵，使得，即 所以

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