六年级奥数-第一讲分数的速算与巧算教学设计

1、第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算

2、式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b ，那ab么有11( 11)abba ab(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n(n1)(n2)(n1)(n 2)(nn3)1111n(n1)(n2)n (n1)(n1)(n22)n(n1)12)(n3)1 (n1(n1(n3 n1)2) (n 1) (n 2) (n3)裂差型裂项的三大关键特征：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自

3、然数 ) 的，但是只要将提取出来即可转化为分子都是1 的运算。（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接”x（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（ 1） a bab1 12222（ 2） a baba ba b a b a b b aa ba b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1)122334.(n1)n1 (n1)n( n1)

4、3(2)123234345 .(n2)( n1)n1 (n 2)( n 1)n(n 1)4二、换元解数学题时， 把某个式子看成一个整体， 用另一个量去代替它， 从而使问题得到简化， 这叫换元法 换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：纯循环小数混循环小数分子循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部循环节中的数字所组成的数分数字所组成的数的差分母n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母， 其中个数9在 0的左侧·a；· ·ab；··ab1ab；·&#

5、183;abca，0.a90.ab990.0 ab99109900.abc9902、单位分数的拆分：例：1=11=1111=1111=102020分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母 N 的约数中任意找出两个m和 n, 有：11(mn)mn)nn)= 11NN (mn)N( mN (mAB本题 10 的约数有 :1,10,2,5.。例如：选1 和 2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015本题具体的解有：1111111111011110126014351530例题精讲模块一、 分数裂项【例1】11111234234534566789789101【解析】原式

6、111111131232342343457898910111119312389102160【巩固】33.32342345171819201【解析】原式31(1111.11)23234234345171819181931201131920111391231819201819206840【例2】 计算：57192323489101【 解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2相比较于 2， 4，6，这一公差为 2 的等差数列 ( 该数列的第 n 个数恰好为 n 的 2倍 ) ，原式中分子所成的等差数列每一项都比其

7、大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和再进行计算原式32343162323489101311121281232348912323489101031111111211121223233489910233491031121111112129102334910311211711232290210460515也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n3 ，所以2n323，再将每一项的2与n n 1n 2n 1n 2n n 1n 2n 1n 23分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同nn1n2【巩固】计算：1155 （571719）3434589109

8、10211【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：571719这个算式不同234345891091011于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知523 ，734，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以5717192343458910910112334910234345910111111113424453510119111111113445101124359111111111111111111134451011224354681091111111118128313

9、11221031133253355所以原式115531651 55【巩固】计算：3451212452356346710111314【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式324 2521221234523456345671011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：32154，42264，52374 2222【解析】原式3451212345234563456710111213141542643741014412345234

10、563456710111213141111234345456111213444412345234563456710111213141111111223343445111212131111111234234523453456101112131112131411111223121312341112131411111771111175122121324111213148111213148211148308616【例3】12349223234234523410【解析】原式123492232342345234102131411012232342341011111111222323234234923491

11、01136287992349103628800【例4】 111131211001122【 解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 1(11122，12(1122，11)112)2322原式22222(11)200991223341001011011101101【巩固】23450(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)1原式2364550133610101512251275（ 11）（ 11）（ 11 ）（11） 127

12、41336610122512751275【巩固】234100(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)1【解析】211，311，(12)1122)(123)121231(110011，所以(1299)(12100)129912100原式111210011504950505050【巩固】 123101 （12） (12)(123)(1239)(1 2310)【解析】原式1 ( 233410)1366104555111111111336610455511155155【例 5】111111.21212121212135791113【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：

13、a2b 2(a b)(ab) ，原式(1(1)11(1(1)4()()10)246688101212141111111111111(44668810101212)22141113(14)1422【巩固】计算： 235715222224222123378【解析】原式221232224 232827 22222242221223378111222211632648212【巩固】计算：3521235【解析】原式12321997224997112422【巩固】计算： 12133511111222223347812121271993199512121271993199512121521217224619

14、941996111199746199419962235057991011122199321111995211997219969971996【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为222121 ，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4 倍，1，42 1，6， 100所以可以先将原式乘以4 后进行计算，得出结果后除以4 就得到原式的值了原式1224 262100242214216211002111111111142214216211002115011114133557991011501111111114233557991011501111

15、50506342101410112101【巩固】 2 24 466 88101013355779911【解析】（法 1）：可先找通项ann 21111n 2111)(n 1)n2(n原式(11)(11(11)(11)(1113)57799)351151(1155552)111111（法2）：原式(228818183232(5050)()()()9)33557791126101418501046553579111111111【例 6】2319991111111(1(1(1(1(1)2)2323199911211【解析】n1n121)1 )1n2(1(1(1)(n1)(n2)n1 n 223n12

16、原式111111(11)2 11()(3)()20001000234451999【巩固】计算：111112123122007【解析】先找通项公式 an12111 2n n( n2(n)1)n1原式11112(21)3(31)2007(20071)22222222200720071223342007200820081004【巩固】 115317351213357【解析】先找通项： an111，352n11n n2n13n22)9991000原式11111113243546911101211111113359112446101211111117521112212264【例7】1212312341 2 3502232342350(1n )nn(n1)【解析】找通项 an2(1n)nn(n 1) 212原式2334455623344556，410182814253647通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式