习题课斯托克斯公式

1、一、主要内容一、主要内容二、二、典型例题典型例题 曲线积分与曲面积分习题课曲线积分与曲面积分习题课（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容一、主要内容曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义

2、 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdypdxll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),()( dtqpqdypdxl),(),( (与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxu

3、d 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 联联系系 rdxdyqdzdxpdydz计计 算算 (与侧无关) (与侧有关) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计

4、算计算计算计算计算green公式公式stokes公式公式guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系点函数点函数)(,)(lim)(10mfmfdmfnii .)()(,1 badxxfdmfbar 时时上区间上区间当当.),()(,2 ddyxfdmfdr 时时上上区区域域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分 dvzyxfdmfr),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdmfr 时时上上空空间间曲曲线线当当.),()(,3 sdszyxfdmfsr 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.)

5、,()(,2 ldsyxfdmflr 时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyd)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投投影影线线元元素素)(ba xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyddxdyyxzyxfdxdyzyxr),(,),(其中其

6、中dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( dsqpqdypdxl)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积

7、分与曲线积分的联系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式 dldxdykfrotrdf)( dldxdyfdivrdfgreengreen公式公式, ,guassguass公式公式, ,stokesstokes公式公式之间的关系之间的关系 sdfrotrdf rqpzyxdxdydzdxdydzrdzqdypdx dvfdivsdfdvzryqxprdxdyqdzdxpdydz)( dldxdyypxqqdypdx)( dldxdyyqxppdyqdx)(或推广推广为为平平面面向向量量场场)(mf为空间向量场为空间向量场)(m

8、f梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zryqxpfdiv rdxdyqdzdxpdydzkypxqjxrzpizqyrfrot)()()( rdzqdypdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步例例 1 1 计算计算 ldyyxdxxyxi)()2(422, ,其中其中l为由点为由点)0 , 0(o到点到点)1 , 1(a的曲线的曲线xy2sin . .思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi闭合闭合非闭非闭闭合闭合 ddxdyypxqi)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式二、二、典型例

9、题典型例题解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由例例 2 2 计计算算 lxxdymyedxmyyei)cos()sin(, ,其其中中l为为由由点点)0 ,(a到到点点)0 , 0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyypxx cos)sin(yemyexxqxxcos)cos( xqyp 即即( (如下图如下图) )xyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am 0)(00 medxx

10、aao, 0 082 am.82am amoaaoaoaoli amoaaoi曲面面积的计算法曲面面积的计算法sdxy),(yxfz xyoz dss xydyxdxdyzz221dsyxfsbal ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz slabab曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 ldyxdsyxfdffs),()11(22 xzyo),(yxfz ld如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积. .解解由对称性由对称性 lldsyxzdss2218, 1:3232 yxl)20(,sin,

11、cos33 ttytx参参数数方方程程为为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttscossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 在第一卦限部分的上侧在第一卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi例例xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos dsz

12、zyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi),(31),(231),(31 dszyx)(31 xyddxdy3131.21 2 22222计计算算 iydydzxdzdxz dxdy,iydydzxdzdxz dxdy,其其中中为为锥锥面面 zxyzxy被被平平面面 z1,z2z1,z2 所所截截部部分分的的外外侧侧 例例解解1 12 2补补上上: z2,: z2,取取上上側側: z1,: z1,取取下下側側d 利用高斯公式利用高斯公式2222xyxyd:xy4d:xy42222xyxyd:xy1d:xy1 151515151616 . .2222 121222222zdvz dxdyz

13、 dxdy2zdvz dxdyz dxdyxyxyxyxy2 22 21 1d dd d2z2z z dz4dxdydxdyz dz4dxdydxdy 121212122 22 2i(ydydzxdzdxz dxdy)i(ydydzxdzdxz dxdy)(ydydzxdzdxz dxdy)(ydydzxdzdxz dxdy) 例例 6 6 计算曲面积分计算曲面积分yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 , ,其中其中 是由曲线是由曲线)31(01 yxyz绕绕y轴旋转一周轴旋转一周所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于2 .

14、 .解解2 22 2z zy y1 1绕绕y y轴轴旋旋转转曲曲面面方方程程为为x x0 0y y1 1z zx x ( (如下图如下图) )xyzo132 * *i且有且有dxdydzzryqxp)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzd31dxdzdy 2dy)1y(31 *2)31(2dzdx,32 )32(2 i故故.34 222222222222例例7 :7 : 在在变变力力 fyz izx jxy kfyz izx jxy k 的的作作用用下下, ,质质点点xyzxyz由由原原点点沿沿直直线线运运动动到到椭

15、椭球球面面1 1上上第第abcabc一一卦卦限限的的点点m(m( , , , ,),),问问当当 , , , ,取取何何值值时时, ,力力 f f 所所作作的的功功w w最最大大 ? ? 并并求求出出w w的的最最大大值值. .)933,3,3,(abcwcbaw 时时 一、一、 选择题选择题: :1 1、 设设l为为230,0 yxx, ,则则 lds4的值为的值为( ).( ). (a) (a)04x， (b) (b),6 (c) (c)06x. .2 2、 设设l为直线为直线0yy 上从点上从点),0(0ya到点到点),3(0yb的的有向直线段有向直线段, ,则则 ldy2=( ).=(

16、 ). (a (a)6; (b) )6; (b) 06y; (c)0.; (c)0.3 3、 若若l是上半椭圆是上半椭圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向, ,则则 lxdyydx的值为的值为( ).( ). (a (a) )0 0; (b); (b)ab2 ; (c); (c)ab . .测验题测验题4 4、设、设),(,),(yxqyxp在单连通区域在单连通区域d内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数, ,则在则在d内与内与 lqdypdx路径无关的条件路径无关的条件 dyxypxq ),(,是是( ).( ). (a) (a)充分条件充分条件; (b); (b)必要条

17、件必要条件; (c); (c)充要条件充要条件. .5 5、设、设 为球面为球面1222 zyx, ,1 为其上半球面为其上半球面, ,则则 ( ) ( )式正确式正确. . (a) (a) 12zdszds; ; (b) (b) 12zdxdyzdxdy; ; (c) (c) 1222dxdyzdxdyz. .6 6、若、若 为为)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 则则 ds等于等于( ).( ). (a) (a) rrdrrd022041 ;(b);(b) 2022041rdrrd ; ; (c)(c) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 为球

18、面为球面2222rzyx 的外侧的外侧, ,则则 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryx22222; ; (b) (b) 2 2 xyddxdyyxryx22222; ; (c) 0(c) 0 . .8 8、曲曲面面积积分分 dxdyz2在在数数值值上上等等于于( ( ) ). .( (a a) ) 向向量量iz2穿穿过过曲曲面面 的的流流量量；( (b b) ) 面面密密度度为为2z的的曲曲面面 的的质质量量；( (c c) ) 向向量量kz2穿穿过过曲曲面面 的的流流量量 . .9 9、设设 是是球球面面2222rzyx 的的外外侧侧, ,xy

19、d是是xoy面面 上上的的圆圆域域222ryx , ,下下述述等等式式正正确确的的是是( ( ) ). . ( (a a) ) xyddxdyyxryxzdsyx2222222； ( (b b) ) xyddxdyyxdxdyyx)()(2222； ( (c c) ) xyddxdyyxrzdxdy2222. .1 10 0、若若 是是空空间间区区域域 的的外外表表面面, ,下下述述计计算算中中运运用用高高斯斯 公公式式正正确确的的是是( ( ) ). . ( (a a) ) 外侧外侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； ( (b b) ) 外侧外侧zdxdyydz

20、dxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； ( (c c) ) 内侧内侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. . 二、计算下列各题二、计算下列各题: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 为曲线为曲线 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中l为上为上 半圆周半圆周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆时针方向沿逆时针方向 . .三、计算下列各题三、计算下列各题: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面hzz 及及0 之

21、间的圆柱面之间的圆柱面222ryx ；2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 为锥面为锥面)0(22hzyxz 的外侧；的外侧；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 为曲面为曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上侧的上侧 . .四、证明四、证明: :22yxydyxdx 在整个在整个xoy平面除去平面除去y的负半轴及的负半轴及原点的开区域原点的开区域g内是某个二元函数的全微分内是某个二元函数的全微分, ,并并求出一个这样的二元函数求出一个这样的二元函数 . .五、求均匀曲面五、求均匀曲面222yxaz 的重

22、心的坐标的重心的坐标 . .六、求向量六、求向量kzjyixa 通过区域通过区域: ,10 x10,10 zy的边界曲面流向外侧的通量的边界曲面流向外侧的通量 . . 七、流体在空间流动七、流体在空间流动, ,流体的密度流体的密度 处处相同处处相同( (1 ),), 已知流速函数已知流速函数kzyjyxixzv222 , ,求流体在单求流体在单位时间内流过曲面位时间内流过曲面zzyx2:222 的流量的流量( (流流向外侧向外侧) )和沿曲线和沿曲线:lzzyx2222 , ,1 z的环流的环流量量( (从从z轴正向看去逆时针方向轴正向看去逆时针方向) .) .测验题答案测验题答案一、一、1

23、1、b b； 2 2、c c； 3 3、c c； 4 4、c c； 5 5、b b； 6 6、c c； 7 7、b b； 8 8、c c； 9 9、c c； 10 10、b b. .二、二、1 1、322)2(2320 t； 2 2、2a . .三、三、1 1、rharctan2 ； 2 2、44h ； 3 3、0 0. .四、四、)ln(21),(22yxyxu . .五、五、)2, 0 , 0(a. . 六、六、3.3.七、七、0 ,1532 . .常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径r r泰勒展开式泰勒展

24、开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(xr为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数满足狄满足狄 氏条件氏条件0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容 nnnuuuuu32111 1、常数项级数、常数项级数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项

25、同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对

26、收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若ssn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛定义定义0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是

27、正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;设设 1nnu为正项级数为正项级数,如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),则则级级数数 1nnu发发散散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.(3) (3) 极限审敛法极限审敛法(4) (4) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 d dalembe

28、rtalembert 判别法判别法) )设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.(5) (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. .定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满

29、足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则则级数收敛级数收敛, , 且其和且其和1us , , 其余 项其余 项nr的绝对值的绝对值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 0nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1n

30、nu为为条条件件收收敛敛. .4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法5 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在ri 上上的的函函数数, ,则则 )()()(211xuxuxunn称称为为定定义义在在区区间间i上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域如如果果ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域

31、. .函数项级数函数项级数)(1xunn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, ,(3) (3) 和函数和函数在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, ,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. .(1) (1) 定义定义形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.6 6、幂级数、幂级数nnnxa 0如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定理定理

32、 1 (1 (abelabel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;(2) (2) 收敛性收敛性如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数r存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当rxrx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散

33、幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数r称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1r;(3) 当当 时时,0 r.(2) 当当0 时时, r;a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minrrr )nnnbac rrx, ,2100rrxbxannnnnn和和的收敛半径各

34、为的收敛半径各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc rrx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(rr 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(rr 内可积内可积,且对且对),(rrx 可逐项积分

35、可逐项积分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(rr 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.7 7、幂级数展开式、幂级数展开式 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数.(1) 定义定义定理定理 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xu 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xu 内内0)(lim xrnn.

36、.(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xu 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .(3) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展

37、开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常见函数展开式常见函数展开式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(5) 应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式,sincosxix

38、eix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系8 8、傅里叶级数、傅里叶级数 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa定义定义三角级数三角级数其中其

39、中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为傅里叶级数称为傅里叶级数. 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(dirichlet)(dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) ) 设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数.如如果果它它满满足足条条件件:在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点,并并且且至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛,并并且且(1) 当当x是是

40、)(xf的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xf;(2) 当当x是是)(xf的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于2)0()0( xfxf;(3) 当当x为为端端点点 x时时,收收敛敛于于2)0()0( ff. 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, 傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数.(4) (4) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 当周期为当周期为 2的

41、偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数.奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxf令令的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxf令令的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式为式为则它的

42、傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开的条件的条件满足收敛定理满足收敛定理的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函数的傅氏展开的周期函数的傅氏展开周期为周期为 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln二、典型例题二、典型例题;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxn

43、nxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收敛收敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1li

44、m nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数1ln) 1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln) 1(11发散nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnlnliml

45、nlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上单增上单增在在,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收收敛敛域域为为, 20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs.)1)(1(

46、)(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarct

47、annnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x的幂级数的幂级数成成的和函数展开的和函数展开将级数将级数)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解的展开式，的展开式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 012021)21()!12()1(21cos2)

48、21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(形形函数，同时画出它的图函数，同时画出它的图写出该级数的和写出该级数的和的正弦级数并在的正弦级数并在为周期为周期内展开成以内展开成以在在将将 2220cos xxx例例6 6解解,cos),(,sincos2), 0(cos)(1进行奇开拓进行奇开拓内对内对必须在必须在周期的正弦级数周期的正弦级数为为内展开成以内展开成以在在要将要将xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxf令令 0sincos2

49、nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上级数的和函数为上级数的和函数为在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs和函数的图形为和函数的图形为xyo 2 2的和的和由此求级数由此求级数为周期的付氏级数，并为周期的付氏级数，并以以内展开成内展开成将函数将函数 1212)11(2)(nnxxxf例例7 7解解,)11(2)(是是偶偶函函数数 xxxf 10

50、0)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 22222 2n 1n 1x xcos nxxcos nxxx x426426n n 证明

51、：当时，例例8 8解解,24)(2xxxf 设设上展开成余弦级数：上展开成余弦级数：在在将将, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,33 2 2n n0 02x2xx xa()cos nxdxa()cos nxdx4242 2 20 00 02x2xxxxx()sin nx()sin nxdx()sin nx()sin nxdxn n42224222 nxdxncos)22(202 222 n.12n 22222 2n 1n 1x xx xcos nxcos nx(0 x(0 x ) )426426n n 22222 2n 1n 1cos nxxcos nxxx x42

52、6426n n 故一一、 选选择择题题: :1 1、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (a a) ) 11nn； ( (b b) ) 11nnn； ( (c c) ) 1321nn； ( (d d) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (a a) ) 11)45( nn； ( (b b) )11)54( nn； ( (c c) )111)45()1( nnn； ( (d d) ) 11)5445(nn. .测测 验验 题题3 3、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( )( ) (a) (a) 1222) !(nnn； (b) (b) 1!3nnnnn； (c) (c) 22sin1nn； (d) (d) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和数列、部分和数列 ns有界是正项级数有界是正项级数 1nnu收敛的收敛的 ( ( ) ) (a)(a)充分条件；充分条件； (b) (b)必要条件；必要条件； (c)(c)充要条件；充要条件； (d) (d)既非充分又非必要条件既非