三个数的均值定理

1、1【学习目标】【学习目标】1了解三个正数的算术平均值与几何平均值的大小了解三个正数的算术平均值与几何平均值的大小2会用会用三个正数的均值三个正数的均值不等式解决不等式解决一些一些简单的问题简单的问题【学法指导】【学法指导】1要善于要善于通过由两个正数的均值不等式推广到三个及多个通过由两个正数的均值不等式推广到三个及多个正数的均值不等式正数的均值不等式2利用利用均值不等式解决问题是特别注意等号成立的等价条均值不等式解决问题是特别注意等号成立的等价条件件三个正数的均值不等式三个正数的均值不等式21如果如果 a，br，那么那么 a2b22ab(当且仅当当且仅当时取时取“”号号)2 若若 a， b 都

2、为都为数数， 那么那么ab2ab(当且仅当当且仅当 ab 时时，等号成立等号成立)，称上述不等式为称上述不等式为不等式不等式，其中其中称称为为 a，b 的算术平均数，的算术平均数，称为称为 a，b 的几何平均数的几何平均数3当当 a0，b0 时，时，调和平均值调和平均值几何平均值几何平均值算术平均值算术平均值平方平均值平方平均值 ab 正正 基本基本 复习回顾复习回顾21a1b abab2a2b2234设设 x，y 为正实数为正实数(1)若若xys(和和s为定值为定值)， 则当则当时时， 积积xy有最有最值为值为.(2)若若 xyp(积积 p 为定值为定值)，则当，则当时，和时，和 xy 有最

3、有最值值为为.5利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y 必须是必须是；(2)求积求积 xy 的最大值时，应看和的最大值时，应看和 xy 是否为是否为定值定值；求和；求和 xy的最小值时，应看积的最小值时，应看积 xy 是否为是否为(3)等号成立的条件是否满足等号成立的条件是否满足利用基本不等式求最值时，一利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定一正、二定、三相等三相等”xy 大大 xy 小小 正数正数 定值定值 41.(1)若正数若正数x、

4、y满足满足x+2y1.求求 的最小值；的最小值； (2)若若x、yr+，且，且2x+8y-xy0.求求x+y的最小值的最小值. yx11.)2)(1(,15, 2, 1. 2的的最最大大值值求求且且已已知知 yxdyxyx1822336热身训练热身训练5解解决决下下列列问问题题页页的的内内容容，自自主主学学习习教教材材-9-86探究一探究一 三个正数的均值不等式三个正数的均值不等式？等等号号成成立立的的条条件件是是什什么么怎怎样样证证明明？推推广广到到三三个个数数又又如如何何？：由由问问题题abba2122 号号成成立立的的条条件件是是什什么么？系系如如何何？怎怎样样证证明明？等等关关数数与与

5、几几何何平平均均数数的的大大小小：三三个个正正数数的的算算术术平平均均问问题题2何何？数数推推广广到到多多个个正正数数又又如如：由由两两个个正正数数、三三个个正正问问题题3和的立方公式：和的立方公式：3223333)(yxyyxxyx 立方和公式：立方和公式：)(2233yxyxyxyx 73, .,3abca b crabcabc若那么当且仅当时，等号成立。定理定理表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式推广推广8设设, ,x y z都是正数，则有都是正数，则有若若xyzs （定值（定值） ，则当则当xyz 时，时，xyz

6、有最有最_值值_._.若若xyzp （定值（定值） ，则当则当xyz 时，时，xyz有最有最_值值_._.注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。小小33 s大大273p探究二探究二 三个正数的均值不等式的应用三个正数的均值不等式的应用9理论迁移理论迁移abccbacba27)(13 都都是是正正数数，求求证证：、：已已知知例例10例例2 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值.() ,211303 yxx11xaxa2例例3.将一块边长为将一块边长为a的正方形铁皮的正方形铁皮,剪去四个角剪去四个角(四四个全等的正方形个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒作成一个无盖的铁盒,要使其容要使其

7、容积最大积最大,剪去的小正方形的边长为多少剪去的小正方形的边长为多少?最大容积最大容积是多少是多少?12变式变式.)1 (,10) 1 (2的最大值求函数时当xxyx.)1 (,10)2(2的最大值求函数时当xxyx13232,(0).yxxx求函数的最小值3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min43y思考思考：下列解法正确吗？：下列解法正确吗？14达标检测达标检测1.函数函数 的最小值是的最小值是 ( ) a.6 b. c.9 d.122.函数函数 的最小值是的最小值是_3.函数函数 的最大值是（的最大值是（ ）a.0 b.1 c. d. ) 0(1232xxxy222) 1(164xxy)20)(2(24xxxy6627162732c8d15归纳延伸归纳延伸通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，