利用构造函数解决高考导数大题

1、利用构造函数解决高考导数大题导数大题是全国各地的高考试卷中必考的一道压轴题，主要考查利用导数讨论原 函数的单调性和单调区间，通过讨论将问题转化为最值问题，着重考查学生的分 类讨论思想，对分类讨论的原因和讨论流程的要求较高。解题的关键在于讨论之 后如何将问题精准地转化为最值问题，以得到我们所需的式子或结果。导数问题 的难点在于分类讨论和最值转化，通常在进行分类讨论或者转化为函数的最值问 题之前，函数形式或者可转化为函数形式的式子比较复杂，因此我们需要进行相 应的构造函数工作，把函数形式变得更加简单，其中最重要的就是函数形式转换 的工作，本文把利用构造函数解决导数问题这类题型进行了总结，如下：-,

2、直接作差构造函数问题涉及两个函数，但只有一个变量,通常直接构造函数秋%) = "X)-g(x)求最值已知函数f(x) - nx,g(x) = -(a > 0)若3Vx£(O,e,都有f(x)Ag(x) +不，求实数。的取值范围.【思考过程】在这个问题中，我们需要证明不等式成立，实质就是证明不等式移项之后的式子成立.由题意，Vjcg(05c,都有 3/(x)>g(x) + -，这里不等号两边为同f 21变量，可直接作差构造函数来解决.3a 3【解】记 F(x) = /(x)- g(x)- = lnx + - 2x 2只要尸在(0, e上的最小值大于等于0即可.1a

3、x a工 犬 X则FxF(x)随x的变化情况如下表:X(0,a)F(x)产a(a, +oo)0+值Z当a之c时，函数户(%)在(。2)上单调递减，F(e)为最小值/所以尸8) = 1+三5之。， e 2得所以当夕< e时，函数户(%)在(。山)上单调递减,在(凡c)上单调递增，FQ)为最小值，所以a 3F(a) = lnt7H> 0 j 彳导.a 2所以五W a <e.综上,a > >Je ,【变式练习1】已知函数到="a:2 +ln 的 2求证：在区间（L+8）上，函数/'（不）的图象在函数g（x） = 1x3的图象的下方.【方法总结】在导数问

4、题中，这类题型是最一般的情况.如果要证明涉及f变量、两 个函数的不等式成立，或者不等式可转化为利 用一个函数来证明，可通过移项构造一个新的 函数来解决，关键是对于如练习中所描述的某 函数图象恒在另一个函数图象的上方或者下方, 或者函数图象与某直线无交点（即函数图象恒 在某直线的上方或下方）等进行正确的条件转 化.二.分离函数构造函数当要证明的不等式两边含有有理函数和超 越函数的乘积或商的形式时，我们需要把这两 种形式的函数分离之后再来研究，这样在解决 具体问题时，对于超越函数的性质研究和求取 最值就会变得简单.f例2.(2014 课标全国I理)设函数f (x) : aex ln% + ，曲线y

5、 = f (x) X在 点处的切 线方程y =戌3-1)+2.(1)求生方;(2)证明：【思考过程】对于第(2 )问，如果我们按照常规的思路直接对函数进行求导，然后求函 数的最值，会发现几乎不可能在考试时有限的 时间内完成，所以就需要及时调整思路，改变 思考方向.我们对式子进行处理，将超越函数 "和lux分开，将，和有理函数工分开，这 2样f(x)>l就等价于工In尤> xex. eS )【解】1 = 1,6 = 2.(2)【证明】设g(%)=%lnx，则 g'(%)=l + ln% ,当xe(O)时，e1g(x) <0 F当e (, +8)时,g'

6、(x) >0 e11故g(x)在(0,一)单调递减在(1+8)单调 ee递增，从而g(x)在(0,+8)的最小值为1 1g一 2.设(无)=xe x 则"(x) -.e当 g (0,1)时，h'(x) > 0，当 x g Q +<x)时，hf(x) < 0 ,从而力(无)在(0,+吟最大1值为ND = -e因此g(x)与h(x)极值点不相同且g(x)函 数图象恒在力(x)函数图象的上方.综上，当工 > 0 时，g(x) > h(x),即/(x)>l.【变式练习2( 2013北京文)设/为曲线= g在点(1,0)处的切线. X(1)求/

7、的方程;(2)证明：除切点(L。)之外，曲线C在直线/的下方.【变式练习3】已知函数/(九)二一.(1 )若曲线y= /'(尢)在点(%"(演)处的切线方程为oxy = 0,求/的值； (2 )当工> 0时j求证：/(%)>%.Q【方法总结】我们在研究这样的不等式时, 往往需要对函数的形式进行处理r先把不等式 两边含有有理函数和超越函数的乘积或者商的 这两种形式分离，然后再研究函数的性质.对 于高中而言，常见的超越函数和有理函数之间 的叠加主要有以下几种：(1)y =(2)y = %ln 无，"In %上一.(4)7 =xxXX(5)y = f (6)

8、y =- 色人in x7'/蔡In xx2当遇到这类函数时应优先使用分离策略,即短巴不等式两边含有有理函教和超越函数的 乘积或者商的形式分离，简化函数的形式，再 进行5开究三.从导函数特征入手构造厚 函数对于条件中出现的犷'(x)+/(x)，很明显能得到它是灯(X)的导数，于是通过构造函数F(x):对'(x)，旗求导即可完成解题.若题目中的条件改为+(x) > f (x)则移项后#'(尢)-八)，这时应通过构造商的 导数进行转化.这些形式不仅局限于这些，还是 有一些其他形式的导函数也可以做一些这样的 转化，总物下:(-)关系式为“加型(1) %)o ,构造

9、上了(切=/(/<%) +1(%);(2 )+> 0 ,构造犷(x) = (x) + /(x);(3) xff(x) + Ff(x)>0 ,构造乃了=xn ff+ nxnx f (x)=/T /（X）+ 始（X）（注意对X的符号进行讨论）.（二）关系式为“减"型（1 ）尸（工）工）之0 r构造!"/(尢) /，(尢)/一/，(尢)上(尢)丁 (Ty -(2 ) xfr (?) - F ( x)之 0 ,构造_寸（兀）/（%）;(3) xffx)-nf(x)>0，构造_ x“jT(x) 一次-1/3 _ V(x)一疗«+1%（注意对工的符号进

10、行讨论）.若函数，在A上可导且满足不等式/(x) + x)>0恒成立且常数a力满足 a>6 ,求证：af (a) > bf (7?).【证明】由已知切'(x) + f(x)>0 ,构造函数尸(X)= xf(x) f贝 U F '(x)= xf'(%) + fM > 0 ,从而 F(x)在R上为增函数.a> b rF(a) > F(b),即叭G>bf(b).【变式练习4】设/(%), g(x)是火 上的可导函数，/g'(%)分别为 /(%), g(x)的导函数，且满足 /''a)g(x)+，(x)g&

11、#39;(x)<o ,则当 acxcZ?时，有()A /(%)*>/(b)gB. /(x)g()>/(£?)g(x)c Fg(x)F0)g(b)D-(b)g(a)【变式练习5】已知函数了(%)为定义在R上的可导函数，且1(%) < -'0)对于任 意力 £ R恒成立，e为自然对数的底数，则()A. /稣0% /(2013)<°13-/(0)B. /。)<“、/(2013)>，。"C2013)>e叫/D- /(l)<e./(O), 2013)<产3./【变式练习61已知函数/(x)为定义在

12、R上的可导函数，导函数为fx)，当 > 0时，.且/=1 ,若存在eR+ ,使/(x) = x2,求无的值.【方法总结】我们总结了以上的导数形式 进行转化，总体的目标是构造已有的函数来取 代题目中比较复杂的式子，以得到我们所需要 的形式方便解题.换元法构造函数证明设函/(x) = ln%_d（以七五）.(1 )Ve(0,+oo) J(x)单调递增 求。的范围；(2 ) % % £相 > N ,求证:m-n m + n<Inm-lnw 2.【思考过程】对于第（2）问的证明，要证m-nm + n ,上4在川上/ 、 . x1< ,（考虑到/二lnxq lnm-h/

13、i 2x+1式子左边形式的分子和右边的分子可以通过相 除得到我们题干中构造的形式，因此我们通过m 、 m 、1F 1车专化得至I）即证22, n_.4 2(1)【解】小)二=(飞厂(x +1) x2 + (2 2<2)x +1x(x + l)2x(x + V)2' 因为/（无）在（。，+8）上为单调增函数,所以尸(x) 2 0在(0,+s)上恒成立,即x2 +(2-2«> + 1> 0在(018)上恒成立,当xw(O,+s)时，由x? + (22a)x +10 ,彳导 2。- 2Vx T. x设 g(x) = x+1，X£(0,+8),X则就兀)=

14、芯+工二2.卜工二2，当且仅当x N x% =!即x = 1时，g(x)有最小值2 , X所以2a 2V2，解得a2，所以的取值范围是(一*2.m 、 m 、1 F 1(2 )【证明】只需证林 j 成立即可， <1心2n/ 2 -1即证In2n即证In竺-nI& /m ,+ 1nm 、)2 -1_>0,m .+ 1Y1这样布导到了所需要的形式.令巴 =X，设。(x) = 山一&n,x + 1由（1 ）知力（%）在（1，+8）上是单调增函数.m .又一>1 ,所以h n(%)人(1) = 0 ,即h-一2>0成立，得到n +1/二;_<竺2，这样的我

15、们就利用换Inm-lnn 2元将两个变量的形式转化为了一个变量的形 式.通过证明单变量函数证明了这个不等式.【变式练习7）（ 2007山东高考）证明：对任意的正整数n ,不等式Ind+1） >都成立.【方法总结】在证明类似问题时需要抽象 出变量，然后利用换元，将整数变量的形式转 化为 f 函数的自变量的形式.五.消参换元构造函数在证明不等式中的某一步时，当遇到式子比较复杂的情况，我们可以在其中的一步通过 构造新的函数自变量来替代较为复杂的参数, 以达证明的目的., 例5已知函数f= fx2 + 2x + a,x<0，其中是实数,In & x > 0设 A(xf(x)y

16、B(x27f(x2)为该函数图 象上的两点，且不马（1）求函数/（工）的单调区间；（2）若函数了（叼的图象在点4 8处的切线互相垂直，且/ <0，求% 一看的最小值;（3）若函数/（X）的图象在点4 5处的切线重合，求。的取值范围.【解】（1）函数一（%）的单调区间为（-肛-1）, 单调递增区间为-L。），（a+g）.（2 ）由导数的几何意义可知，点Z处的切线 斜率为fg，点B处的切线斜率为 又当点/处的切线与点8处的切线垂直时有尸区）/'（）=-1.当x<0时，对函数/（X）求导,得fx） = 2x+2.因为 x1 < x2< 0,所以（2x1 + 2）（2x

17、2 +2） = -L所以 2占+2 <0,2% + 2>0.因此 马 维=一 （2 演 + 2） + 2x2 + 2之J-（2再 + 2） （2三 + 2） = 1 ，当且仅当（2 玉 + 2）=2 + 2 = 1.31即/=一万且%2 =-5时等号成立.所以，函数7（%）的图象在点/ , B处的切线 互相垂直时1/ 一天的最小值为L(3 )当演 x 2 0或% 玉 0时，“西）。/'（电），故工1<0<%2 当天<0时,函数/（X）的图象在点（工1，了（/）处的切线方程为 y ($2 + 2x1 + d) = (2$ + 2)(兀一修), 即y = (2

18、/+ 2)x 龙；+ a.当马 > 0时，函数“X）的图象在（占J（%）处的切线方程为y-nxy = (x-x2),即 %1IIy x + lnx2 -1 -两切线重合的充要条件是匚2±+ 2,V X?In匕_1 = 一厂+ a.由及维0。知，0v,v2. 工2由得 I a = In / + (1)? 12x= -ln+i(-2)2-l-芍 4工£在本题中，关于的形式较为复杂，我们构造相应的变量!二八令”工，则0<f<2 , X2X21 2且。=-f f Inf.41 ?设0)=F<2),4因为力«)=工=«iy 3 <0,

19、2 t 2t所以«)(0<lV2)为减函数，>A(2)=- In 2 - L而当才£ (0,2)且趋近于0时,久。无限增大，所以。的取值范围是 (一 In 2 - L +8).故当函数/(X)的图象在点力fB处的切线重 合时，q的取值范围是(In 2 L +8).【变式练习8】已知函数/(%)=依2 _云(以> 0 )和g (不)=In x的图象有公共点P，且在点产处的切线相同.<1 )(1浩点尸的坐标为一, 11求凡b的值;(2 )已知。=6 ,求切点尸的坐标.0【总结】构造函数问题实质上是对于导数 中的函数形式复杂或者变量个数和形式较为复 杂的原

20、因引起，我们通过转换函数形式和变量 形式，通过一系列构造转换来得到较为简洁的 函数形式来得到我们需要的条件和结论.变式训练及答案-.直接作差构造函数【变式练习已知函数/（%） = ；/求证：在区间（1，+8）上，函数“X）的图像 在函数g（x） = |d的图像的下方.【分析】函数八）的图象在函数g（无）的图象下方=不等式/（X） g（X）问题，1 2即一台+111工/，只需证明在区间2 3_ 1?（L+8）上，恒有一M + lnxV成立，23设户(X)= g(H) /(X), %£(L+8)，考虑到F(l)=工0 ,要证不等式转化变为：6当1 1时，尸(工)户(1),这只要证明： g

21、(x)在区间(1? +00)上是增函数即可.【证明】设下(无)=g(x)-/(x),同21F(x) = _%3 x2 - In a: j 贝J32Fx) = 2x2 -x1(x1)(2W 2 + %+1)%x当了1时, /，二gj空二±0。，从而F(x)在(L+co)上为增函数,1 aF(x)>F(1)=->0.6.当>1 时，g(x)-f(x)>0 r 即 f(x) < g(x)，故在区间Q 4W)上，函数/(x)的图象在函数g(x)=-x3图象的下方.二.分离函数构造函数【变式练习2(201 3北京文)设/为曲线C：y 二也在点(1,0)处的切线.X

22、(1 )求/的方程;(2 )证明：除切点(1,0)之外，曲线。在直 线/的下方./【思考过程】针对2013年北京卷的这道高考题的第二问，由(1 )知/的方程为 In %y =%一 1 j要证明x-1 >.对于这样的x超越函数和有理函数的分式型，我们先分离函 数(1 )【解】y = x-l.(2 )【证明】令= Inx(% > 0)，则./(%)在(0,1 )上单调递减，在(1 ,+8)上单调递增，又/（I） = 0 ,二当为£（0）时，/（x） > 0，即In %,c x - 1 , x当XE（L+8）时，/（无）>0，即In犬九一1 , x即除切点（1 ,

23、0）之外，曲线C在直线2的下 方.这样，通过分离函数，我们就降低了本题 的证明难度.【变式练习3】已知函数/（# =，. JC（1）若曲线y = / （尢）在点处的切线方程为ax-y=O，求/的值;（2）当%>0时,求证：XX（1）【解】八%）= ：£-.因为切线ax-y = Q过原点（0,0）,所以22解得：%=2.（2）【证明】设冢工）=止2 =；（光>0）, x x贝口 g，（刈=七苫）.令gG) = U(X；2x) = o，解得x = 2.JC4X在(0)+8)上变化时，g5)g(x)的变化情况如下表:%(0.2)2(2 , +8 )g'0+g(%)2 e

24、442所以当 = 2时，g(%)取得最小值J.所以当X >。时，就有/(X)> X .三.从导函数特征入手构造原函数【变式练习4】设x), g(x)是H上 的可导函数，/'(%), g'(x)分别为 /(x), g(x)的导函数，且满足 /(x)g(x) + /(x)g,(x)<0 ,则当 时，有()A. x)g。)/gB. /(%)g(Q)>/(Q)g(无)C>f(b)gbD. 1(x)g(x)>/(6)g(a)【解析】构造"(x)g(尤)二 /'(x)g(九)+'尸(x)g(%)+F(%)E(R)vo ,即r(x

25、)g(x) <0.又. ad,【答案】C【变式练习5】已知函数/(x)为定义在R上的可导函数，且%) v/0)对于任 意尤£ R恒成立，e为自然对数的底数，则()A，/(l)>e-/(O), /(2013)<e2013-/(0)B- /<e/(0)、/(2013)>e2013.7(0)C /"/、/(2013)产"(0)D /(l)<e-/(O)> /(2013)</。”我们需要构造的是广（兀）一了（工”。，构造 F/mT _ r _ 尸（%）-/（x）【答案】C【变式练习6】已知函数“X）为定义在况上的可导函数，导函数为了'（工）,当% >0时j 2x) >/(x),且/=1 J若存在,使f(x) = f，求的值.X42(%)2/(x)【提示】构造x3四.换元法构造函数证明【变式练习7 （ 2007 山东高考）证 明：对任意的正整数n ,不等式In（4+ 1） n1 1 - 都成卫.n nr【分析】本题是山东卷的第（2 ）问，从所 证结构出发，只需令L = % J则问题转化为： n当x 0时，恒有Infx+l） 尢2 -龙3成立,