《复数的几种表》PPT课件

1、1第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 1.2 复数的几种表示复数的几种表示一、复数的几何表示一、复数的几何表示二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根四、几个关系四、几个关系2第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 一、复数的几何表示一、复数的几何表示1. 复平面复平面此时，此时，x 轴称为实轴，轴称为实轴，y 轴称为虚轴。轴称为虚轴。在平面上建立一个直角坐标系，在平面上建立一个直角坐标系，定义定义用坐标为用坐标为 的点来的点来),(yx,yixz 表示复数表示复数从而将全体复数和平面上的全部点从而将全体复数和平面上的

2、全部点一一对应起来，一一对应起来， 的平面称为复平面或者的平面称为复平面或者这样表示复数这样表示复数 zz 平面。平面。P4 3第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 引进复平面后，复数引进复平面后，复数 z 与点与点 z 以及向量以及向量 z 视为同一个概念。视为同一个概念。yixz 在复平面上，从原点到点在复平面上，从原点到点所引的向量与该复数所引的向量与该复数 z 也构成一一也构成一一一、复数的几何表示一、复数的几何表示1. 复平面复平面y 实轴实轴虚轴虚轴i yxz xO对应关系对应关系(复数零对应零向量复数零对应零向量)。 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法那么。比如

3、，复数的加减法等同于向量的平行四边形法那么。4第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 将复数和向量对应之后，除了利用将复数和向量对应之后，除了利用实部与虚部来给定一个复数以外，实部与虚部来给定一个复数以外，一、复数的几何表示一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角y i yxz xOxyr 定义定义 设设 z 的是一个不为的是一个不为 0 的复数，的复数，. |z(1) 向量向量 z 的长度的长度 r 称为复数称为复数 z 的模，记为的模，记为还可以借助向量的长度与方向来给还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。定一个复数。(2) 向量向量 z 的的“方向角方向角 称为复

4、数称为复数 z 的辐角，记为的辐角，记为.Argz (?)P5 5第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 一、复数的几何表示一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角zxy - - 两点阐明两点阐明(1) 辐角是多值的，辐角是多值的，(2) 辐角的符号商定为：辐角的符号商定为：逆时针取正号，顺时针取负号。逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差相互之间可相差,2 k其中其中 k 为整数。为整数。例如例如 对于复数对于复数,1iz - - 那么有那么有,2| z,243Argkz .,2,1,0 k复数复数 0 的模为的模为 0，辐角无意义。，辐角无意义。注注6第一章 复数

5、与复变函数 1.2 复数的几种表示 由此就有如下关系：由此就有如下关系：一、复数的几何表示一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角主辐角主辐角对于给定的复数对于给定的复数 设有设有 满足：满足：,0 z zArg 且且, - - 那么称那么称 为复数为复数 z 的主辐角，记作的主辐角，记作 .arg z,2argArgkzz .,2,1,0 k7第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 )(31arctanarg- - - ziiiiz)1(212- - - - 解解.3i- - - - - ,10)1()3(|22 - - - - z31arctan - -.- -xy3-

6、 -1- -8第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (1) 知实部与虚部，求模与辐角。知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示一、复数的几何表示3. 相互转换关系相互转换关系y i yxz xOxy|zzarg;22yx| z | P7 9第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (1) 知实部与虚部，求模与辐角。知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示一、复数的几何表示3. 相互转换关系相互转换关系(2) 知模与辐角，务虚部与虚部。知模与辐角，务虚部与虚部。)cos(arg|zzx )sin(arg|zzy ; )Argcos(|zz . )Argsin(|zz 由此

7、引出复数的三角表示式。由此引出复数的三角表示式。y i yxz xOxy|zzarg10第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示1. 复数的三角表示复数的三角表示称称 为复数为复数 z 的三角表示式。的三角表示式。)sin(cos irz y i yxz xOxyr 如图，如图，有有 sincosrirz . )sin(cos ir 定义定义 设复数设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的恣意一个辐角，的恣意一个辐角，,0 z,cos rx ,sin ry 由由P9 11第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、

8、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示2. 复数的指数表示复数的指数表示)sin(cos irz .e ir 利用欧拉公式利用欧拉公式 得得 sincoseii 称称 为复数为复数 z 的指数表示式。的指数表示式。 irze 定义定义 设复数设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的恣意一个辐角，的恣意一个辐角，,0 z但习惯上普通取为主辐角。但习惯上普通取为主辐角。在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是独一的，在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是独一的，注注补补 ( (欧拉公式欧拉公式) )12第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 ,4412| z解解

9、)(122arctanarg- - zxy212- - 31arctan- - 6- - .65 . )65sin65cos(4iz 复数复数 的三角表示式为的三角表示式为z.465eiz 复数复数 的指数表示式为的指数表示式为z13第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进展复数的乘除法运算利用指数表示进展复数的乘除法运算.)(2121eirr ,1e11 irz ,2e22 irz 设设乘法乘法21ee2121iirrzz 21zz2 1z2zxy1 , |2121zzzz 即即.ArgArg)(Arg212

10、1zzzz ( (在集合意义下在集合意义下?)?) 两个复数乘积的两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；模等于它们的模的乘积；P10 补补 、( (集合意义集合意义) )14第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、复数的三角表示和指数表示二、复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进展复数的乘除法运算利用指数表示进展复数的乘除法运算,1e11 irz ,2e22 irz .)(2121eirr- - 设设除法除法21ee2121iirrzz 1z2z2 21zz1z2zxy1 .ArgArgArg2121)(zzzz- - ( (在集合意

11、义下在集合意义下) ) 两个复数的商的两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；模等于它们的模的商；,|2121zzzz 即即15第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 i)42(e21 i43e21 .2121i - - .1ii- -例例 计算计算,2eii i- -1i4e2- - 解解 由由有有ii42ee2- - ii- -1附附一些一些“简单复数的指数方式简单复数的指数方式,1e- - i,12e i,12e ik,2eii ,2eii- - - -.1- -i- -i1i 1i- -1i- - -1i - -116第一章 复数与复变函数

12、 1.2 复数的几种表示 i)653(e4- - i2e4- - .4i- - i)653(e i67e 67sin67cosi .2123i- - - i31 ,23ei i- - -3i65e2- - 解解 由由有有ii653ee22- - )3( )31(ii- - - ii653ee22- - ii- - - 331P11 例例1.5 修正修正 17第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 复数复数 z 的乘幂，的乘幂，设设 z 是给定的复数，是给定的复数， n 为正整数，为正整数，n 个个 z 相乘的积称为相乘的积称为定义定义三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根1. 复数的

13、乘幂复数的乘幂,e irz .)(ee ninninrrz 设设那么那么法那法那么么 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法那么。利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法那么。,nz.个个nnzzzz 即即记为记为P12 18第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂复数的乘幂. )sin(cos)sin(cos ninrirznnn .sincos)sin(cos ninin ninninrrze)e( 由由以及复数的三角表示式可得以及复数的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，那么得到棣莫弗，那么得到棣莫弗(De Moi

14、vre)公式：公式： 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 进一步易得到正弦与余弦函数的进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。倍角公式。19第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 23)(ei .32ei 例例22321 i33)(ei 32321 iie .1- - 33)(ei- - 32321 - -ii- - e.1- - .1)1(3- - - -此外，显然有此外，显然有 由此引出方根的概念。由此引出方根的概念。20第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 复数复数 w ，三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根称为把复数称为把复数

15、 开开 n 次方，或者称为求复数次方，或者称为求复数 的的zz 复数求方根是复数乘幂的逆运算。复数求方根是复数乘幂的逆运算。设设 是给定的复数，是给定的复数，n 是正整数，求一切满足是正整数，求一切满足 的的zzwn 定义定义n 次方根，次方根，记作记作 或或nzw ./1 nzw 复数复数 的的 n 次方根普通是多值的。次方根普通是多值的。zP13 21第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 ,2nkn . )1, 1, 0(- - nk三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法那么。利用复数的指数表示式可以很快得到开方

16、法那么。设设推导推导,e irz ,e iw 即即, )sin(cos)sin(cos irninn ;nr ,2 kn 得得,rn kk 正实数的算术根。正实数的算术根。由由zwn ,ee ininr 有有22第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 三、复数的乘幂与方根三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根描画描画,)(2enkninnrzw . )1, 1, 0(- - nkk n在复平面上，在复平面上， 这这 n 个根均匀地个根均匀地nr为半径的圆周上。为半径的圆周上。. )/(n 根的辐角是根的辐角是分布在一个以原点为中心、以分布在一个以原点为中心、以其中一个其中一个方

17、法方法 直接利用公式求根；直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其他的根。先找到一个特定的根，再确定出其他的根。23第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 例例 求求.83- -,28)(3233e ki - -解解. )2, 1, 0( k详细为：详细为：,2- -,23ei.23ei- -例例 求解方程求解方程.013 - -z,11)(32303e kiz 解解. )2, 1, 0( k详细为：详细为：,1,32ei.232ei- -32- -23124第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 四、几个关系四、几个关系, |Re|zz . |Im|zz (1).

18、|212121|zzzzzz - -(2)zIm|zzRez21zz 21zz - -1z2z; |zz .|2zzz ,argargzz- - ; )arg(z (3)|zzzargzzarg|zP6 P8 P6 25第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 2121zzzz 2221|zz )(Re221zz 2221|zz 2221|zz | )Re(|221zz 2221|zz |221zz .|221)(zz 证证)( )(|2121221zzzzzz )( )(2121zzzz 21zz 利用复数与向量的关系，可以证明一些几何利用复数与向量的关系，可以证明一些几何问题。问题。

19、21zz 1z2zABC比如，上例证明的结论可描画为：比如，上例证明的结论可描画为：三角形的两边之和大于等于第三边。三角形的两边之和大于等于第三边。P8 26第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 轻松一下吧27第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 .sincose ii 1748 年，欧拉给出了著名的公式年，欧拉给出了著名的公式 令令 有有 .01e i它把五个最重要的数它把五个最重要的数 联络起来。联络起来。e, 0, 1i公式之一，公式之一，附：附：知识广角知识广角 奇妙的欧拉公式奇妙的欧拉公式克莱茵以为这是数学中最杰出的克莱茵以为这是数学中最杰出的)sin(cos)s

20、in(cosee iiii , )sincoscos(sin)sinsincos(cos - - i, )(sin)(cos)(e ii 28第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 附：附：人物引见人物引见 欧拉欧拉瑞士数学家、自然科学家 (17071783)欧 拉Leonhard Euler十八世纪数学界最出色的人物之一。十八世纪数学界最出色的人物之一。 数学史上最多产的数学家。数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出奉献，不但为数学界作出奉献，而且把数学推至几乎整个物理领域。而且把数学推至几乎整个物理领域。29第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (牛顿选集牛顿选集 8

21、 卷，高斯选集卷，高斯选集 12 卷卷) 彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。整理出他的研讨成果多达整理出他的研讨成果多达 74 卷。卷。 欧拉是科学史上最多产的一位出色的数学家。欧拉是科学史上最多产的一位出色的数学家。终身共写下了终身共写下了 886 本书籍和论文。本书籍和论文。以每年平均以每年平均 800 页的速度写出发明性论文。页的速度写出发明性论文。分析、代数、数论占分析、代数、数论占40%，几何占，几何占18%，物理和力学占物理和力学占28%，天文学占，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占弹道学、航海学、建筑学等占3%

22、，其中其中附：附：人物引见人物引见 欧拉欧拉30第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 课本上常见的如课本上常见的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，等等，也都是他创建并推行的。也都是他创建并推行的。 有的学者以为，自从有的学者以为，自从 1784 年以后，微积分的教科书年以后，微积分的教科书根本上都抄袭欧拉的书。根本上都抄袭欧拉的书。 欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。、以及以及都成为数学中的经典着作。都成为数学中的经典着作。附：附：人物引见人物引见 欧拉欧拉31第一章 复数与复

23、变函数 1.2 复数的几种表示 附：附：人物引见人物引见 欧拉欧拉 如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：初等几何的欧拉线初等几何的欧拉线多面体的欧拉定理多面体的欧拉定理解析几何的欧拉变换解析几何的欧拉变换四次方程的欧拉解法四次方程的欧拉解法数论中的欧拉函数数论中的欧拉函数微分方程的欧拉方程微分方程的欧拉方程级数论的欧拉常数级数论的欧拉常数变分学的欧拉方程变分学的欧拉方程复变函数的欧拉公式复变函数的欧拉公式32第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 欧拉的记忆力惊人！欧拉的记忆力惊人！ 附：附：人物引见人物引见 欧拉欧拉能背诵罗马诗人维吉尔能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗的史诗Aeneil，能背诵能背诵“全部的数学公式，全部的数学公式，直至晚年，还能复述年轻时的笔记的直至晚年，还能复述年轻时的笔记的“全部全部 内容。内容。能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵前一百个质数的前十次幂