非线性偏微分方程

1、非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号:BY 1004120冃录1、绪论311背景312现状72、非线性偏微分方程的儿种解法102.1逆算符法102.2齐次平衡法112.3 Jacobi椭圆函数方法132.4辅助方程方法142.5 F-展开法162.6双曲正切函数展开法1819/201、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分 方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代 数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要 桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏 微分方程(NLPD

2、E).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归 结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可 以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基木方程本 身就是NLPDE,另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方 程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的 研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示岀了很重要的 理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普 遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象 的研究中提出了 “孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究 成为非线性科学中的热点。下面介绍一下孤立子理论的研

3、究背景、 研究现状。1-1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部 分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛 的应用。随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家 Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对 这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许 多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解 释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方而，随着孤 立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并己初 步形成比较完善的理论体系。孤立子理论自1965年由Zabusky和Kruskal

4、对孤立子（Soliton, 简称孤子）命名后得到了迅速地发展.究其原因是孤波现象无所不在， 从天上涡旋星系的密度波，线，超流氨一 3,超导JosePhson结，磁 学，结构相变，液晶，流体动力学以及基本粒子等，都与孤子有关. 其发展大致可分三个阶段：第一阶段，主要是在19世纪.最早讨论孤立子问题的是 ScottRussello 1844年英国工程师Russell发现船在运河中快速行驶 着，当这条船突然停止时，在船头附近产生了一个光滑的、像小山 包一样的水波，然后这个水波离开船头保持它的形状和速度保持不 变，接着这个水波的高度逐渐减少，最后在运河的一个拐弯处消失 掉，他把这种水波称为孤立波，认为

5、它就是流体运动的一个稳定解. 直到1895年，荷兰阿姆斯特丹大学的Korteweg教授和他的学生 devries才一成功导出了著名KdV方程，求出了与Russell描述一致 的即具有形状不变的脉冲状的孤立波解，在理论上证实了孤立波的 存在，并对孤立波现象作了较为完整的分析，解释了 Russell的浅水波，解决了这个问题。他们的数学模型为ut + 6uux += 0（1.1）孤立波解为：Wj（X, 0 = 1 sec 胪（当（X - Ct）后人称”1（尤,）为1 孤立子解，女口果令 X Ct ,那么"在平面上的图为图1.1所示图1.1光滑孤立子坷在-u平面上的图形1965年美国数学家K

6、ruskal和abusky对KdV方程的孤立波解进 行数学模拟，他们发现两个孤立波相撞之后，各自的运动方向和大 小形状都保持不变.这种性质与物理中粒子的性质类似，因此他们称 这种孤立波为孤立子.在通常情况下，人们把孤立波和孤立子混为一 谈，不把它们区别开来。与此同时，在1876 1882年发现的 Backlund变换，成为后来发展孤子理论的重要基础。第二阶段大致可划在1955 1975年。1955年，Fermi, Pasta, Ulam（FPU）将64个质点用非线性弹簧连成一条非线性振动弦，用计 算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转换。初始时，这 些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，

7、其他63个质点的初始能 量为零。按照经典的理论，只要非线性效应存在，就会有能量均 分，各态历经等现象岀现，即任何微弱的非线性相互作用，可导致 系统的非平衡状态向平衡状态的过渡。但实际计算的结果却与经典 理论是背道而驰.实际上，经过相当长时间之后，能量似乎又回到了 原来的初始分布，这就是著名的FPU问题。由于FPU问题是在频域 空间考察的，未能发现孤波解，因此该问题未能得到止确的解释。后来，人们发现可以把晶体看成具有质暈的弹簧拉成的链条，这恰 好是Fermi研究的情况。Toda研究了这种模式的非线性振动，得到 了孤波解，使FPU问题得到正确的解答，从而进一步激发起人们对 孤立波的研究兴趣。196

8、5年，zabusky和Kxusal对等离子体中孤立 波的相互碰撞过程进行计算机数值模拟，进一步证实了孤立波在碰 撞前后波形和速度保持不变的论断，并且把它命名为孤立子 （soliton）,它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的 解，以及具有相应的物理现象，它的性质具体为：（1）能量比较集 中；（2）孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象。从此孤立子理论的研 究工作得到了迅速发展。第三阶段（1973至今），把孤子概念及理论广泛应用于物理学， 生物学，天文学等各个领域，开展了髙维孤子的研究.1980年非线性 效应专刊PhysicaD问世，与此同时，光纤中的孤子己在实验中产生 出来.此后的发展更是

9、突飞猛进。综上所述，孤立子理论的产生和发展是与近代物理密切相关的. 孤立子理论不但包括了有关的数学理论，也包括了物理理论，数学 的严密性和物理的启发性和实用性两者相互结合，相互依存，相互 渗透，相互促进，使孤立子理论显示出强大的生命力，这也是现代 自然科学发展的重要特征之一。孤立子一词虽被广泛引用，但无一般性定义数学中，将孤立子 理解为非线性偏微分方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的 解在空间的无穷远处趋于零或确定常数的情况。换言之，孤立子指 的是稳定的孤立波，即与同类孤波碰撞后不会消失，而且波形、波 速和幅度不会改变或只有微弱改变的孤立波.在物理中，孤立子被理 解为经典场方程的一个稳定的

10、有限能量的不弥散的解，即能量集中 在一个狭小的区域内且相互作用后不改变波形和波速。许多非线性 发展方程,如I KdV方程、Sine 一 Gordon方程、Boussinesq方程、 KP方程，Toda晶格方程等都具有孤立子解.孤立子除常见的钟型和 扭型外还有包络孤子、哨孤子、拓扑性孤子和非拓扑性孤子、呼吸 子、亮孤子和暗孤子、正孤子和反孤子以及它们叠加而形成的形形 色色的孤立子。1.2现状求解微分方程是古老而在理论和实际上又很重要的研究课题，显 示解，特别是行波解可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播 波等.但由于非线性微分方程的复杂性，至今仍有大量的重要方程无 法求出精确解，即使己经求出精

11、确解，也各有各的技巧，至今尚无 一般的求解方法。所幸的是孤立子理论中蕴涵着一系列构造精确解 的有效方法，如反散射法（1ST）、Backlund变换法、Darboux变换 法、Hirota双线性法、Painleve有限展开法，延拓法及Lie群法等。随着各种 求解方法的岀现，不但过去难以求解的方程得到解决，而且许多新 的，具有重要物理意义的解不断被发现和利用。1967年，Gardner等人发明了求解KdV方程的逆散射方法（也称 为非线性），这一方法利用量子力学中的Schrodinger方程特征值问 题（止散射问题）及其反问题（反散射问题）之间的关系，经过求解 Gel' fand 一 Lev

12、itan 一 Marek 一 enko线性积分方程而给出KdV方 程初值问题的解。它不仅对应用技术提供了崭新的方法和概念，而 且对数.学自身的发展也有深远影响。随后，Lax将该方法加以综合 和推广，使之能够用于求解其他非线性偏微分方程的初值问题，从 而逐步形成一种系统的求解方法。1972年，Zakharov和Shabat推广 了这一方法，求出高阶KdV方程，立方Sehrodinger方程等的精确 解。Ablowitz, Kaup, Newell和Segur则更加一般化反散射方法。 李诩神、田畴、屠规章教授等也为发展反散射方法做了很好的工 作。1971年，Hirota所引进的双线性变换法（Hir

13、ota方法），是构造非 线性偏微分方程N 孤立子解及其Backlund变换的一种重要而直接 的方法。1975年，Wahlquit和Estabrook提出延拓结构法，以外微分形式 为工具，给岀寻找与反散射方法相联系的线性特征值问题的系统的 方法。1991年，李诩神教授基于对称约束提出一种非线性偏微分方程 的直接的变量分离方法；随后，楼森岳教授等提出另一种更有效的 直接变量分离法得到了许多的(2+1)维非线性发展方程的精确解。精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、固定的套路和规 律、计算量大的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大量 而重复的计算，提高了速度保证了准确率.1996年，Park

14、es和Duffy 给出了求非线性发展方程孤立波解的双曲正切函数法的Mathematiea 程序包。王明亮教授等基于非齐次项与高阶导数项平衡的原则，将 非线性方程齐次化、代数化，提岀了齐次平衡法。近年来提出并发展起来的齐次平衡方法，实际上是求非线性偏 微分方程精确解的一种指导原则，故也称为齐次平衡原则。依据该 原则，可事先判定某类非线性偏微分方程是否有一定形式的精确解 存在，如果回答是肯定的，则可按一定的步骤求出它来，并同时得 到其满足某些条件的Backlund变换。因而齐次平衡原则具有直接、 简洁、步骤分明的特点，再者，还适用于计算机的符号计算系统进 行计算，且得到的是精确的结果.至今，齐次平

15、衡原则在非线性数学物理中己得到 广泛的应用，且其应用范围正在不断的扩展，己成为处理非线性数 学物理相关问题的有效工具之一。所以，近年来在齐次平衡原则下又发展了多种求解非线性偏微 分方程精确解的方法：像Tanh 一函数法，Sine 一 Cosine方法， Jacobi椭圆函数展开法，Riccati方程方法及F 一展开法等。这些方 法一般都借助于计算机代数系统(Mathematica或Maple),求解方 便、直接，而且可以对解进行数值模拟以便于直观分析解的性质。2、非线性偏微分方程的几种解法2.1逆算符法据逆算符方法的基本思想，把偏微分方程Al/ A(W,)=0 改写为：Lu + Ru + Nu

16、 O (2.1)其中L和R是线性微分算子，Nu是非线性项。算子L是可逆的，作 用逆算子匚|于上式两边得到u = f- A-1 (Ru) + L_1 (Nu) ( 2.2)其中/满足(2.1)及初始条件，根据逆算符方法可以分解为一系列分量之和+0C心工冷 (2.3)n=0利用回归关系可以得到u0 = f(x),uk+l =-URuk) + UNuk) (2.4)非线性项F(u)= N“可以表示为无限级数之和+00F(u) = YAn (2.5)/?=0其中A“是Adomian多项式，定义为1gA,二乔F(为兀)“o,l,2(2.6) n d Ai=o利用(2.3)和(2.4)可以依次解岀如上显2

17、,，从而得到方程的解U =uo +U + w2 +(2.7)业己证明Adomian分解法是收敛的，而且收敛速度相当快，能够得到精确解。2.2齐次平衡法齐次平衡法是一种求解非线性偏微分方程非常重要的方法，它 将非线性发展方程的求解问题转化为纯代数运算。利用这种方法不 仅可以得到方程的Backlund变换，而且能得到非线性偏微分方程的 新解.该方法的大致步骤如下：对于给定一个非线性偏微分方程p仏以，陷)=0(28)这里P 般是其变元的多项式，其中含有非线性项及线性岀现 的最高阶偏导数项。一个函数w=w(x,t)称为是方程(2.8)的拟解，如果存在单变元 函数/ = /(w),使得f(w)关于兀/的

18、一些偏导数的适当的线性组 合，即"("=鼻吾工+呛)(/(叨关于；0和/的低GX Ci于血+畀阶的偏导数的适当线性组合)(29)精确的满足(2.8)和(2.9)中的非负整数m,n ,单位元函数 /=/(w)以及函数w二)都是待定的，将(2.9)代入(2.8) 中可以通过以下步骤确定它们：首先，使高阶偏导数项中包含的w = w(x,r)的偏导数的最高幕 次和非线性项中包含的关于vv=vv(x,r)的偏导数的最高幕次相等， 来决定非负整数加/是否存在。其次，集合w = w(x,r)的偏导数的最高幕次的全部项，使其系 数为零，而得/(W)满足的ODE,解之可得/=/(u0, 一般

19、是对 数函数。第三，将/(w)的各阶导数的非线性项，用/(")的较高阶的 导数来代替，再将/(w)的各阶导数项分别合并在一起，并令其系 数为零，而得w = w(x,r)的各次齐次型的PDE组，可适当选择(2.9) 中线性组合的系数，使PDE组有解。最后，若前三步的解答使肯定的，将这些结果代入(2.9),经 过一些计算就得(2.8)的精确解。从(2.9)中可以看出，如果v(x,r)是方程(2.8)的一个解， 则通过上述步骤就可以得到方程的Backlund变换。2.3 Jacobi椭圆函数方法考虑非线性偏微分方程(2.8),寻求它的行波解为= (2.10)其中R和C分别为波数和波速将班&

20、#167;)展开为下列Jacobi椭圆正弦函数S财的级数:n14 = 2咛此 (2.11)J=O它的最高阶数为C(wO = n (2.12)因为（23）其中cn和dug分别为Jacobi椭圆余弦函数和第三种Jacobi椭圆函 数，且crr = l-sn2,dn2 -nvsn（2.14）m(0 < m < 1)为模数，且eng = -sncln.= -m2sncn（2.15）由3)式，可以认为篇的最高阶数是旨小(2.16)类似地，有=n+ 3ff 2（27）。（唏）6 + 1,。（診）*2,。（ 在（2.11）式中选择n,使得非线性偏微分方程（2.8）中的非线性 项和最高阶数项平衡，

21、将（2.11）代入非线性偏微分方程（2.8）中，并利 用（2.14）和（2.15）,可将方程（2.8）变成关于济郭= O,1,.,N）的多项 式.置切它的各次幕次的系数为零，得关于，5kc的代数 方程组。解上述方程组，将结果代入（2.11）中，得（2.8） Jacobi椭圆函 数解。应该指岀的是，因为加T1时，sn tanh,（2。11）式就退化为nutanhg （2.18）;=0所以此方法包含了双曲正切函数展开法。2.4辅助方程方法考虑非线性偏微分方程（2.8）,寻求它的行波解为U 二（$）,8 二比（兀一宀）（2.19）其中k和c分别为波数和波速。将式（2.19）代入方程（2.8）中，则（

22、2.8）化为（§）的非线性常微分方程（NODE）：G（u,气上詮，.）=0（2.20）设班勺可表示为Z（勺的有限幕级数：N陀（2.21）/=0这里的©是待定参数，N为一常数,由非线性偏微分方程(2.8)中具有支配地位的非线性项和最高阶数项平衡得到，2(勺满足如下新的辅助常微分方程(冬尸=Az()2 + B乙(肘 + Cz()6( 2.22)其中A.B.C为待定参数。将(2.21)代入NODE (2.20)中，利用(2.22)可将方程(2.20)左边变成Z(§)的多项式。令Z(勺的各幕次的系数为零，可得关于。0，吗，,的代数方程组。解上述方程组，可解得 ,将结果代入

23、(2.21)中，得(2.8)的彳丁波解的一* 般形式。利用表2.1,适当选取A, B, C, 的值，可得方程(2.8)的一些特殊解。表2.1 A. B,C, 4与方程(2.22)的解z©之间的关系如bUaJ =±1 (於一敞为任意实数)CAA>Qc为任意实数为任意实数sech(屁 X B：_ gi + e tanh(V7o)3)/>0c为任意实数A为任恿实数wh(屁X b? 才cq+册(風)2必A>0c为任竜实数A>0(" wgVZ cosh(2>/J右A<QC为任意实数A>0(力WcJa cos(2 J-鸡)- BA&g

24、t;0C为任意实数A<0(3)%gJ-Asinh(2屜)J<0C为任意实数少0sin(2"VJf) _ B)A>D00为任意实数sec h(屈)(7=7=)B + 2c>/XC tanh(V7)A<Q00为任意实数sec(>/§)(严 jz ) 2tan(V-7)A>000为任意实数csch(V7g)(产M )%'+2VCcQth(%)A<000为任意实数CSC(压)(尸L)%B + 2£>/C cot(xAx)A>0C为任意实数A=0(电(l + £tanh(¥c)% DLA

25、>0C为任意实数A=0(再(| + £8th(¥§)%ii2A>0C为任意实数为任意实数4府皿治皿-4疔-644C，2.5 F-展开法考虑非线性偏微分方程(2.8),寻求它的行波解为 弘=心),歹=*一口)(2.23)其中*和C分别为波数和波速。将式(2.23)代入方程(2.8)中，则(2.8)化为班勺的非线性常微 分方程(NODE):P(u,uu.)=O (2.24)设可表示为F忆)有限幕级数：讥歹)=do + £ aiF，(G( H 0)(2.25)/=1这里勺是待定常数，尸忆)满足下列一阶常微分方程：严© 二 p+Qh + R

26、 (2.26)这里p, Q, R是待定常数，正整数N是由具有支配地位的非线性项 与最高阶偏导数项平衡确定。将(2.25 )代入NODE ( 2.24 )中，利用(2.26 )可将方程 (2.24)左边变成的多项式，置F(g)的各次幕次的系数为零，得关 于a。",dw，P,c的代数方程组。求解上述方程组，可解得,ciN，k,c ,将结果代入(2.25) 中，得到(2.8)的行波解的一般形式。利用表2.2,适当选取p, Q, R的值，可得方程(2.8)的由Jacobi 函数表示的周期波解。表2.2 P, QR与方程产二pF + QN + R的解F©之间的关系表QRFf2( = pFQF2 + R啲mL(1+w2)1f,2()=(i-f2xi-w2f2)sM-mz2m<l1- nfF2(f) = (l-F2Xw2F2+l-m2)cnc-12-wzmA严© = （1_尸）（尸+加2_）dn<1-(1+m2)r2()-(i-r2x2-F2)nsgsnH1 加22dl-m£= (1-F2)(m2-l)F2-m2nc®(cn 扩小2wz-1r2() = (l-F2)(l