初三二次函数的图像与性质

1、龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期:星期:时段:学情分析二次函数局部内容中考难度不大，所以本套教案注重于根底知识的准确掌 握。课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最根本的二次函数并利用二次函数的概念 求解析式中的未知数；2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法；3、熟练的选用适宜的解析式利用待定系数法求解析式。学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回忆1. 一般地，形如y=ax +bx+c a, b, c是常数，a0的函数，叫做一次函数。其中，x 是自变量

2、，a, b, c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.2. 二次函数的解析式及其对称轴1二次函数解析式的一般式通式：，它的顶点坐标为，,对称轴为；2 二次函数解析式的顶点式通式：，顶点坐标为，对称轴是：3二次函数解析式的交点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，xi,0 X2,0 是抛物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的3. 二次函数y=ax-h 2+k的图像和性质4. 二次函数的平移问题5. 二次函数y=ax +bx+c中a, b, c的符号与图像性质的关系：6. 抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式的符号之间的的 关

3、系二次函数的常规解法:一、 假设二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y= ax2+bx+c(a工0)解。我们称 y = ax2+bx+c(a丰 为一般式(三点式)。例：二次函数图象经过 A(1 , 3)、B(-1 , 5)、C(2, -1)三点，求此二次函数的解析式。说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将三点的坐标分别代入y= ax2+bx+c (a工构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。二、 假设二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y= a (x+ m) 2+k (a工求

4、解。我们称y =a (x + m) 2+k (a丰为顶点式(配方式)。例：假设二次函数图像的顶点坐标为(一 2,3 ),且过点(一3,5 ),求此二次函数的解析式。说明：由于顶点式中要确定 a、m、k的值，而顶点坐标即了一 m、k的值。用顶点式只要 确定a的值就可以求二次函数解析式。假设这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。三、 假设二次函数与 X轴的交点坐标是 A(xi,o)、B(x2,0)时，可选用y= a (x-xi) (x- X2 ) (a丰求 解。我们称y = a (x-xi) (x- X2 ) (a工为双根式(交点式)。例：一个二次函数的图

5、象经过点A (- 1, 0)、B (3, 0)和C (0, 3)三点，求此二次函数的解析式。说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相比照拟简单容易。四、假设二次函数在 X轴上截得的线段长为 d时，可选用例：抛物线y= 2x2-mx-6在X轴截锝线段长为 4,求此二次函数的解析式。d的推导过程，记住公式套进去就说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长 行了。注意相互之间不要混淆。总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的条件选择恰当的

6、解题方法，使计算过程简 单化，到达迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对根本解法的适用情况做到心中有数，才能 在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。二次函数的概念如果y=ax2 +bx+c(a丰0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为 0, b，c可分别为0,也可同时为0自变量的取值范围是全体实数练习：1 以下各式中，y是x的二次函数的是()2 2A . x+y -1=0 B . y= (x+1) (x-1 ) -xC . y=1 +、,x2 1 D . 2 (x-1 ) 2+3y-2=022.

7、假设函数y= (mi+m) xm 2m 1是二次函数，那么m的值是()A . 2 B . -1 或 3 C . 3 D . -1 土 23. 写出以下各函数关系式，并判断是否是二次函数？(1) 两直角边的和为40cm，其中条直角边长为xcm,直角三角形的面积是Scm,写 出S和x之间的函数关系式；(2) 写出圆面积S与半径r之间的函数关系式；(3) 写出正方形面积y与边长x之间的函数关系式；(4) 圆的周长c与半径r之间的函数关系式.2. 二次函数的图像及其性质二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称 轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的定点1. 二次函数

8、y=ax2 (a丰0)的图像。(画图讲解)2. 二次函数y=ax2+bx+c(a工0,a,b,c 为常数)的图像. , .2二次函数y=ax2 +bx+c用配方法可化成y=a(x-h) 2 +k h=-b | 4ac b ,k=2a4a(注重推导过程)练习:1 .抛物线y= (x-1 ) 2+1的顶点坐标是()A . (1,1) B . (-1 , 1) C . (1, -1 ) D . (-1 , -1 )2 .假设k为任意实数，那么抛物线y=-2 (x-k ) 2+k2的顶点在()A.抛物线y=x2上 B .直线y=-x上；C . x轴上 D . y轴上3. 抛物线y=-x2的开口向，顶点

9、坐标为, ?顶点是抛物线的最 点,2当x=时，函数有最为.1 24. 二次函数 y=x的图象是一条开口 的 有最点，当x=2时，4y=;当 y=1 时，x=.25 .二次函数y= (m-1) xm 3m 2的图象开口向上，贝U m=.3. 二次函数的解析式以及如何求解：练习：1.抛物线的顶点坐标为(2，1)，且抛物线经过点(3，0)，那么这条抛物线的解 析式是()(A)y 1x24x13(B)y 1 x24x5(C)y=x4x+5(D)y=-x 2+4x-39999992. 抛物线经过 A (1，-4)，B (7, 8)，C (-5，20)三点，求二次函数的解析式4. 二次函数的应用1、 y=

10、x2+x 6, 当 x=0 时，y=; 当 y=0 时，x=。2、抛物线y 1 x2 3x 7与y轴交点的坐标为，与x轴交点的坐标为2 2。3、 抛物线 y=(x+3) 2 25与y轴交点的坐标为，与x轴交点的坐标为。5. 图像的平移1 将抛物线y 1 x2向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为，再向上平移33个单位得到的抛物线的解析式为，并分别写出这两个函数的顶点坐标2、抛物线y l(x 2)2 4可以通过将抛物线y =向平移 个单位、再向3平移个单位得到。6. 用函数观点看一元二次方程1、 抛物线y 3x2 2x a与x轴有交点，贝U a的取值范围是()1111(A) a <(B)

11、a v (C) a <(D) a >3 3332、 无论x为任何实数，抛物线y ax2 bx c永远在x轴上方的条件是()2 2(A) a >0, b 4ac v 0(B) a >0, b 4ac >022(C) a v 0, b 4ac > 0 (D) a v 0, b 4ac v 03、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示.这个二次函数的表达式是 y= 当x=时，y=3;根据图象答复：当x时，y>0.7、1、4a二次函数的图像与系数之间的关系:二次函数2bA. 2B. 3C. 4D. 5yc 0 :个个个个ax22cbx c的图象如下图，以

12、下结论：3b理aabc 0 : b a c ；1的实数)其中正确的结论有(22、二次函数y axc a 0中，假设当x取x1、x2( x1x)时，函数值相等，那么当x取X1 +X2时，函y i11 ;! / -OZ x-1i1数值等于 23、 二次函数y=x +ax+b中，假设a + b = 0，那么它的图象必经过点()A (-1,-1)B (1,-1)C (1,1)D (-1,1)4、 二次函数 y = ax2 + bx + c,如果a>b>c,且a + b + c= 0,那么它的图象可能是图所示的 ()1.：如图一次函数课内练习与训练y= lx + 1的图象与x轴交于点A，与y

13、轴交于点B；二次函数ypgx2 + bx+ c的图象与一次函数尸討1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1 , 0)(1) 求二次函数的解析式；求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角 形？假设存在，求出所有的点P,假设不存在，请说明理由.22、如图14 ( 1),抛物线y x 2x k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0, 3 ).图14 (2)、 图14 ( 3)为解答备用图(1) k，点A的坐标为，点B的坐标为；2(2) 设抛物线y x 2x k的顶点为M，求四边形 ABMC的面积；(3) 在x轴下方的抛物线

14、上是否存在一点D，使四边形 ABDC的面积最大？假设存在，请求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由；2(4) 在抛物线y x 2x k上求点0,使厶BCQ是以BC为直角边的直角三角形.图 14 (1)图 14 (2)图 14 (3). 23、如图，点 A(-4, 8)和点B(2, n)在抛物线y ax 上.(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短，求出点 Q的坐标； 平移抛物线y ax2，记平移后点A的对应点为A',点B的对应点为B',点C(-2, 0)和点D(-4, 0)是x轴上的两个定点. 当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+C