25函数极限的运算法则76566

1、2.5 极限的运算法则8 . 2定理定理bxgaxfxxxx )(lim,)(lim若若; )()(lim)(lim无关的常数无关的常数是与是与xccaxfcxcfxxxx ;)(lim)(lim)()(limbaxgxfxgxfxxxxxx ;)(lim)(lim)()(limabxgxfxgxfxxxxxx 说明说明: 上三式可推广到上三式可推广到有限个有限个函数和函数和,差差,积的情形积的情形 . 1积仍为无穷小量积仍为无穷小量有限个无穷小量之和、有限个无穷小量之和、推论推论 nxxnxxxfxfn)(lim)(lim.2 是是正正整整数数，则则如如果果推推论论 nxxnxxxfxf11

2、)(lim)(lim .)(lim)(lim)()(limbaxgxfxgxfxxxxxx 则则10. 2定理定理0)(lim,)(lim bxgaxfxxxx若若：限限需需注注意意满满足足定定理理条条件件应应用用极极限限运运算算法法则则求求极极为为有有限限个个；参参加加求求极极限限的的变变量量必必须须)1(限限存存在在；参参加加的的每每个个变变量量必必须须极极)2(.)3(要求分母的极限不为零要求分母的极限不为零考虑商的极限时，必须考虑商的极限时，必须.极限同样适用极限同样适用上列定理和推论对数列上列定理和推论对数列例例 求极限求极限1352lim22xxxx)52(lim22xxx5524

3、21limlim3)13(lim222xxxxx1352lim22xxxx( (直接代入法直接代入法) )5limlimlim22222 xxxxx07123 7513lim52lim222 xxxxx解解例例 求极限求极限45lim22 xxx解解0)4(lim22 xx因为因为.极限极限所以不能用商的法则求所以不能用商的法则求, 0105lim2 xx但但01005lim)4(lim54lim22222 xxxxxxx所以所以.5422为无穷小量为无穷小量时时即当即当xxx 利用无穷小与无穷大的关系利用无穷小与无穷大的关系: 45lim22xxx4532lim21 xxxx练习：练习：(约

4、去零因式法约去零因式法)46lim222 xxxx求求 例例45 23lim46lim2222 xxxxxxx 解解！先判断先判断求极限,求极限,设法消去零因式设法消去零因式不可用除法法则,不可用除法法则,型,型,0 00 0(有理化法有理化法)3924lim220 xxx求求 例例3924lim220 xxx 解解)24)(39)(39()39)(24)(24(lim2222220 xxxxxxx2439lim2439lim22022220 xx)x(x)x(xxx2346 型型先判断先判断00,有理化有理化 mnmnbamnxqxpbbxbxbxqaaxaxaxpmnxmmmmnnnn,0

5、)()(lim0,)(0,)(,0001100110则有则有若若一般地一般地(除以最高次项法除以最高次项法)2232lim2334 xxxxx求求例例4242334221312lim2232limxxxxxxxxxxx 解解 注意极限过程！本结论可直接使用!4x上下同除以最高次项上下同除以最高次项不是正整数的情形结论也可适用于nm,13322lim22 nnnn32 123lim523 xxxx练习：求练习：求927)12()2(limxxxx9210例例.11lim21 xxxxx求求解解)11(lim)(lim211xxxxxfxx xxx1lim1 )1()1)(1(lim1 xxxxx

6、. 2 xxxxxxxxxxx 211211lim1lim11lim )00(型型( (先化简再约去零因子法先化简再约去零因子法) )例例 求极限求极限)21(lim222nnnnn( (数列求和法数列求和法) )22221nnnn22222)1(lim)21(limnnnnnnnnn)11(lim21nn22)1(nnn21)212121(lim2nn 练习练习1 分析：式中每一项都是无穷小量，但由于项数随分析：式中每一项都是无穷小量，但由于项数随n的增的增大而不断增加，故不是有限项，不能直接应用定理大而不断增加，故不是有限项，不能直接应用定理2.4。解解).(lim),(lim),(lim,011301)(033xfxfxfxxxxxxxfxxx 求求已知已知例例)1(lim)(lim00 xxfxx1 113lim)(lim3200 xxxxfxx1 . 1)(lim0 xfx)1(lim)(lim xxfxx 113lim)(lim32 xxxxfxx0 解解注意书写格式！注意书写格式！习习练练)(lim),(lim,1,210, 20, 2)()5(231lim)4()1(lim)3()15()23()32(lim)2(52123lim)1(10238503020