微专题26数列中有关奇偶项问题

1、微专题26 数列中有关奇偶项问题真题感悟（2019天津卷）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0.已知ai = bi = 3,b2= a3, b3= 4a2 + 3.(1) 求an和bn的通项公式；1, n为奇数，(2) 设数列cn满足 Cn= bn, n 为偶数.求 aiCl + a2C2+ a2nC2n( n N*).d,等比数列bn的公比为q(q>0).d = 3,q=3,解（1）设等差数列an的公差为3q = 3 + 2d,依题意，得15+ 4d,解得故 an= 3+ 3(n1)= 3n, bn= 3X 3n_1 = 3n.所以an的通项公式为an = 3n, bn的通项公

2、式为bn= 3n.(2)aici + a2C2+ a2nC2n= (ai + a3 + a5+.+ a2n 1)+ (a2b1 + a4b2 + a6b3+ a2nbn)n (n 1)2X 6 + (6X 31 + 12X 32 + 18X 33+ 6nX 3n)=3n2 + 6(1 X 31 + 2X 32+ nX 3n). 记 Tn= 1 X 31 + 2X 32+ nX3n, 则 3Tn= 1 X 32 + 2X 33+ nX 3n+1，一得，2Tn= 3 32 33一3n+ nX 3n+13 (1 3n)1 3+ nX 3n+1(2n 1) 3n+1 + 32(2n 1) 3n+ 32

3、(2n 1) 3n+ 2+ 6n2+ 92(n N*).N*（或它的有限子考点整合1. 数列与函数的关系：数列可以看成是一个定义域为正整数集 集1 , 2, 3, 4,，n)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函 数值2. 数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它的有限子集1 , 2, 3, 4, n为定义域的函数表达式；如果对应的函数表达式是分段形式给出的， 则数列的 通项也分段给出.f3.对于分奇偶给出的数列通项公式 an=g我们称为数列中有关奇偶项问题.(n),( n为奇数)，(、/粉、对应的数列问题j (n),( n为偶数)热点聚焦f)类热点一 数列中与奇偶项有关的求和

4、问题【例1】(2019苏州测试)已知数列an满足an+1 + an= 4n 3(n N*).(1)若数列an是等差数列，求a1的值；当a1 = 2时，求数列an的前n项和S;2+ 2(3)若对任意n N*，都有% | an+1 > 5成立，求a1的取值范围.an + an+1解(1)若数列an是等差数列，设其公差为 d,贝U an = a1 + (n 1)d, an+1 = a1 +nd.由 an+1 + an = 4n 3, 得1+ nd) + a + (n 1)d =4n 3,1即 2d= 4, 2a1 d= 3,解得 d= 2, a1 = 3. 由 an+1 + an= 4n 3(

5、n N*),得 an+2+ an+1 = 4n+ 1(n N ).两式相减，得 an+2 an= 4.所以数列a2n1是首项为a1,公差为4的等差数列. 数列a2n是首项为a2,公差为4的等差数列，由 a2 + a1= 1, a1 = 2,得 a2= 1,所以an2n, n为奇数,2n 5, n为偶数.当n为奇数时，an = 2n, an+1 = 2n 3.Sn= a1 + a2 + a3 + an=(ai + a2)+ (a3 + a4)+ + (an-2+ an-1) + an=1 + 9+ (4n 11)+ 2nn 12x( 1+ 4n 11)+ 2n 2n2 3n+ 52当n为偶数时,

6、Sn a1 + a2 + a3+ an(a1 + a2)+ (a3 + a4) + + (an 1+ an)n /、2 (1 + 4n 7) 2n2 3n 1 + 9+-+ (4n 7)综上，Sn 22n + 5, n为奇数,2°, n为偶数.(3)由(2) 知,an 2n 2 + a1, n为奇数,2n 3 a1, n为偶数.当 n 为奇数时，an 2n 2+ a1, an+1 2n 1 a1.22,an+ an+1E 22由> 5 得 a2 a1 > 4n2+ 16n 10.an + an+1令 f(n) 4n2+ 16n 10 4(n 2)2 + 6, 当 n 1

7、或 3 时，f(n)max 2,所以 a2 a1 > 2. 解得 a1> 2 或 a1< 1.当 n 为偶数时，an 2n a一3, an+1 2n + a1. 212r an + an+122由 .> 5 得 a1+ 3a1> 4n2 + 16n 12.an + an+1令 g(n) 4n2 + 16n 12 4(n 2)2 + 4,当 n 2 时，g(n)max 4,所以 a2 + 3a1 >4, 解得a1> 1或aK 4.综上，a1的取值范围是(一°°, 4 U 2 ,+x).探究提高 1.第(1)问，已知数列为等差数列，故只

8、需要写出数列的通项公式，根据关于n的一次式恒成立，建立方程组，就能解决问题2. 第(2)问中，要能对n分奇、偶数讨论，转化为等差数列来求和，这里要弄清等 差数列的项数，这是易错点.3. 第(3)问中，分奇、偶数分类讨论，值得注意的对任意n N*恒成立，故求a1的取值范围，将奇、偶数的情形取交集而不是并集.2n，n为奇数，【训练1】已知数列an的通项an=中站 求数列an的前n项和3n+ 1，n为偶数，Sn.解 当n为偶数时，设n= 2k(k N*)，则 Sn= S2k= (a1 + a3+ a5+ a2k-1)+ (a2 + a4+ a2k)=(2门2 Sn = 3（2n +1-2） + 3X

9、 - + 2n=3n + 2n+ 3（2n+1 - 2）.当n为奇数时（此时n- 1为偶数），11）2+ 2（n- 1） + 3（2n- 2） + 2n + 212'综上可知，Sn =313n2+2n +1 (2n+1-2)，n为偶数.4n2 + 2n+号一12，n为奇数.热点二数列中有关奇偶项的新定义问题【例2】 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知+ 22k-1)+ (3 X 2+ 1)+ (3X 4+ 1)+ (3X 2k + 1)2 一 22k-1 =+ 3X 2(1 + 2+-+ k

10、) + k1 2=3(22k+1 - 2) + 3k2 + 4k.2k-nn- 2-k.Sn= Si-1?n + 223数列an是等和数列，且a仁2,公和为5,那么ai8的值为 这个数列的前n项和Sn的计算公式为.解析由题意知，an+ an+1 = 5,且ai = 2,2, n为奇数，所以an=则ai8 = 3.3, n为偶数，当n为偶数时，n5nSn= (2 + 3)+ (2 + 3) + (2 + 3) = 2(2 + 3)=；当n为奇数时，Sn= (2 + 3)+ (2 + 3)+ (2 + 3)+ 2n 15n 1(2+ 3) + 2=-5n 1故此数列的前n项和Sn =2 , n为奇

11、数,5n，n为偶数.裂1, n为奇数，答案 3 Sn =5n，n为偶数探究提高解决此类信息题的关键是认真审题，准确地领会新的概念所具有的特 点，并加以充分运用【训练2】(2019南通调研)若数列an同时满足：对于任意的正整数n,an+1> an 恒成立；对于给定的正整数 k, an-k+ an+k= 2an对于任意的正整数n(n>k)恒成 立，则称数列an是“R(k)数列”.2n 1, n为奇数，(1)已知an=込冲町 判断数列an是否为“ R(2)数列”，并说明理由；2n, n为偶数，已知数列bn是“R数列”，且存在整数p(p> 1)，使得b3p-3, b3p-1, b3p

12、+ 1, b3p + 3成等差数列，证明：bn是等差数列.b3n1 = b2 + (n 1)d = bi+ d H (n 1)d= bi + (3n 1 1)3,an2 + an+2 2(n 2) 1 + 2(n+ 2) 1 2(2n 1) 2an.当 n 为偶数时，an+1 an (2n+ 1) 2n1>0,所以 an+1an, an2+ an+2 2(n 2) + 2(n+ 2) 4n= 2an.所以数列an是“ R(2)数列”.(2)证明由题意可得bn3 + bn+ 3 2bn,则数列b1, b4, b7,是等差数列，设其公差为 d1, 数列b2, b5, b8,是等差数列，设其公

13、差为d2,数列b3, b6, b9,是等差数列，设其公差为d3.因为 bn< bn + 1 ,所以 b3n + 1 = b3n+2= b3n+4,所以 b1+ nd1< b2+ nd2<b+ (n+ 1)d1,所以 n(d2 d1)> b1 b2,n(d2 d1)< b1 b2 + d1 .若d2 d1V 0,则当n>；时，不成立；若d2 d1>0,则当n>b d时，不成立；d2 d1若d2 d1 0,则和都成立，所以d1 d2.同理得 d1 d3,所以 d1 d2 d3,记 d1 d2 d3 d.设 b3p 1 b3p 3 b3p+ 1 b3p

14、 1 b3p+ 3 b3p+ 1 入法一(定义法)贝U b3n1 ban 2 b3p1 + (n p)d b3p+1 + (n p 1)d b3p 1 b3p+1 + d d入同理可得b3n b3n 1 b3 n+1 b3n= d入所以bn+1 bn d入所以数列bn是等差数列.法-(通项公式法)A b3p1 b3p3 b2 + (p 1)d b3 + (p 2)d b2 b3 + d,b3p+1 b3p 1 b1 + pd b2+ (p 1)d b1 b2+ d,b3p +3 b3p +1 b3 + pd (b1 + pd) b3 b1,以上三式相加可得3 A 2d,所以入一fd, 所以 b

15、3n-2 b1 + (n 1)d b1 + (3n 21)3,d b3n = b3 + (n 1)d = bi + 2+ (n 1)d= bi + (3n 1)3,所以 bn= b1 + (n 1)3,所以 bn +1 bn= 3,所以数列bn是等差数列.热点三数列中有关奇偶项的存在性与恒成立问题2an， n = 2k 1，【例3】(2019盐城三模)已知数列an满足a1= m, an+1 =an+ r, n = 2k(k N*, r R),其前n项和为Sn.(1) 当m与r满足什么关系时，对任意的n N*，数列an都满足an+ 2= an?(2) 对任意实数m, r，是否存在实数p与q,使得

16、a2n+1 + p与a2n + q是同一个 等比数列？若存在，请求出p, q满足的条件；若不存在，请说明理由.当m= r = 1时，若对任意的n N*，都有Sn> 2a,求实数入的最大值.解 (1)由题意，得 a1= m, a2= 2a1 = 2m, a3= a2+ r = 2m+ r, 首先由a3 = a1,得m+ r = 0.2an, n= 2k 1,*当 m+ r = 0 时，因为 an+1=(k N ),an m, n = 2k所以 a1 = a3= = a2k1= m, a2 = a4 = a2k= 2m, 故对任意的n N*，数列an都满足an+2= an, 即当实数m, r

17、满足m+ r = 0时，题意成立.(2)依题意，a2n+1 = a2n+ r = 2a2n1 + r，贝U a2n+1+ r = 2(a2n 1 + r), 因为a1+ r = m+ r，所以当m+ r工0时，a2n+1 + r是等比数列，且 a2n+1 + r = (a1 + r)2n=(m+ r)2n.为使a2n+1 + p是等比数列，贝U p= r.同理，当m+ r工0时，a2n + 2r是等比数列，且 a2n+ 2r = (m+ r)2n,则当a2n+ q是等比数列时，q = 2r.2.第问中，要注意等比数列的首项不能为0.综上所述： 若m+ r = 0,则不存在实数p, q,使得a2

18、n+1 + p与a2n+ q是同一个等比数 列； 若m+ r工0,则当p, q满足q = 2p= 2r时，a2n+1+ p与a2n + q是同一个等 比数列.法一一 当 m= r= 1 时，由可得 a2n1 = 2n 1, a2n = 21 2,当 n = 2k 时，an = a2k= 21 2,Sn= S2k= (21 + 22+ 2k) + (22 + 23+ 2k+1) 3k=3(2k+1 k2),所以Sn= 31 ank2k+1 2kk+1 k令 Ck= ?k+1 2，贝U Ck+1 Ck = 2k+22 22(1 k) 2k+1 2 (2k+ 2 2)( 2k+1 2) v0,所以2

19、,疋i；当 n = 2k 1 时，an= a2k-1 = 2k 1, Sn = S2k a2k= 3(21 k2) (21 2) = 2k 2 3k 4,Sn3kSn所以an=4-尸，同理可得才1,疋1, 综上所述，实数入的最大值为1.2an, n= 2k 1,*法二因为 a1= 1, an+1=(k N ),an+ 1, n = 2k故数列an中各项都是正数，故Sn> 1,an而当n= 1时，严=1,故实数入的最大值为1.an探究提高1.一般地，对于数列问题，我们经常通过枚举数列中的前几项找规律, 然后根据发现的规律来解题第(2)小题本质上就是“由递推关系求通项公式”；第(3)小题，用

20、的是：分离参数，分类讨论，用作差比较考察数列的单调性3.若一个数列an满足an+1 = Aan+ B,可以凑成一个等比数列，设等比数列的通、B项为 an+ C,贝U an+i + C = A(an + C),比较两式得 C=(Am 1).1【训练3】(2019苏州期末)已知数列an中ai = 1, an+1= 11由(1)知，数列a2n 2是首项为6公比为3的等比数列,分 "an 3n,n为奇数,n为偶数.(1) 是否存在实数 入使得数列a2n- b是等比数列？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.(2) 若Sn是数列an的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n.1解(1)

21、由已知，得 a2(n+1) = §a2n+1 + (2n+ 1) =3a2n- 3(2n) + 2n+ 1 = *a2n+ 1.1123令 a2(n + 1)3(a2n- b,得 a2(n + 1)= §a2n+ 3 所以 夕131此时，a2 = 3+ 1 2= 6.3所以a2n 2 =1 n 11丄2 3n，1即 a2n= 2所以存在 =3使得数列a2n b是等比数列.1由 a2n= §a2n1 + (2n 1)，得 a2n 1 = 3a2n 3(2n 1) =|3寺6n + 3,、3111以 a2n1 + a2n = 2 3 3n 6n+ 3+ 2 3 3n

22、=2 3 n-6n+ 9.所以 S2n = (ai + a2)+ (a3 + a4)+ (a2n-1 + a2n)1 i 21 n=2 3+ 3 + 3 一6(1 + 2+ n) + 9n1 23 3n + 6n 1,3 15从而 S2n-1 S2n a2n 今一 3门2+6门一 .1因为3和一3n2 + 6n 3(n 1)2+ 3在n N*时均单调递减，所以 S2n和®n1均各自单调递减.计算得 Si 1，S2 3，S3 7，S4 9，所以满足Sn>0的所有正整数n的值为1和2.【新题感悟】(2019盐城模拟)在数列an中，已知a1 1, a2入满足a2n 1,a2n1+1，

23、a2n1+2，a2n是等差数列(其中n2，n N)，且当n为奇数时，公 差为d;当n为偶数时，公差为一d.(1) 当A 1，d 1时，求a8的值；当dM0时，求证：数列|a2n+ 2 a2n|(n N*)是等比数列；当M1时，记满足am a2的所有m构成的一个单调递增数列为bn，试求数 列bn的通项公式.(1) 解 由 1，d 1，所以a2 1，又a2，a3，a4为等差数列且公差为一1，所 以 a4 a2 2 1，又a4，a5，a8为等差数列且公差为1， 所以 a8 a4 + 4 3.(2)证明当n 2k+ 1时，a22k，a22k+1，a22k+ 2，a22k+1是等差数列且公差为d，所以

24、a22k+1 a22k + 22kd，同理可得a22k a22k 1 22k 1d，两式相加， 得 a22k+1 a22k 1 22k 1d；当 n 2k 时，同理可得 a22k+2 a22k 22kd， 所以 |a2n+2 a2n| 2nd.又因为dM 0,所以n+ 2n.|a2 a2 |n+1 n 11|a2 a2|务-2( n2)，所以数列|a2n+2-a2n|(n N )是以2为公比的等比数列.解 因为a2入 所以a4 a2 2d 2d,由(2)知 a22k+1 a22k 1 + 22k 1d,所以 a22k+1 a22k-1 + 22k 1d a22k-3 + 22k3d + 22k

25、-1d,依次下推，得 a22k+1 az1+ 21d+ 23d+-+ 22k 3d + 22k 1d, 所以 a22k+1 + |(22k- 1)d,当 22k+1< n< 22k+ 2 时，an a22k +1-(n- 22k+1)d22k + 3 + 丁 n由 am= a2,得m=+ 32?2k+322门 + 22所以b2k =-3 所以bn=- §n为奇数)； 由(2)知 a22k +2 = a22k 22kd= a22k-2 - 22k-2d- 22kd, 依次下推，得 a22k+ 2 = a22- 22d- 24d22k-2d- 22kd,所以 a22k+ 2=

26、 2d-4(2；- 1)d,当 22k+2< nW 22k+ 3 时,an= a22k+2+ (n 2)d A+ n22k+ 422k+422?k+4 2由 am a2,得 m 3 + 3，所以 b2k+2 3 +所以bn牛+ 2（n为偶数）综上所述,-bn+2rl+322- 3-2n+32（n为偶数），（n为奇数）专題W练时接高割求煮1 n 1*1设数列an的前n项和为Sn,且an 4+ -，若对任意n N，都有 Kp（S-4n） 3,求实数p的取值范围1；1n1- 2解 令 f(n)= Sn-4n= 4n+厂4n =1- 22 1 n3 12 .2q n当n为奇数时，f(n)= 1

27、+ 2 单调递减，则当n= 1时，f(n)max12；21 n当n为偶数时，f(n)= 2 1 2 单调递增，则当n = 2时，f(n)min：所以对任意n N*，都有 K p(Sn4n)< 3,*13即对任意n N , 4n三卩三s 4n，所以2=3.故p的取值范围为2, 3.2.在等差数列an中，已知公差d = 2, a2是a1与a4的等比中项.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn = an (n+ 1)，记 Tn= b1+ b2 b3 + b4+2(1)%,求 Tn.解 (1)由题意知(a1 + d)2= a1(a1 + 3d), 即(a1 + 2)2= a1(a1 +

28、6),解得 a1 = 2, 所以数列an的通项公式为an= 2n.(2) 由题意知 bn= an (n+ 1) = n(n+ 1),2所以 Tn= 1 x2 + 2X3 3X4+-+ ( 1)nn (n+ 1).因为bn+1 bn = 2(n+ 1),可得当n为偶数时，Tn= ( b1 + b2)+ ( b3+ b4)+ ( bn 1+ bn)24+ 8+ 12+ 2n =n (n + 2)2n /、2 (4+2n)当n为奇数时,Tn = Tn 1 + ( bn)=(n 1)( n+ 1)n(n+ 1)=(n+ 1) 22（蔦1）, n为奇数，所以Tn n（罗2）, n为偶数.3.（2019徐

29、州三模）等差数列an的前n项和为Sn,数列bn是等比数列，满足ai3, b1 1, b2 + S2 10, a5 2b2 a3.求数列an和bn的通项公式;22, n为奇数，令cn $设数列Cn的前n项和为Tn,求T2n.bn, n为偶数，解（1）设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,贝U b2+ ' J。'a5 2 b2 a3.q + 6+ d= 10,d = 2,即解得3+4d 2q = 3 + 2d,q 2,所以 an 3+ 2(n 1) 2n+ 1, bn 2n 1.n (a1 + an), 小、由 a1 3, an 2n+ 1 得 Sn2 n(n + 2),则Cn

30、 =,n为奇数，即- n-出，伪奇数,2n 1, n为偶数，2n1, n为偶数，T2n=(C1 + C3+ + C2n 1)+ (c2 + C4 + C2n)1 1 + 11 + +13 + 35 +2n 1 2n+ 1+ (2 + 23+-+ 22n1)12 (1 4n)1 一 +2n+ 11 4盘+3(4n-1).1 2 14.（2019连云港模拟）设正项数列an的前n项和为Sn,满足Sn=才*2+为九正项等比数列bn满足 b2 a2, b4 as.（1）求数列an , bn的通项公式；an, n 2k 1,*设Cn其中k N .数列Cn的前n项和为Tn,求所有正整数bn, n 2k,1.

31、m的值，使得盘恰好为数列©中的项.1 1解 (1)因为an>0,当n= 1时，ai =尹彳+qai，解得ai1 2 ii 21又 Sn= 2*n+ 2*n，故当 n2 时，Sn-1 = qan-1 + 2*n-1,两式相减并整理得a an-1) 1(an+ an-1)= 0.又因为an>0,所以an+ an-10,所以 an an-1 = 1(n2),所以an是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 an= a1 + (n 1) x 1 = n.设bn的公比为q(q>0).由 bn= an, b4= a6,得 qn=芒=豈=3,所以 q= ,3. 所以 bn= bnq

32、n-n= 2(.3)n-n.(2)由题意得Cn =n, n = 2k- 1,2 32- 1, n = 2k(k N*),所以 T2m= (a1 + a3+ a2m-1) + (b2+ b4 + b2m)m (1 + 2m 1)2 (1- 3m)2+1-3=3m+ m2- 1,Tnm-1 = Tnm- bnm= 3m+ m2- 1-2x 3m-1 = 3m-1 + m2- 1,Tnm _ 3m+ m2- 1 _2 (nf 1)Tnm-1 = 3m 1 + m2 1 = 3 3m1 + m2-产3,故若爭为Cn中的项,则只能为C1, C2, C3.若3 2 (m2- 1)3m-1 + m2 1C1

33、 =1,则3m-1 = 0,所以m无解若3 2 (m2- 1)3m1 + m2 1cn = 2,贝U 3m-1 + 1 m2 = 0,显然m= 1不合题意，m= 2符合题意.2m,当 m3 时，令 f(m) = 3m 1 + 1 m2,贝 U f'n(= 3m1ln 3 设 g(m)= 3m1ln 3 2m,贝U g'm) = 3m-1(ln 3)2 2>0,即 f'm)= 3m1ln 3-2m 为增函数，故 f'm)f' (3)0,即 f(m)为增函数，故 f(m)>f(3) = 1>0.故当m3时方程3m-1 + 1 m2 = 0无

34、解， 即m= 2是方程3m1 + 1 m2= 0的唯一解.2( m2 一 1)若3 2 = C3= 3, 则m2= 1,即m= 1(舍负).综上所述，m= 1或m= 2.an + 2， n 2k 1，5. (2019徐州期末)在数列an中，已知a1 1， a2 2， an+2 3an，n 2k (k N*).(1) 求数列an的通项公式；(2) 求满足2an+1 an+ an+2的正整数n的值；(3) 设数列an的前n项和为Sn,问是否存在正整数 m, n,使得®n mSzn 1 ?若 存在，求出所有的正整数对(m, n);若不存在，请说明理由.解(1)由题意，数列an的奇数项构成以

35、a1 1为首项，公差为2的等差数列； 偶数项构成以a2 2为首项，公比为3的等比数列.所以对任意正整数k, a2k1 2k 1, a2k 2x 3k 1.所以数列an的通项公式为n, n 2k 1,*ank N .2 321, n 2k,(2) 当n为奇数时，由2an+1 an+ an+2,n+1得 2x 2x 3丁 1 n+n + 2,n1x 1(,3)xx ln 3 1所以 2x 3 2 n+1,令 f(x) 2x 3 2 x 1(x> 1),3x ln 3 1In 31> 0,可知f(x)在1 ,+x)上是增函数,所以 f(x)f(1) 0,3n 1所以当且仅当n= 1时，满

36、足2x3 2 = n+ 1，即卩2a2 = ai + a3.当n为偶数时，由2an+1 = an + an+ 2,n+22(n+ 1) = 2X 32 1 + 2X 3匚n n即 n + 1 = 32 1 + 32,上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立综上，满足2an+1 = an+ an+2的正整数n的值只有1.(3) S2n= (a1+ a3+ a2n 1) + (a2 + a4+ a2n)3n+ n2 1,n N*.n (1 + 2n 1)2 (1 3n)2+13S2n 1 = S2n 一 a2n = 3“ 1 + n2 1.假设存在正整数m, n,使得S2n= m®n1,则 3n+ n2 1= m(3n 1 + n2 1),所以 3n1(3 m)= (m 1)(n2 1), (*)从而3 m>0,所以mW3, 又 m N*，所以 m= 1 , 2, 3.当m= 1时，(*)式左边大于0,右边等于0,不成立；当m= 3时，(*)式左边等于0,所以2(n2 1) = 0, n= 1,所以S2= 3S1;当 m= 2 时，(