复数章节复习{学生版版)02.

1、高考复习指导讲义第五章复数一、考纲要求1. 理解复数、虚数、纯虚数的概念以及复数相等的概念，掌握复数的代数形 式及其运算法则，能正确地进行复数代数的运算。2. 掌握复数三角形式及其特征，三角形式与代数形式的互化能熟练运用复数 的三角形式进行复数的乘、除法及乘方、开方运算。3. 理解复数的模、辐角、辐角主值和共轭复数的概念，掌握相关性质，能运 用它们解决相关的复数问题。4. 理解复数的几何表示及向量表示，掌握复数加法、减法、乘法的几何意义, 并能运用它们解决一些复数问题，会计算平面上两点间的距离。5. 掌握复平面上点的轨迹方程的复数表示形式， 会运用复数有关性质求点的 轨迹方程。6. 掌握一元二

2、次方程、二项方程在复数集上的解法，某些复系数方程和含有 参数的方程的解法；韦达定理、实系数方程的虚根成对等性质及应用。二、知识结构学习复数，要抓住概念、运算、几何意义三个环节复数概念的最重要内容是复数的二维性，即复数是形如a+bi,(a,b R)的数。复数的二维性又决定了研究复数的基本方法是分离实部和虚部的方法。新概念、 新算法、新结论、范围大、头绪多是实数集合所没有的，列表如下：i 性-i(k N)4k=1 i4k+14k+2/I i =-14k+3复数-1(1ia=c复数的实部、虚部a+bi=c+di ：二b=dL1 27=-I (1± i) =± 2 i1 -i1-i

3、共轭复数共轭虚数a+bi复数的向量表示Zi 二 Z2 =Z1 ± Z2Z1 Z2 =Z1 Z21( Z1 )(Z2 工 0)Z2乙向量、模、等向量、零向量| 乙 | - | Z2 | <| 乙土 Z2 | <|复数的模| I |=| 乙乙 | = | 乙 | | Z2 |乙I Zn I = I Z I(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的加法法则复数代数 形式的四V 则运算复数加法的几何意义(a+b-(c+di)=(a-c)+(b-d)i复数的减法法则复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d= I Z1-Z2 I复数的乘法法则一(a+bi)(c+di)

4、=(ac-bd)+(ad+bc)ic di c复数的除法法则一 葺口二竽 卑+Ec£i；2+d2 c2+d2复数的一复数的辐角一复数的辐角主值代数形式与三角形式的互化a+bi=r(cos 0 +sin 0 )cos# = r (r= i a2b2)sin 日=I. rr 1 (cos 0 +isin 0 1) - r 2(cos 0 2+s in 0 2)r=r1r2 cos(0 1+ 0 2)+isin( 0 1+ 0 2)复数三角I I 形式的乘|复数的三 角形式Z=r(cos v+sin )法法则 | 复数乘法的几何意义：将向量 a+bi逆时针旋转 0 得(a+bi)(cos

5、0 +isin 0)棣莫佛定理r(cos 0 +sin 0 ) n=rn(cosn 0 +isin n 0)复数三角 式的除法 法则r1(cos1 sin 寸 1?) _ r “(cosE isi n) Qcos(0 1- 0 2)+isin( 0 1- 0 2):将向量a+bi顺时针方向旋转0得a bi cossin=(a+bi)(cos 0 -sin 0 )若Z=r(cos 0 +sinQ)则Z的几次方根为 xr=n r（co 必二+isin ' 2kn）n二项方程的解法实系数一元二次方程的虚根求法三、知识点、能力点提示复数是一个重要内容，解决复数问题，通常是运用代数形式把它转化为

6、实数 问题去解决；运用三角形式把它转化成三角问题去解决；运用向量及其几何形式 把它转化为平面几何问题或解析几何问题去解决，有时需要运用复数本身一些特有形式如共轭运算，模运算等。复数沟通了代数、三角、几何之间的联系，因而 复数冋题的解法往往综合性强且构思巧妙，方法灵活，复数运算中，求值是最常 见的，不仅要用到复数的几种形式，而且有时需运用代数中的换元法及整体变形， 或综合运用其他知识，如：求最值常用基本不等式，函数方法，复数还常用到数 列，二项式定理等知识。复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数 形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中

7、选择较好的方式，运算常用的结论：1. (1+i) 2=2i,(1-i) 2=-2i(a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)2 2 2 2 2(a+bi)(a-bi)=a +b (a+bi) =a -b +2abi (a,bR)(a-bi) 2=a2-b2-2abi(a,bR)等4k4k+14k+24k+32.i=1,i =i,i =-1,i =i(b N)3. Z+ Z =2ReZ Z- Z =2ImZi(其中ReZ,lmZ分别表示复数Z的实部和虚部)2 24. Z Z = | Z| = | Z |1 I 332215. 设 w=- + i 贝U w=1,1+w+w=0, w=w=2 2

8、wZ z6. Z1_Z2=Z1 ± Z2Z1 Z2 =Z1 Z2 （1 ）= §（Z2工0）乙 乙7. I Zi 乙丨=| 乙丨丨 Z2 | Z1 I =£(Z2工0)Z2|Z28. Z=ZZ R9. Z=- Z = Z=ki(k R)Z=Z10. ri(cos0i+isin0i)r2(cos0 2+isin0 2) rk(cos 0 k+isin0 k)=认23rk cos( 0 1+ 0 2+ 0 3+ 0 k)+isin( 0 1+ 0 2+ 0 3+0 k)其中 rir23rk>0( 0 1、0 2、0 30R)这些知识点沟通了复数与实数之间的联系，

9、将复数问题化为实数问题解决， 训练学生的化归思想，同时，在处理数据关系时，会根据法则，公式正确地进行 运算，而且能根据题目寻求合理、简捷的运算途径，培养学生的思维能力和运算 技能。复数的运算主要是数与式的组合变形和分解变形，很好的培养了学生的运 算能力。复数的几何意义包括两方面内容，一方面是复数与复平面上的点，复数与复 平面上从原点出发的向量间的一一对应；另一方面是加、减、乘、除、乘方、开方的几何意义。加法的几何意义：没 OZj，OZ2各与复数Z1，Z2对应，以0Z"， 0Z2为边的平行四边形的对角线 0Z就与乙+Z2对应减法的几何意义：没0Z"，0Z2各与复数 乙，乙对应

10、，则图中向量 乙z2所 对应的复数就是 乙-Z1。|乙-Z2 I的几何意义是分别与乙，乙对应的两点间的距离。乘法的几何意义：设AB表示复数r(cos 0 +isin 0 )(r > 0)，把AB绕A点按逆时针方向旋转a角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k倍(k >0)得到AC ,则AC对应的复数是r(cos 0 +isin 0 ) k(cos a +isin a )，如果把AB绕A点按顺时针方 向进行同样方式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是r(cos 0 +isin0 ) k(cos a -isin a )除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，乙宁Z2=Z1 (丄

11、)因此Z2除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相同。复数方根的几何意义:设OZ对应的复数是 乙Z的n次方根(n >2,nN)对应于从原点出发且在原 点处n等分圆围角的n个向量，这n个向量的模都是n n，其中一个向量的辐角 是复数Z的辐角的n分之一，图中画出了模为8的向量0Z所对应的复数的三次 方根ON，匝，0，其中 0N的辐角取0Z辐角的三分之一。理解复数运算的几何意义，通过图形来讨论代数问题，掌握数形结合这一重 要的思想方法。数学是揭示客观事物的数量和形体的本质关系和联系的科学，从认识的角度考虑“数”与“形”是事物的两个侧面，数形结合正是从这两个方面去认识事物 的特征。在解决数学

12、问题时，通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结 合，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形，发挥直观对抽象的作用，实现抽 象概念和具体形象的联系，可以把数量关系转化为图形的性质来研究， 或者把图 形的性质问题转化为数量关系的问题。由复数的几何意义推导的下列结论对数形结合思想的培养很有帮助。1.Z1 乙工0,贝乙+Z2 | = |乙-Z2 | = 互二入i ( X R且入工0)= 对应Z2的向量OZi丄OZ22. 设P点对应的复数为乙，点Q对应的复数为乙，贝U向量PQ对应的复数是Z2-Z13. 向量PQ绕点P顺时针方向旋转角9 ( 9 >0)所得到的向量对应的复数应是(Z2-Z1)

13、 cos(- 9 )+isin(-9门而旋转之后点Q对应的复数应是(Z2-Z1) cos(-9 )+isin(-9 门 +乙4. | Z-Z1 | = | Z-Z2 |表示以复数 乙、乙在复平面内对应的点为端点的线段垂 直平分线的方程。5. | Z-Zo | = 丫表示以Zo为复平面内对应的点Zo为圆心，半径是丫的圆的方 程。6. | Z-Z1 | + | Z-Z2 | =2a(2a >|乙乙| )表示以 乙、Z2在复平面内对应的点 乙、乙为焦点，长轴是2a的椭圆方程。7. | Z-Z1 | - | Z-Z2 | =2a(2aV |乙乙| )表示以乙、乙在复平面内对应点 乙、Z2为焦点，

14、实轴长是2a的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题： 复数集上方程的求解；根据方程解的情况讨论参数的取值范围；与复数集上方程有关的计算或证明。求解复数集上的方程主要有以下四种解法：设Z=x+yi(x，y R)从而转化为关于实数x，y的方程。 若是复数集上的二次方程，则可以直接利用二次方程的求根公式，但要注 意判别式<0,则人，2="-' 一剧2a 考虑复数的几何意义，结合图形去分析。 以复数的模为突破口，即着眼于丨Z |,再求Z。由复数集上的方程培养学生分类讨论，函数与方程思想的重要数学思想方法, 从而培养分析问题，解决问题的能力。复数的模及有关性质，一般是求模的

15、取值范围或最值，通常有以下四种方法: 利用复数的三角形式，转化为求三角函数式的最值问题。 利用不等式丨丨乙丨-丨乙丨丨三丨乙+乙丨三丨乙丨+1乙丨 考虑复数的几何意义转化为复平面上的几何问题。 转化为实数范围内的最值问题。通过这些知识点，利用换元法，待定系数法，训练学生变换与转化思想，培 养逻辑思维力。四、能力训练2，求实数m使(1)Z是实数;(2)Z是纯虚m - m - 621.复数 Z=+(m-2m-15)im +3数；(3)Z所对应的点在复平面的第二象限；(4)Z是复数；(5)是否存在实数m使argZ=-4知识点：复数的基本概念：实数、纯虚数、虚数、复数、辐角主值，复数所 对应的点所在象

16、限。能力点：识记能力，计算能力。2. 计算 S=1-3I+5I 2-7l 3+- -991 49知识点：数列求和公式及方法，复数的四则运算。能力点：运算能力，逻辑推量能力。3. 设 f(Z)=1- z，乙=2+3I，Z2=5-I，试求:f 0-Z2)(2)f(1ZiZ2知识点：函数的有关性质，共轭复数的有关性质：Z1 _z2 =N ± N，z= z,乙)=Z 乙 乙能力点：整体思想，运算能力Z - 24. 复数 Z=cosB +lsln 0 ,0 v B v n，复数 W= ，求 argw 的最小值。Z+3知识点：复数的辐角主值，乘、除法法则，正切函数单调性，函数最小值的 求法，反三

17、角函数。能力点：化归思想，逻辑推理能力，运算能力。5.已知 Z=cos 0 +Isin0 (0 v 0 v 2 n ),w=1-z31 -Z求 argw 及 I w|知识点：复数的辐角主值、模、三角变形能力点：分类讨论，逻辑推理能力，运算能力。6.已知 ZZ +(3+ . 3i)Z+(3-. 3i)ZTX-+9=0 求 | 2Z-2 , 3 i |的最大值与最小值 argZ的最大值与最小值及相应的复数乙知识点：共轭复数的性质 Z+Z =2R(Z),Z- Z =2Im(Z)(Z i + Z 2)(Zi Z2)= I Z1 + Z2 II Z I =r(r 工 0)二养?等求复数模的最值的三种方法

18、：函数法、不等式法、几何法、运用模、辐角主 值的几何意义解题，复数的代数、几何三角、整体形式间的相互转换。能力点：数形结合思想，转化与化归思想，逻辑推理能力。5n,求arg(Z 1+2乙)47. 设 Zi=cos 0 +isin 0 ,Z 2=cos 0 -isin 0 的最值。知识点：复数的辐角主值，正切函数的单调性。 能力点：转化与化归思想，运算能力。8. 设乙=、3 +i, Z 2=r(cos 0 +isin 0 ) r >0, 0(0, n )，Zs=Zi Z2.若I Z1-Z2 | =r+1，求r和0的取值范围。 知识点：复数的代数、几何、三角三种形式间的互化。 能力点：函数或

19、不等式的思想方法。9. 设乙，N C, |乙| = |乙| =1,Zi、Z2在复平面内的对应点分别为 乙、乙，O 为原点。(1) 若乙-Z1=-1，求 arg 玉;Z1当b二二时，求使zn为实数时所有n；将所有等于实数的zn的倒数按原有次4序排列成一个新数列求lim (bi+b2+bn)n_jpc(3)当 OvBVn 时，求 | Z1-Z2 I + | 乙-Z3 I + + | 乙-Zn+1 I知识点：乘法的几何意义，等比数列，极限。能力点：转化与化归思想，运算能力，逻辑思维能力。11. 已知Z为虚数，Z+-是实数。Z(1) 求Z对应复平面内点Z的集合。 设N=2iZ+1，求复数W所对应点P的

20、集合。(3) 设W=+ Z,求复数 W所对应点Q的集合。知识点：复数的模与共轭，复数减法的几何意义，参数方程，集合，复数的 乘、除法。能力点：数形结合思想，逻辑思维能力。12. 已知非零复数 乙，乙满足等式2Z1(2) 设 arg Z1 = a，arg Z2=B，若 OZZ2 的重心对应复数-+ 1 * 3 4 i 求 tg( a + B )+2ZZ+Z22=0,Z1Z2与复平面上的点 A，B 时对应，O为坐标原点。(1) 试判定 OAB勺形状(2) 若| Z1-2+i | =1，求 OAB勺面积的最大值。知识点：复数乘法的几何意义。能力点：数形结合思想，逻辑思维与运算能力。13. 设复数Z满

21、足2<Z+16 < 10,试求复平面上与复数Z所对应的点的轨迹。 知识点：复数的共轭的性质，复数与不等式，反三角函数，复数的几何意义。 能力点：逻辑思维能力，分析问题与解决问题的能力。14. 已知复数Z=0- - i,W= ' +鼻i，复数ZW，Z2VW在复平面上所对应的2 2 2 2点分别为P、Q证明 OPC是等腰直角三角形(其中O为原点)知识点：复数三角形式的运算，复数的模与共轭，复数乘法的几何意义。能力点：运算能力，逻辑思维能力。15. 设复数 Z=cos 9 +isin 9 (0 v B v n =, W= _(Z并且 | W =仝,argW1+Z2v二求92知识点

22、：三角恒等变形，复数的模与共轭，复数的辐角主值。能力点：分类讨论与归纳思想，逻辑思维能力。16. 等比数列乙中，已知乙=1，Z2=a+bi,Z 3=b+ai(a,b - R,a >0)(1) 求a,b的值；并将Z2表示成三角形式。(2) 求满足乙+乙+乙=0的最小自然数n,并计算 乙乙乙的值。(3) 前100项中有多少项是实数？并求这些实数和。知识点：等比数列的性质，复数的三角表式。能力点：转化与化归思想，分析与解决问题的能力。17. 已知复数集合 M=Z| Z-2+i |< 2Z C n Z II Z-2-i | = | Z-4+i | 乙 C(1) 试在复平面内作集合M的图形并

23、说明图形的名称。(2) 求集合M中元素Z辐角主值的取值范围。(3) 求集合M中元素Z模的取值范围。知识点：集合、复数减法的几何意义，复数的辐角主值，复数的模，点到直 线的距离。能力点：数形结合思想，逻辑思维能力。18. 设复平面上有一系列向量 OZn(n=0,1,2)满足如下关系：将OZn绕3 原点按逆时针方向旋转-n 后,再把它的模变为原来的一半，得到OZn .1，记OZ4对应的复数为Zn(n=0，1, 2)，若Zc=2、2+2、2i，(i为虚数单位)(1) 求乙(2) n这何值时，乙为实数？将所有为实数的乙按原有顺序排列成数列 an， 写出这个数列的通项公式。(3) 求 lim (a1+a?+a)n_知识点：等比数列的性质，极限，棣莫佛定理。能力点：分析与解决问题能力。19. 已知t R,且关于X的方程X2+2x+t=0的两个根为复数a , B求I a | + | B |的值。知识点：二次方程的判别式，根与系数的关系。能力点：分类讨论思想，函数与方程思想。20. 设关于x的方程2x2+3ax+a2-a=0至少有一个根的