高一数学对数函数经典题及详细问题详解

1、实用文档 文案大全 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a?，那么33log82log6?用a表示是（ ） A、2a? B、52a? C、23(1)aa? D、 23aa? 答案A。 3a=2?a=log32 则: log38-2log36=log323-2log3(2*3) =3log32-2log32+log33 =3a-2(a+1) =a-2 2、2log(2)loglogaaaMNMN? ，则NM的值为（ ） A、41 B、4 C、1 D、4或1 答案B。 2loga(M-2N

2、）=logaM+logaN， loga(M-2N)2=loga(MN），（M-2N)2=MN， M2-4MN+4N2=MN，?m2-5mn+4n2=0（两边同除n2）?(nm)2-5nm+4=0,设x=nm ?x2-5x+4=0?(x2-2*25x+425)-425+416=0 ? (x-25)2-49=0 ? (x-25)2=23? x-25=?23 ? x=25?2 3?14xx即?14nmnm 又2log(2)loglogaaaMNMN?，看出M-2N>0 M>0 N>0 nm=1即M=N舍去， 得M=4N 即nm=4 答案为：4 3、已知2 21,0,0xyxy?，且

3、1log(1),log,log1yaaaxmnx?则等于（ ） A、mn? B、mn? C、?12mn? D、?12mn? 答案D。 loga(1+x)=m loga 1/(1-x)=n，loga(1-x)=-n两式相加得：? loga (1+x)(1-x)=m-n ?loga(1-x2)=m-n ? x2+y2=1，x>0，y>0, ? y2=1- x2?loga(y2)=m-n 实用文档 文案大全 2loga(y)=m-n ?loga(y)=21(m-n) 4. 若x1，x2是方程lg2x (lg3lg2)lgxlg3·lg2 = 0的两根，则x1x2的值是( ) (

4、A)lg3·lg2 (B)lg6 (C)6 (D)61 答案D 方程lg2x+（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为1x、2x，注：lg2x即（lgx)2，这里可把lgx看成能用X，这是二次方程。 lg1x +lg 2x= -ab= -（lg2+lg3）? lg（1x×2x）= -lg（2×3） ?lg（1x×2x）= -lg6=lg61 ?1x× 2x=61 ?则x1 ?x2的值为61 。 5、已知732loglog(log)0x?，那么12x?等于（ ） A、13 B 、123 C 、122 D 、133 答案C log7【lo

5、g3(log2X)】=0?log3(log2x)=1?log2x=3?x=8 x21?=821?=2 )(321?=223? =2321= 321=221 =42 6已知lg2=a， lg3=b，则15lg12lg等于（ ） Ababa?12 Bbaba? ?12 Cbaba?12 Dbaba?12 答案 C lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b lg15=lg230=lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 （注：lg10=1） 比值为（2a+b)/(1-a+b) 7、函数(21)log32xyx?的定义域是（ ） A、?2,11,3?

6、B、?1,11,2? C、2,3? D、1,2? 答案A 实用文档 文案大全 (21)log32xyx?的定义域是1,1112012023322132?xxxxxxxx 答案为：?2,11,3? ? 8、函数212log(617)yxx?的值域是（ ） A、R B、?8,? C、?,3? D、?3,? 答案为：C ,y=(-?,-3 x2-6x+17=x2-6x+9+8=(x-3)2+88，log21= log211?=(-1) log2= - log2 (- log2x单调减? log21x单调减? log21(x-3)2+8 单调减.,为减函数 x2-6x+17=(x-3)2+8 ,x取最

7、小值时(x-3)2+8有最大值? (x-3)2+8=0最小,x=3, 有最大值8, ?log21(x-3)2+8= log218= - log28= -3, 值域 y-3y=(-?,-3注：Y=x2-6x+17 顶点坐标为（3，8），这个Y为通用Y 9、若log9log90mn?，那么,mn满足的条件是（ ） A、1 mn? B、1nm? C、01nm? D、01mn? 答案为：C 对数函数的定义：一般地，我们把函数y=logax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+），值域是R。对数函数的解析式： y=logax（a0，且a1）。对数函数的底数为什么要大于0且不

8、为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】分析：根据对数函数的图象与性质可知，当x=91时，对数值小于0，所以得到m与n都大于0小于1，又logm9<logn9，根据对数函数的性质可知当底数小于1时，取相同的自变量，底数越大对数值越小，所以得到m大于n logm90，logn90，得到0m1，0n1；又logm9logn9，得到mn， mn满足的条件是0nm1 （注另解：logm90，logn90，得到0

9、m1，0n1；也可化成logm9=mlg9lg， logn9=nlg9lg，则mlg9lg<nlg9lg<0 由于lg9大于0 mlg1<nlg1n<m,0nm1 实用文档 文案大全 【注：换底公式 a,c均大于零且不等于1】 10、2log13a?，则a的取值范围是（ ） A、?20,1,3 ? ? B、2,3? C、2,13? D、2 20,33? 答案为：A. 0<a<1时?则loga(x)是减函数, 1=loga(a),2log13a?,即loga(2/3)<loga(a) ?2/3>a此时上面有0<a<1综述得0<a&

10、lt;2/3 a>1时?则loga(x) 是增函数， loga(2/3)<1（即logaa） ?2/3<a此时上面有a>1综述得取a>1有效。?0<a<32,a>1 11、下列函数中，在?0,2上为增函数的是（ ） A、12log(1)yx? ? B、22log1yx? ? C、21logyx? D、212log(45)yxx? ? 答案为：D。 A、 x+1在（0,2）上是增函数 以21为底的对数就是一个减函数 复合函数y就是个减函数。 B、 12?x在（0,2）上递增，但又不能取<1的数，x<1不在定义域（0,2）内 不对。这种情

11、况虽然是增，但（0,2）内含有<1的。 实用文档 文案大全 C 、x1是减函数，以2为底的对数是个增函数，y为减函数 D、与A相反，x2-4x+5=(x-2)2+1,对称轴为2，在（0,2）上递减， 以21的对数也是递减，所以复合函数是增函数 12已知函数y=log21 (ax22x1)的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） Aa 1 B0a 1 C0a1 D0a1 答案为：C。 （注：对数函数定义底数则要>0且1 真数>0）函数y=log21(ax2+2x+1)的值域为R ax2+2x+1恒>0,令g(x)=ax2+2x+1,显然函数g(x)=ax2+2x+1是一个一

12、元二次函数（抛物线）,要使g(x)（即通用的Y）恒>0, 必须使抛物线开口向上,即a0 同时必须使0（保证抛物线始终在x轴上方,且与x轴没有交点,这也是不能为0的原因）(注：如<0, 抛物线可在x轴下方,且与x轴有交点) 即b2-4ac=4-4a0,解得a1。则实数a的取值范围是0a1。 说明：答案是0 a1,而不是0a 1。 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共 16分，请把答案填写在答题纸上） 13计算：log2.56.25lg1001lne3log122?= 答案为： 【注：自然常数e（约为2.71828）是一个无限不循环小数。是为超越数。ln 就是以e为底的对数。ln

13、1=0，lne=1。 设2312og=x?则由指数式化为对数式可得： log2x= (log23) ? x=3 231 2og=x, 又 x=3, ?2312og=3.】 log2.56.25lg1001lne3log122?= log2.5?25.2+ lg103?+ lne21+21?2312og =2+(-3)+21+2?3=2-3+21+6=215。 【注：假如是23112og?，则23112og?=23log2log212? ?=232log12?=23log212?=2232log=23】 14、函数(-1)log(3-)xyx?的定义域是 。 答案为： （2）要使原函数有意义，则

14、真数大于0，底数大于0，底数不等于1 。 实用文档 文案大全 ?2,31211101303xxxxxxxx函数的定义域为（1，2）（2，3）。 15、2lg25lg2lg50(lg2)? ? 。 lg25+lg2·lg50+（lg2）2 答案为：lg2+lg5=1 ，lg10=1 lg25+lg2?lg50+(lg2)2 =lg52+lg2?lg50+lg2?lg2?=2lg5+lg2(lg50+lg2) ?=2lg5+lg2lg(50?2) ? =2lg5+lg2?lg100?=2lg5+lg2?lg102?=2lg5+lg2?2lg10? =2lg5+2lg2?=2(lg5+lg

15、2) ?=2lg10?=2 16、函数?2()lg 1fxxx?是 （奇、偶）函数。 答案为： 第种解： f(-x)=lg(12?x+x)=lg（12?x+x ）*xxxx?1122 =lgxxxxxx?1)1( )1(22 2=lgxxxx?1)1 (2222=lgxxxx?1)1 (222 = lgx x?112=lg(12 ?x-x)1?= -lg（12?x-x）= -f(x), f(-x) = -f(x)是奇函数 第种解： f（-x ）+f（x）= lg( 12?x+x)+ lg（1 2?x-x）= lg( 12?x+x)?（12?x-x）= lg（x2+1-x2）= lg1=0, f

16、(-x)-f (x)=0,f(-x)与f (x)互为正负数? f(-x)= -f(x)，f（x）为奇函数 三、解答题：（本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17已知y=loga(2ax)在区间0，1上是x的减函数，求a的取值范围 答案为：【对数函数含义：一般地，如果a（a>0，且a1）的y次幂等于x，那么数y叫做以a为底x的对数，记作logax=y，其中a叫做对数的底数，x叫做真数。y叫对数(即是幂)。注意：负数和0没有对数。 底数a则要>0且1，真数x>0。并且，在比较两个函数值时： ?。y，x，aa。y，x，aa是减函数越大函数值越小真数一

17、样如果底数时是增函数越大函数值越大真数一样如果底数时)10()1( 对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称： 实用文档 文案大全 以上要熟记】 解题：y=loga(2ax)在区间0，1上是x的减函数， a>0，真数（2-ax）已经是减函数了，然后要使这个复合函数是减函数,那么对数底a要是增函数，增减复合才得减，由函数通用定义知要使函数成增函数必a>1。 又函数定义域：2-ax >0得ax2, xa2 又a是对数的底数?a0且a1。0,1区间内2-ax递减,当?取最 大时取最 大时ax)(1? 即-ax 最大时，2-ax取得最小值，为2-a。 x=1xa2可得a21,a2

18、. a的取值范围1<a<2 。 18、已知函数222(3)lg6xfxx?， (1)求()fx的定义域；(2)判断()fx的奇偶性。 解题：【注：定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数。 如果定义域是全体实数,那肯定就是关于原点对称了，那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函数。 如果定义域不是全体实数，比如是全体正实数，那定义域在x轴的负半轴上都不能取值，当然更谈不上是对称了。 再比如定义域是全体负实数，那定义域在x轴正半轴也不能取值，所以定义域也不是关于原点对称。 实用文档 文案大全 举个例子：f（x）=x?11此题的定义域是x?1，那么如果定义域要是关于原点对称，x也?-1。 再举

19、个例子：f（x）=x的偶次方根，此题的定义域是x非负，x非负这个取值,关于原点的对称区间是x非正（没有）。 所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。】 解题：（即Y值的取值方向固定） （1）设x2-3= t（t-3），?222223 3(3)lglg633x xfxxx? ?，f(t)=lg33?tt，又由0622?xx?33?tt>0,t>3?233x?(注：这里x2非负)， ()fx的定义域为?3, ?。 （2）()fx的定义域不关于原点对称(x2非负)，()fx为非奇非偶函数。 19、已知函数2328()log1mxxnfxx? ?的定义域为R，值域为?0,2，求,mn的

20、值。 解题： f（x）=log31822? ?xnxmx的定义域为R，x2+10，mx2+8x+n 0恒成立 令y= 1822?xnxmx，函数f（x）的值域（即log 31822?xnxmx）为0，2， 1y（即1822?xnxmx）9 。 y(x2+1)=mx2+8x+n?yx2+y -mx2-8x-n=0?（y-m）?x2-8x+y-n=0 成立。 xR，可设y-m0，方程的判别式=64-4（y-m）（y-n）0 ?-16 +（y-m）（y-n）?0?即 y2-（m+n）y+mn-16 0 y=1和y=9是方程 y2-（m+n）y+mn-16=0的两个根， y1+y2= -ab=m+n=

21、10，y1?+y2=mn-16=9。?m=10-n, ? (10-n) n-16=9?10n-n2-25=0? n2-10n +25=0?(n-5)2=25?m=n=5。 若y-m=0，即y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件。综上可得，m=n=5。 20.已知x满足不等式2log21x2+7log21x +30，求函数f（x）=log24x?log22x的最实用文档 文案大全 大值和最小值。（换元法是必须要有的）求多种方法。 解题： 第种解：设 a = log21x，则原不等式 2log21x2+7log21x +30可化为： 2a2 + 7a + 3 0 (a + 3) (2a + 1

22、) 0?2121213012303012303aaaaaaaaa无解 3 a 21?3 log21x 21 ?3 log2x 21?3loglogloglog3log322121221222?xxxxx 21 log2x 3。 解以上不等式的所有方法中,“因式分解法”较为简便. f（x）=log24x?log22x= (log2x log24) × (log2x log22) =(log2x 2) × (log2x 1) 设 m = log2x , 21 log2x 3 （已证） m 21,3 于是问题转化为： 求函数y = f(x) = ( m 2 ) × (

23、m 1 ) 的最大值和最小值. 这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题. y = f(x) = ( m 2 ) × ( m 1 ) y = f(x) = m2 3m 2 = m2-26m+49-41 ?y = f(x) = (m 23)241 其中m 21,3 考察二次函数y = f(x) = (m 23)2 41 开口向上、对称轴为 m = ab2= 23、最小值为41、关键是定义域为m 21,3 . 画出二次函数y = f(x) = (m 23)241 的图像, 实用文档 文案大全 由图知：对称轴在定义域范围之内 , 故当m =23 时,函数y = f(x) 取到最小值41；

24、 当m = 3 时,函数y = f(x) 取到最大值,把m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为： (3 23)241=（26-23)241=4941=2. 第种解：设 a = log21x 则原不等式 2log21x2+7log21x +30可化为： 2a2 + 7a + 3 0（这种基本化解要熟） (a + 3) (2a + 1) 0 3 a 21(同上化得) 3 log21x 21(同上化得 ) 21 log2x 3?log2221 log2x log223?221 x 2 3 ?2 x 8 x 2,8 f（x）=log24x?log22x=(log2x log24) ×(

25、log2x log22) = (log2x 2) × (log2x 1)= （log2x）2 3 log2x 2 = （log2x 23)2 492= （log2x 23)241 x2,8 而 对称轴3/2在定义域2,8之内。当x = 23时,f(x)有最小值41； 当x = 8时,f(x)有最大值, 最大值为：（log28 23)241 =(3 23 )241 = 2.。 21. 已知x>0,y?0,且x+2y=1,求g=log 21(8xy+4y2+1)的最小值 解题： 第种解由x+2y=1,得： 实用文档 文案大全 2y=1-x, 8xy+4y2+1=4x?2y+(2y)

26、2+1=4x(1-x)+ (1-x)2+1 =4x-4x2+1-2x+x2+1 = -3x2+2x+2= -3(x2-32x+91)+31+2 = -3(x-31)2+37, 当x=31时,有最大值：37, 而y=log21x在定义域上是减函数, 当x=31,y=31时, log 21(8xy+4y2+1)有最小值：log2137=-log27 - log231?=log23-log27. 第种解x+2y=1, 8xy+4y2+1= x2+4xy+4y2+4xy-x2+1=（x+2y)2+4xy-x2+1=1+4xy -x 2 +1 = -x2+4xy+2= -x2+4x(1-21x)+ 2=

27、 -x2+ 2x -2x2+2 =-3x2+2x+2= -3(x2-3 2x+91)+31+2 = -3(x-31)2+37, 当x=31时,有最大值：37, 而y=log21x在定义域上是减函数, 当x=31,y=31时, log 21(8xy+4y2+1)有最小值：log2137=-log27 - log 231?=log23-log27. 22. 已知函数f(x)=xxxx?10101010。 （1）判断f(x)的奇偶性与单调性； （2）求xf1? 【注：反函数一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作y=f1?(x) 。反函数y=f1?(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数实用文档 文案大全 为x=f1?(y)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标?1指的并不是幂。 在微积分里，f)(n(x)是用来指f的n次微分的。 若一函数有反函数，此函数便称为可逆的