第三节泰勒公式(改)

1、2021-11-221二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算泰勒泰勒(taylor)公式公式 第三章第三章 目录 上页 下页 返回 2021-11-222在近似计算和理论分析中在近似计算和理论分析中, 对于复杂函数对于复杂函数f (x). 常希望用一个多项式常希望用一个多项式p(x) = a0+a1x+a2x2 + anxn 来近似表示来近似表示 f (x).比如比如, 当当|x|很小时很小时, ex 1+

2、x, sin x.111xnxn都是用一次函数表示函数都是用一次函数表示函数 f (x)的例子的例子.一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立 目录 上页 下页 返回 2021-11-223缺陷缺陷: (1) 精度不高精度不高, 误差仅为误差仅为o(x)(2) (2) 误差不明确，即误差不明确，即没有误差估计式没有误差估计式. .从几何上看从几何上看, 缺陷缺陷(1)是由于我们在是由于我们在x=0附近用附近用直线代替曲线直线代替曲线, 精度当然不高精度当然不高.设想：设想：能否改用二次曲线能否改用二次曲线, 三次曲线三次曲线, , 代替代替? 精度精度是否能提高是否能提高, , 即：曲线的吻合程度

3、是否会更好些呢即：曲线的吻合程度是否会更好些呢? ? 目录 上页 下页 返回 2021-11-224y=ex1y=1+x2211xxy看图看图. .1x0y21 目录 上页 下页 返回 2021-11-2251. 试求一个关于试求一个关于xx0的的n次多项式次多项式pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n使使pn(x)能在能在x0的附近近似表示的附近近似表示 f (x).要求：要求：需要解决两个问题需要解决两个问题: 00()(),nf xpx00()(),nfxpx( )( )00()().nnnfxpx2. 误差误差 f (x) pn(x)的表达式（误

4、差估计）的表达式（误差估计）.设设f (x)在在 的某邻域内有直到的某邻域内有直到n+1阶导数阶导数.0 xx 目录 上页 下页 返回 2021-11-2261. 求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:( ),npx)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令令)(xpn则则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xx

5、a10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201 目录 上页 下页 返回 2021-11-227)0(之间与在nx )( )(10nnxxxr )(2) 1( )(0)(xnrnnnn2. 余项估计余项估计)()()(xpxfxrnn令令(称为余项称为余项) ,)(0 xrn)(0 xrn0)(0)(xrnn10)()(nnxxxrnnxnr)(1()(011 )(1( )(011nnxnr1022)() 1()( nnxnnr! ) 1()()1(nrnn则有则有)

6、(0 xrn0)(0 xrn0)(0)(xrnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x 目录 上页 下页 返回 2021-11-228)()()(xpxfxrnn10)()(nnxxxr! ) 1()()1(nrnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)()()1()1(xfxrnnn时的某邻域内当在mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnmxr)()()(00 xxxxoxrnn 目录 上页 下页 返回 2021-11-229公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式公式

7、称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数阶的导数 ,),(bax时时, 有有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr则当则当)0(之间与在xx 目录 上页 下页 返回 2021-11-2210公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为泰勒公式

8、可写为)()(0nnxxoxr注意到注意到* 可以证明可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf0)( 式成立式成立 目录 上页 下页 返回 )(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo2021-11-2211特例特例:(1) 当当 n = 0 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当当 n = 1 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)(

9、)(xxfxr 误差误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx 目录 上页 下页 返回 2021-11-2212称为称为麦克劳林（麦克劳林（ maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx则有则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(n

10、nxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(mxfn则有误差估计式则有误差估计式2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上若在公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式 目录 上页 下页 返回 1! ) 1()(nnxnmxr2021-11-2213二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xrn!22x其中其中)(xrn! ) 1( n) 10(1nxxe 目录 上页 下

11、页 返回 2021-11-2214)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xrm其中其中)(2xrm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm 目录 上页 下页 返回 2021-11-2215! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得类似可得xcos1!22x!44x)(12xrm其中其中)(12xrm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx 目录 上页 下页 返回 2021

12、-11-2216) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xrn其中其中)(xrn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n 目录 上页 下页 返回 2021-11-2217) 1()1ln()()5(xxxf已知已知)1ln(xx22x33xnxn)(xrn其中其中)(xrn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k 目录 上页 下页 返

13、回 2021-11-2218三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差1! ) 1()(nnxnmxrm 为为)() 1(xfn在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 目录 上页

14、 下页 返回 2021-11-2219已知已知例例1. 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令令 x = 1 , 得得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于由于, 30ee欲使欲使) 1 (nr!) 1(3n610由计算可知当由计算可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 , 因此因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为 目录 上页 下页 返回 2021-11-2220例例2. 用近似公式用近似公式!21cos2xx计算计算 cos

15、 x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.解解: 近似公式的误差近似公式的误差)cos(!4)(43xxxr244x令令005. 0244x解得解得588. 0 x即当即当588. 0 x时时, 由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005 . 目录 上页 下页 返回 2021-11-22212. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3. 求求.43443lim20 xxxx解解:由于由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛

16、必塔法则用洛必塔法则不方便不方便 !2x用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子展到项项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 目录 上页 下页 返回 2021-11-222211)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明证明).0(821

17、12xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx 目录 上页 下页 返回 2021-11-2223内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式余项余项)(0nxxo当当00 x时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)0(之间与在xx 目录 上页 下页 返回 2021-11-22242. 常用函数的麦克劳林公式常

18、用函数的麦克劳林公式 ( p140 p142 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算近似计算(3) 其他应用其他应用求极限求极限 , 证明不等式证明不等式 等等.(2) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , xsin例如 目录 上页 下页 返回 2021-11-22254224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近 目录 上页 下页 返回

19、2021-11-2226思考与练习思考与练习 计算计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式原式 目录 上页 下页 返回 2021-11-2227, 1 ,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff,( )24.f使)(xf)(21之间与在其中x, 1,0 x由题设对由题设对证证:备用题备用题 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明) 1,0(且且得分别令, 1,0 x 目录 上页 下页 返回 一点一点2021-11-2228112(0, ) )(21f122( ,1) 3211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式减上式下式减上式 , 得得211